약도함수와 Sobolev 공간

뾰족한 함수도 미분의 적분 법칙을 가질 수 있다

u의 약도함수 v는 모든 compact 지지 매끄러운 시험 함수에 대해 부분적분 항등식을 만족하는 국소 적분 가능 함수입니다. 점마다 고전 도함수가 존재할 필요는 없고, 약도함수도 영집합 차이를 무시해 유일합니다.

u(x)=|x|는 0에서 고전적으로 미분되지 않지만 v=sign(x)가 약도함수입니다. 0에서 v를 0으로 선택해도 적분은 같습니다. 반면 계단 함수의 분포 도함수는 델타라서 국소 적분 가능한 함수로 나타나지 않으므로 일반적인 W¹,¹ 함수로 취급할 수 없습니다.

Sobolev 공간은 적분 가능성도 요구한다

H¹=W¹,²는 u와 모든 1차 약도함수가 L2에 속하는 공간입니다. 이 실습의 uα=|x|ᵅ, α>0은 항상 L2입니다. 원점 밖에서 vα=α sign(x)|x|ᵅ⁻¹이고 다음 정확한 경계가 나옵니다.

α≤.5에서는 도함수 제곱 적분이 발산합니다. α=.5의 경우 |x|⁻¹ 꼴의 로그 발산이므로 경계값을 포함하지 않습니다. 하지만 v의 L1 노름은 모든 선택 α에서 2라서 약도함수 자체는 여전히 존재합니다.

부분적분 값을 독립적으로 확인하기

실습은 끝점에서 0인 φ₀=1−x²와 φ₁=x(1−x²)를 사용합니다. 이들은 compact 지지 시험 함수 자체는 아니지만, 현재 연속 u와 L1 도함수에 대해 경계항이 사라지는 확장된 부분적분 확인용 함수입니다. 이 두 검사만으로 모든 시험 함수 조건을 증명했다고 하지는 않습니다.

짝수 φ₀에서는 홀수 적분으로 양변이 0입니다. 홀수 φ₁에서는 다음 값이 나옵니다.

α=1에서 양변은 −.5, v의 L2 노름은 √2입니다. α=2에서는 v=2x이고 노름은 √(8/3)입니다. α=.5의 L2 노름 ∞는 수학적 발산이지 화면의 샘플 오차가 아닙니다.

그림에서 판단할 수 없는 것

파랑은 u, 주황은 선택한 v 대표입니다. 원점 근처는 |x|≥1/60의 유한 표본만 그립니다. α<1에서 실제 도함수가 커지는 현상을 유한 그림으로 유계라고 오해하지 마세요. 원점 점 표시는 영집합에서의 임의 대표값 0입니다. 고전 도함수가 없을 때 질의값은 —입니다.

PDE 학습에서는 점별 미분 잔차와 약한 잔차가 서로 다른 함수 공간 가정을 사용합니다. 경계조건·적분 가능성·차원별 embedding을 함께 확인해야 합니다.

확인 문제와 해설

1. α=.75는 H1인가요? 예. 도함수 제곱 노름은 2.25입니다.
2. 약도함수의 0에서 값을 100으로 바꾸면? 같은 Lp 동치류입니다. 적분은 변하지 않습니다.
3. |x|가 고전적으로 매끄럽지 않다는 사실만으로 약한 PDE에 못 쓰나요? 아니요. 필요한 Sobolev 정칙성과 경계조건을 검사해야 합니다.

추가 읽기: NTNU MA8502, Function Spaces.