입자 교환·화학 퍼텐셜·grand potential

저장고와 무엇을 교환할 수 있는지 바꾸기

이름이 붙은 주차 공간 두 곳을 떠올려봅시다. 각 자리는 비어 있거나 입자 하나가 차지할 수 있습니다. 자리 수는 고정되지만 입자는 저장고와 교환할 수 있습니다. 같은 준비를 반복해도 입자 수가 0개, 1개, 2개인 결과가 나올 수 있습니다. 화학 퍼텐셜은 각 결과의 통계적 가중치를 정하며, 매번 같은 입자 수를 요구하지 않습니다.

앞의 정준 이진 단원에서는 물리적 자리들과 각 자리의 두 내부 상태를 다뤘습니다. 거기서 확률적으로 변하는 개수는 여기 수였습니다. 이번에는 점유한 자리가 입자 하나를 기여하고 빈 자리는 입자를 기여하지 않습니다. 같은 Bernoulli 식이 나타나더라도 어떤 보존량과 준비 제약을 설명하는지 달라질 수 있습니다.

전체 입자 수 법칙을 유도하고, 특정 입자 수라는 조건을 건 뒤, 요동과 화학 응답을 연결하겠습니다. 정적 앙상블은 입자가 도착하는 시각, 이동률, 완화 시간을 정하지 않습니다. 따라서 화면에서 비교를 순회할 때도 물리 시간보다 준비 매개변수로 표시해야 합니다.

자리와 입자, 그 에너지 정의하기

이름이 있는 자리 M개가 있으며 각 자리에는 입자가 하나까지만 들어갑니다. 미시상태는 점유 벡터이고 입자당 에너지는 ε≥0 J입니다.

$$x\in\{0,1\}^{M},\qquad N(x)=\sum_{i=1}^{M}x_i,\qquad E(x)=\varepsilon N(x),\qquad 0\le N\le M.$$

이는 고전적인 유한 배제 격자입니다. 어느 자리가 차 있는지를 구별하여 상태를 셉니다. 입자 자체에 이름을 붙인 뒤 그 순열을 다시 곱하면 지정한 표본공간이 바뀝니다. 이 식은 연속 이상기체의 상태 계수가 아니며, 비슷한 모양의 점유 함수가 나왔다고 양자 Fermi 모형 전체가 성립하는 것도 아닙니다.

유한하고 0이 아닌 T에서 무차원 화학 매개변수 α, 에너지 척도 t, 순점유 편향 y를 정의합니다.

$$\beta=\frac1{k_BT},\qquad \alpha=\beta\mu,\qquad t=\beta\varepsilon,\qquad y=\alpha-t=\frac{\mu-\varepsilon}{k_BT}.$$

입자 수를 무차원 개수로 셀 때 μ와 ε는 같은 입자당 에너지 J 단위를 사용합니다. 유한 계산기는 M=0..4096,유한한 ε≥0와 μ,유한한 양·음의 온도를 지원합니다. 온도 0의 입력 관례는 별도로 정합니다. 자리 수 한도는 계산 자원의 한도이며 열역학 극한이 아닙니다.

입자 수 전체를 합해 준비 정규화하기

배치 하나의 grand-canonical 가중치는 exp[−β(E−μN)]입니다. 점유한 자리 하나마다 exp(y)를 곱하므로 모든 이진 배치를 더하면 다음 식이 나옵니다.

$$\Xi=\sum_xe^{-\beta(E(x)-\mu N(x))}=\sum_{k=0}^{M}\binom Mk e^{yk}=(1+e^y)^M,\qquad \ln\Xi=M\ln(1+e^y).$$

이 합에는 가능한 모든 입자 수가 들어갑니다. 각 입자 수를 같은 확률로 고르는 것은 아닙니다. C(M,k)는 k개 입자가 놓인 서로 다른 자리 배치들을 셉니다. 점유 상태 공간에 이미 계수 관례가 들어 있으므로, 그 공간을 바꾸지 않고 factorial 보정을 하나 더 붙이면 다른 모형을 계산하게 됩니다.

일반적인 준비와 퍼텐셜의 원전은 Tong의 1.4.1–1.4.2절입니다. 여기서는 위에서 명시한 유한 격자를 계산합니다. 아직 체적 미분이나 압력을 정의하지 않았으므로, grand potential이라는 이름만으로 압력 법칙을 끌어오지 않습니다.

입자 수를 조건부 배치로 나누기

한 자리의 점유 확률, 전체 입자 수 법칙, 입자 수 내부의 조건부 배치 법칙은 다음과 같습니다.

$$r=\frac{e^y}{1+e^y},\qquad P(N=k)=\binom Mk r^k(1-r)^{M-k},\qquad p(x\mid N=k)=\binom Mk^{-1}.$$

조건부 법칙은 사건 N=k의 확률이 양수일 때 적용합니다. 실제 지지집합에서 그 사건의 확률이 0이면 조건부는 정의되지 않습니다. 유한하고 0이 아닌 T에서는 허용된 모든 입자 수의 확률이 양수지만, 꼬리는 일반 부동소수점 숫자로 표시되지 않을 수 있습니다.

M=2,μ=ε이면 y=0,r=1/2입니다.

점유 배치	입자 수	배치 하나의 확률	그 입자 수의 확률
00	0	1/4	1/4
01	1	1/4	1/2
10	1	1/4	1/2
11	2	1/4	1/4

입자 하나인 두 행은 같은 입자 수 막대를 공유합니다. 입자 하나가 있다는 조건 아래 두 배치의 확률은 각각 1/2입니다. 무조건부 확률 1/4와 구별해야 합니다. 또한 μ=0은 빈 계라는 뜻이 아닙니다. ε=0이면 μ=0에서 유한한 0이 아닌 T에 대해 바로 이 균형 준비가 나옵니다.

입자와 빈자리, 에너지의 요동 유도하기

이 grand-canonical 준비에서는 자리들의 점유가 독립입니다. 따라서 평균 입자 수, 그 분산, 평균 빈자리 수는 다음과 같습니다.

$$\langle N\rangle=Mr,\qquad \operatorname{Var}(N)=Mr(1-r),\qquad \langle M-N\rangle=M(1-r).$$

둘 중 하나가 아주 드물 때에는 입자와 빈자리를 각각 계산하세요. M으로 표시된 평균 입자 수를 M에서 빼면 작은 양의 빈자리 수가 사라질 수 있습니다. 점유에 상한이 있다는 사실은 상한 아래에서 입자 수가 고정되었다는 뜻이 아닙니다.

물리 에너지가 입자 수의 ε배이므로 다른 모멘트와 엔트로피도 얻습니다.

$$U=\varepsilon\langle N\rangle,\qquad \operatorname{Var}(E)=\varepsilon^2\operatorname{Var}(N),\qquad \operatorname{Cov}(E,N)=\varepsilon\operatorname{Var}(N),\qquad S=Mk_Bh(r).$$

여기서 h(r)=−r ln r−(1−r)ln(1−r)입니다. 에너지 분산은 J²,에너지/입자 수 공분산은 J 단위입니다. 엔트로피의 표본공간은 입자 수 읽기만이 아니라 점유 배치 전체입니다. ε=0이면 에너지가 항상 0이면서 입자 수는 여전히 요동할 수 있습니다. 관측량마다 무엇이 확정되었는지 따로 확인해야 합니다.

미분하기 전에 좌표를 지정하기

분배 합에서 β와 α를 독립 좌표로 다루면 다음 미분 관계를 얻습니다.

$$\left(\frac{\partial\ln\Xi}{\partial\alpha}\right)_{\beta}=\langle N\rangle,\qquad \left(\frac{\partial^2\ln\Xi}{\partial\alpha^2}\right)_{\beta}=\operatorname{Var}(N),\qquad -\left(\frac{\partial\ln\Xi}{\partial\beta}\right)_{\alpha}=U.$$

α=βμ이므로 α를 고정하는 것과 μ를 고정하는 것은 다릅니다. T,ε,M을 고정한 화학 응답은 다음과 같습니다.

$$\chi_N=\left(\frac{\partial\langle N\rangle}{\partial\mu}\right)_{T,\varepsilon,M}=\beta\operatorname{Var}(N),\qquad \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{\mu,\varepsilon,M}=\frac{\varepsilon(\varepsilon-\mu)}{k_BT^2}\operatorname{Var}(N).$$

α에 대한 미분은 무차원이고 χ_N의 단위는 1/J입니다. 양의 T에서는 χ_N이 비음수입니다. 이 값은 입자 수 응답이며 등온 압축률과 곧바로 같은 값이 아닙니다. 그렇게 해석하려면 체적·밀도와 적절한 고정 조건을 추가로 정의해야 합니다.

기울기는 평형 준비들의 가족을 설명합니다. μ를 바꾼 뒤 입자가 들어오는 속도는 알려주지 않습니다. 시간에 따른 응답에는 전이 모형이나 수송 모형이 필요합니다. 매개변수를 움직인 화면 속도의 단위를 물리적 입자 흐름과 혼동하지 않아야 합니다.

올바른 제약 아래 grand potential 사용하기

Grand potential과 일차 미분은 다음 관계를 만족합니다.

$$\Omega=-k_BT\ln\Xi=U-TS-\mu\langle N\rangle,\qquad \left(\frac{\partial\Omega}{\partial\mu}\right)_{T,\varepsilon,M}=-\langle N\rangle,\qquad -\left(\frac{\partial\ln\Xi}{\partial\beta}\right)_{\mu}=U-\mu\langle N\rangle.$$

마지막 미분은 앞 절에서 α를 고정한 미분과 다릅니다. 미분에 적은 고정 조건도 명제의 일부입니다. 한 좌표 조건을 다른 것으로 바꾸면 화학 기여를 놓치게 됩니다. β를 바꿀 때 μ가 일정한지, α가 일정해서 μ도 함께 달라지는지 확인하세요.

양의 T에서 Ω는 μ의 오목함수입니다. 이차 미분이 −χ_N이기 때문입니다. 이 유한 모형의 곡선은 유한하고 0이 아닌 T에서 매끄럽습니다. 수치 순회가 날카로워 보인다는 사실이 유한 온도의 특이한 상전이 증거는 아닙니다.

열린 계의 조합 U−TS−μ〈N〉은 앞의 닫힌 계 열용량 식을 임의의 온도 순회에 적용하기 전에 고정 조건과 입자 수 교환을 확인해야 하는 이유도 보여줍니다. 위의 고정 μ 에너지 기울기는 μ>ε에서 음수가 될 수 있습니다. 온도를 올리면서 평균 입자 수가 줄어들 수 있기 때문입니다. 이를 열린 계의 에너지 기울기로 표시하고, 앞의 고정 입자 수 열용량과 구별하세요.

편향된 두 자리 준비를 손으로 검산하기

M=2에서 양의 T를 고정하고 y=−ln 2가 되도록 μ를 고릅니다. 그러면 r=1/3입니다. 입자 수 확률은 (4,4,1)/9이고 입자 하나라는 조건 아래 두 배치는 여전히 같은 확률입니다.

$$\langle N\rangle=\frac23,\qquad \operatorname{Var}(N)=\frac49,\qquad \chi_N=\frac4{9k_BT},\qquad \ln\Xi=2\ln(3/2),\qquad \Omega=-2k_BT\ln(3/2).$$

같은 준비에서 U=2ε/3,Var(E)=4ε²/9,Cov(E,N)=4ε/9입니다. 무차원 인자가 비슷해도 세 값은 서로 다른 물리량입니다. 편향을 y=ln 2로 뒤집으면 입자 수 법칙은 (1,4,4)/9,평균은 4/3으로 바뀌며 분산은 4/9로 같습니다.

시각화에서는 입자 수 분포와 선택한 수의 조건부 배치들을 나란히 놓고, μ에 따른 평균 점유와 화학 응답을 그리면 좋습니다. 점유 막대 하나만으로는 평균은 같지만 입자 수 제약이 다른 두 준비의 차이를 놓칠 수 있습니다.

에너지와 화학 기준을 함께 이동하기

ε와 μ에 같은 입자당 상수 c를 더하면 모든 grand-canonical 가중치가 보존됩니다.

$$\varepsilon'=\varepsilon+c,\qquad \mu'=\mu+c,\qquad E'(x)-\mu'N(x)=E(x)-\mu N(x),\qquad U'=U+c\langle N\rangle.$$

점유·엔트로피·ln Ξ·Ω는 그대로입니다. 물리적 평균 에너지는 위 식만큼 바뀌며, 에너지 분산도 입자 수가 변동하는 상태에서 입자당 더한 상수가 곱해지므로 달라집니다. N이 변할 때 이는 모든 완전한 배치의 에너지에 같은 상수를 더하는 변환이 아닙니다.

이 공통 기준 변환과, 저장고의 μ는 고정한 채 ε만 물리적으로 바꾸는 프로토콜을 구별하세요. 후자는 순편향과 준비를 바꿉니다. 수치 계산에서는 ε와 μ가 아주 큰 같은 수이더라도 열에너지로 나누기 전에 차가 정확히 0으로 남아야 합니다.

양의 쪽 온도 0 극한 정의하기

계산기의 T=0은 ε와 μ를 고정하고 양의 온도에서 접근한 극한입니다. Δ=ε−μ로 쓰면 M>0에서 세 준비가 나옵니다.

고정 매개변수	극한 준비	입자 수 분산	S/kB	ln Ξ의 극한	Ω의 극한
Δ>0	빈 배치	0	0	0	0
Δ<0	가득 찬 배치	0	0	양의 무한대	MΔ
Δ=0	모든 배치 균등	M/4	M ln 2	M ln 2	0

임계점 Δ=0에서는 모든 배치의 E−μN이 같습니다. 물리적 ε가 양수여도 이 grand-energy의 퇴화는 남습니다. μ=ε를 고정하면 유한 온도의 입자 수 응답은 M/(4kBT)이며 온도가 0에 접근할수록 발산합니다. 정확한 온도 0의 불연속 입자 수 법칙에는 임계점에서 유한한 μ 미분이 없으며, 이를 응답 0으로 보고하면 안 됩니다.

Δ<0에서는 ln Ξ가 발산하지만 Ω의 극한은 유한합니다. 부동소수점으로 0과 무한대를 곱해 계산하지 않습니다. 극한 식 MΔ를 직접 사용할 수 있습니다. M=0이면 유일한 빈 배치만 있으며 모든 총량과 화학 응답이 0입니다.

두 제어값이 임계점으로 갈 때 경로 확인하기

위의 임계점 값은 μ=ε를 고정한 경우입니다. 함께 접근하는 경로를 바꾸면 다른 극한을 얻을 수 있습니다. 유한한 실수 a에 대해 온도에 따라 달라지는 화학 퍼텐셜을 고릅시다.

$$\mu(T)=\varepsilon+a k_BT,\qquad T\to0^+,\qquad y=a,\qquad r=\frac1{1+e^{-a}}.$$

이 경로들은 모두 매개변수 점 (T,μ)=(0,ε)에 도착하지만 점유 확률은 다를 수 있습니다. a=ln 3이면 극한 점유는 1/2가 아니라 3/4입니다. 제어값이 어떤 방식으로 접근하는지 무시한 보편적인 공동 극한은 없습니다.

따라서 모형의 문자 그대로 T=0 임계점 관례는 명시된 준비 처방입니다. 그 점에 다가가는 모든 물리적 과정을 분류하는 규칙은 아닙니다. 경계층, 매개변수 일정, 저온 수치 순회를 해석할 때 이 구별이 중요합니다. 둘 다 0으로 가는 양의 비가 유한한 정보를 남길 수 있기 때문입니다.

고정 입자 수 준비와 독립 점유 구분하기

Grand-canonical 법칙에 N=k 조건을 걸면 그 수는 확정됩니다. 남은 불확실성은 점유한 자리의 이름에 관한 것입니다. 조건을 걸지 않으면 입자 수 자체가 요동합니다. M>0이고 T가 유한한 0 아닌 값일 때 유용한 척도는 다음과 같습니다.

$$\frac{\sqrt{\operatorname{Var}(N)}}{\langle N\rangle}=\sqrt{\frac{1-r}{Mr}}=\frac{e^{-y/2}}{\sqrt M},\qquad P(N=0)=(1-r)^M,\qquad P(N=M)=r^M.$$

M=2,균형 점유에서 무조건부 입자 수 분산은 1/2입니다. N=1 조건 아래에는 분산이 0이지만 두 조건부 배치의 불확실성은 남습니다. 입자 수 고정 데이터셋을 같은 기대 개수의 독립 Bernoulli 점유로 대체하면 상관과 개수 분산이 바뀝니다.

독립 반복을 늘리면 〈N〉 추정은 좋아지지만 앙상블 분산은 바뀌지 않습니다. 표본에 입자가 없다고 r=0일 필요는 없습니다. 모든 자리가 찬 표본도 빈자리 확률이 0임을 증명하지 않습니다. 표본 수와 자리 용량은 따로 표시하고, 표집에 쓴 seed도 밝혀야 합니다.

반전된 유계 준비를 조심스럽게 해석하기

유한 배제 스펙트럼은 위아래로 유계이므로 모형은 유한한 음의 온도도 정규화합니다. ε와 μ를 고정하고 T를 뒤집으면 y도 뒤집힙니다.

$$r(-y)=1-r(y),\qquad \langle N\rangle_T+\langle N\rangle_{-T}=M,\qquad \operatorname{Var}_T(N)=\operatorname{Var}_{-T}(N),\qquad \chi_N(-T)=-\chi_N(T).$$

이 반사에서 엔트로피는 같고 화학 응답은 β와 함께 부호가 바뀝니다. 여기서 음의 응답은 부호를 포함한 요동 관계와 일치하며 음의 분산이 아닙니다. 양의 쪽 T=0 표는 음의 쪽 접근을 설명하지 않습니다. 음의 쪽에서는 E−μN의 반대 극값을 선택합니다.

이 유계 구성을 제한 없는 운동에너지 기체에 그대로 옮기지 않습니다. 준비 수명이나 입자 교환 동역학도 주지 않습니다. 온도 표시는 지금 비교하는 통계적 가중치를 지정합니다. 실제로 어떻게 그 준비를 만들고 유지하는지는 별도의 물리 조건과 실험 모형이 필요합니다.

상쇄와 양의 꼬리를 수치적으로 보존하기

순편향은 먼저 차를 구한 뒤 척도로 나누어 평가해야 합니다.

$$y=\frac{\mu-\varepsilon}{k_BT},\qquad \mu=\varepsilon\ \Longrightarrow\ y=0.$$

βμ와 βε를 각각 계산하면 차를 구하기 전에 overflow가 날 수 있습니다. 그러면 같은 에너지의 정확한 균형을 잃게 됩니다. 수치 모형은 이진 입력의 차와 곱, 정수 다중도를 투영 전에 보존합니다. 지수와 로그는 여전히 근사입니다. 주어진 입력의 정확한 산술도 입력을 저장할 때 이미 반올림되어 사라진 화학 차이를 복구하지는 못합니다. 아주 작은 공동 극한 일정에는 적절한 편향 좌표나 충분한 입력 정밀도가 필요합니다.

양의 T에서 u=(ε−μ)/(kBT)가 큰 양수이면 희박한 준비의 선도 스케일은 다음과 같습니다.

$$r\sim e^{-u},\qquad \langle N\rangle\sim M e^{-u},\qquad \chi_N\sim\frac{M e^{-u}}{k_BT}.$$

확률이 선형 표시 범위보다 작아도 큰 역열에너지 인자를 곱하면 응답은 표현 가능할 수 있습니다. 예를 들어 ε=10^−297 J,μ=0,T=ε/(800kB)로 두면 점유 확률은 exp(−800) 근처이지만 M=2의 응답은 약 1600 exp(−800)/10^−297 매 J입니다. 확률을 먼저 0으로 반올림하면 유효한 응답을 잃습니다.

구현은 수학적 지지집합의 0,양의 꼬리,온도 0 분배함수의 무한대 극한,유한한 값의 표시 범위 초과를 구분합니다. 중첩 로그는 꼬리를 진단하며 단위값 부근 모멘트의 아주 작은 이탈을 인증하지 않습니다. AI에서는 고정 개수 선택과 독립 확률 gate를 비교해볼 수 있습니다. 물리적 대응 없이 모형의 화학 편향 같은 매개변수를 보정된 에너지나 입자 흐름으로 해석하지 않습니다.

풀이가 있는 연습과 검증 체크리스트

어떤 변수를 고정하고 어떤 양이 요동하는지, 각 확률의 표본공간이 무엇인지 명시하세요. 응답과 공분산에는 물리 단위를 유지하세요.

연습 1: 균형 잡힌 열린 준비에 조건 걸기

M=2,μ=ε이고 T가 유한한 양수일 때 입자 수 법칙,배치 01의 확률,N=1 조건 아래 그 배치의 확률,평균,입자 수 분산을 구하세요.

해설: 입자 수 법칙은 (1,2,1)/4입니다. 배치 01은 1/4이고 N=1은 1/2이므로 조건부 확률은 1/2입니다. 평균은 1,분산은 1/2입니다. 관측 입자 수를 하나로 고정하면 개수 분산은 사라지지만 점유한 두 자리 이름의 가능성은 남습니다.

연습 2: 화학 응답의 단위 복원하기

M=2,y=−ln 2에서 평균,입자 수 분산,응답,에너지/입자 수 공분산,grand potential을 계산하세요.

해설: 평균은 2/3,입자 수 분산은 4/9입니다. 응답은 4/(9kBT)로 1/J 단위입니다. 공분산은 4ε/9로 J 단위입니다. Ξ=(3/2)^2이므로 Ω=−2kBT ln(3/2)이며 J 단위입니다. 응답에 분산만 대입하면 역열에너지 인자가 빠집니다.

연습 3: 국소 기울기와 유한 변화 비교하기

M=4,μ=ε에서 양의 T를 고정하고 μ를 0.1kBT만큼 올립니다. 평균 입자 수 변화를 일차로 예측한 뒤 정확한 점유 법칙과 비교하세요.

해설: 처음에는 Var(N)=1이므로 χ_N=1/(kBT)이고 일차 변화는 0.1입니다. 정확한 새 편향은 y=0.1이며 변화는 4/[1+exp(−0.1)]−2≈0.09991675입니다. 미분은 국소 응답이므로 유한 변화가 선형 예측과 정확히 같을 필요는 없습니다. 두 계산 모두에서 입자의 도착 시간이 나오지는 않습니다.

연습 4: 공통 기준 변환 적용하기

M과 T를 고정하고 ε=2 J,μ=1 J를 ε'=10 J,μ'=9 J로 바꿉니다. 어떤 준비의 양이 유지되며,물리적 평균 에너지도 그대로일까요?

해설: μ−ε가 −1 J로 같으므로 점유 확률,입자 수 모멘트,엔트로피,ln Ξ,Ω가 유지됩니다. 평균 에너지는 8 J에 〈N〉을 곱한 만큼 바뀝니다. 에너지 분산은 입자당 에너지의 제곱 척도에 따라 달라집니다. 입자 수가 요동할 때 이 입자당 기준 변환에 불변인 양이 아닙니다.

연습 5: 같은 임계점으로 두 경로로 접근하기

M=2에서 μ=ε를 고정한 T→0+와 μ(T)=ε+(ln 3)kBT를 비교하세요. 극한 입자 수 법칙,평균,분산을 구하세요.

해설: 고정 임계점 경로는 r=1/2이므로 (1,2,1)/4,평균 1,분산 1/2입니다. 둘째 경로는 r=3/4이므로 (1,6,9)/16,평균 3/2,분산 3/8입니다. 두 경로는 매개변수 공간의 같은 (0,ε)로 가지만 다른 극한 분포를 남깁니다. 따라서 문자 그대로 온도 0 임계점 준비를 정의할 때 경로를 밝혀야 합니다.

연습 6: 분배함수가 발산해도 유한한 퍼텐셜 유지하기

M=2,ε=1 J,μ=2 J에서 T→0+의 입자 수 법칙,에너지,엔트로피,ln Ξ,Ω를 구하세요. 임계점 밖에서 화학 응답의 상태도 설명하세요.

해설: 가득 찬 배치를 선택하므로 N=2,U=2 J,S=0입니다. ln Ξ는 양의 무한대로 발산하지만 Ω는 M(ε−μ)=−2 J로 갑니다. U−μN에서도 같은 값을 얻습니다. μ=ε에서 떨어진 근방의 정확한 온도 0 입자 수는 일정하므로 μ 응답이 0입니다. 유한한 미분이 없는 임계점과 구별해야 하며,퍼텐셜을 0과 무한대의 곱으로 계산하지 않습니다.

그림을 신뢰하기 전에 정규화,입자 수 내부의 이름 정보,화학 응답의 단위,유한 변화와 미분의 차이를 확인하세요. 온도 0의 경로를 표시하고 양의 입자·빈자리 꼬리를 보존해야 합니다. 이어지는 분배함수와 분포 단원에서는 이 도구를 일반화합니다. 연속 기체·상호작용·시간에 따른 교환은 후속 작업입니다.

계산을 실험 화면과 연결하기

균형 점유 μ=ε에서 시작해 검사할 입자 수 N을 1로 지정하세요. M=2이면 그 개수의 확률은 1/2이고, 이름 붙은 배치 01 또는 10 각각의 무조건부 확률은 1/4, 조건부 확률은 1/2입니다. 배치 검사는 선택한 개수로 조건화하며 대정준 준비 자체의 입자 수를 그 값에 고정하지 않습니다.

실험	비교 조건	설명할 내용
온도 0·빈 배치 → 임계점 → 가득 찬 배치	ε=1 J를 고정하고 T=0에서 μ를 0,1,2 J로 변경	임계점에는 개수 불확실성이 남고 유한한 화학 미분은 미정
표시 확률 밖의 화학 응답	점유 확률과 ∂E[N]/∂μ 및 1/J 단위를 함께 확인	작은 양의 분산에 1/(kBT)를 곱하면 응답은 표시 가능할 수 있음
유계 음의 온도 응답	유한한 배제 스펙트럼을 유지하고 응답 부호 확인	Var(N)는 비음수이지만 T<0에서 화학 응답은 음수

유한하고 0이 아닌 T에서 M,ε,T를 고정한 뒤 기준값 양쪽으로 μ를 조금 바꿔 보세요. 평균 점유 변화량을 화학 퍼텐셜 변화량으로 나눈 값은 βVar(N)에 가까워집니다. T까지 함께 바꾸면 다른 경로이므로 같은 응답 검사가 아닙니다. T=0 임계점에는 이런 유한 미분이 없습니다.

두 번째 검사로 ε가 비음수인 범위에서 ε와 μ에 같은 유한한 값을 더하세요. 점유 법칙은 차이에만 의존하므로 같지만 물리적 에너지 U와 입자 수의 공분산은 달라집니다. Ω는 E−μN에 대한 양이므로 이러한 입자당 기준 이동에서는 같습니다. 두 준비를 비교할 때 단위와 기준 관례를 함께 적으세요. 비교 재생은 독립적인 분포를 지정하며 시간에 따른 입자 수송을 보여주지 않습니다.