이 단원 목차
순환하면 에너지는 어디에서 올까?
기체가 팽창하며 피스톤을 밀면 일을 한다. 하지만 기체를 처음 상태로 되돌리려면 다시 압축해야 한다. 한 번의 팽창에서 얻은 일과, 되돌리는 데 필요한 일을 함께 계산해야 기관의 순일을 알 수 있다. 카르노 순환은 이 질문을 네 개의 가역 과정으로 정리한다.
계는 n mol의 단원자 이상기체다. 바깥에는 일정한 양의 절대온도 Th와 Tc를 유지하는 두 이상적인 저장고가 있다. Th>Tc이며 물질 출입은 없다. 이전 두 물체의 열접촉과 달리 저장고 온도는 열 교환 때문에 변하지 않는다고 가정한다.
영법칙: 온도계로 같은 온도를 비교하기
A와 온도계 C가 열평형이고, B도 같은 온도계 상태의 C와 열평형이면 A와 B도 서로 열평형이다. 이 추이 관계가 서로 다른 물질의 온도를 같은 기준으로 비교하게 한다. 열평형이라는 말은 가능한 열접촉을 허용했을 때 서로 열을 주고받아 상태가 바뀌지 않는다는 조건과 연결된다.
단지 접촉을 끊어 아무 변화가 없다는 뜻은 아니다. 앞의 열접촉 실험에서 K=0이면 온도가 달라도 흐름이0이었다. 같은 온도라고 해서 두 물체의 열용량이나 에너지 총량이 같아지는 것도 아니다.
영법칙은 공통 온도 표지를 가능하게 하지만 숫자의 척도를 하나로 정하지는 않는다. 여기서는 카르노의 열 비율과 연결되는 절대온도K를 사용한다. 임의의 온도 표지를 그대로 열 비율에 넣는 것은 별개의 가정이다.
부호·단위·가역성
기체로 들어오는 열 Q를 양수, 기체가 외부에 하는 일 W를 양수로 둔다. ΔU=Q−W다. Q와W는 순환당 에너지J다. 시간 정보를 주지 않았으므로 일을 출력W 단위로 읽지 않는다. 온도는K, 부피는m³, 압력은Pa, 몰 열용량 Cᵥ=3R/2는 J/(mol K)다.
체적 조절은 마찰 없는 준정적 과정이다. 등온 구간은 해당 온도의 저장고와 무한소 온도차로 열을 교환하는 가역 극한이며, 단열 구간은 열 교환이 없다. 천천히 움직인다는 말만으로 마찰이나 유한 온도차가 사라지는 것은 아니다.
네 꼭짓점 만들기
초기 부피 Va, 등온 팽창비 r>1을 정하자. γ=5/3이고 α=(Th/Tc)^(3/2)다.
| 상태 | 온도 | 부피 |
|---|---|---|
| A | Th | Va |
| B | Th | rVa |
| C | Tc | αrVa |
| D | Tc | αVa |
A→B는 고온 등온 팽창, B→C는 단열 팽창, C→D는 저온 등온 압축, D→A는 단열 압축이다. 이 부피 관계는 임의로 정한 직사각형이 아니다. 단열 구간에서 TV^(2/3)이 보존되어야 두 온도 사이를 잇고 원래 상태로 돌아올 수 있다.
등온과 단열을 각각 적분하기
등온 구간에서는 ΔU=0이고 Q=W다. p=nRT/V를 실제 부피에 대해 적분하면
Qc는 기체가 저온 저장고로 내보내는 열이므로 음수다. 어떤 자료가 Qc를 방출량의 양의 크기로 쓰는지 먼저 확인해야 한다.
단열 구간에서는 Q=0이다. dU=nCᵥdT=−p dV를 적분하면 TV^(2/3)=상수이고
두 단열 일은 순환 전체에서 상쇄되지만 각 구간에서는0이 아니다. 압축·팽창 동안 온도와 내부 에너지가 실제로 달라진다.
순일과 효율
네 구간의 내부 에너지 변화 합은0이다. 따라서
순일은 p–V 평면에서 순환이 둘러싼 부호 있는 면적이다. 온도가 높을 때 팽창하고 낮을 때 압축하므로 되돌리는 데 필요한 일보다 더 큰 일을 얻는다. 효율을 높이려고 저온 방출을 임의로 없애면 가역 순환의 조건을 만족하지 못한다.
엔트로피 그림으로 다시 보기
기체의 엔트로피는 고온 등온에서 Σ=nR ln r만큼 증가하고, 저온 등온에서 같은 만큼 감소한다. 가역 단열에서는 일정하다.
T–S 그림은 폭Σ, 높이 Th−Tc인 직사각형이다. 그 면적도 순열·순일과 같다. 저장고의 엔트로피 변화는 기체가 받은 전달과 반대 부호이며, 계와 두 저장고를 합친 생성량은 가역 극한에서0이다. 기체가 순환 뒤 돌아왔다는 사실만으로 모든 비가역 기관의 생성량이0인 것은 아니다.
숫자로 확인하기
n=1 mol, Th=600 K, Tc=300 K, Va=0.010 m³, r=2를 넣자. α≈2.828이고 Vb=0.020, Vc≈0.05657, Vd≈0.02828 m³다. 고온에서 약3457.888 J를 받고 저온으로 약1728.944 J를 내보낸다. 순일은 약1728.944 J이고 효율은0.5다. 각 단열 구간의 일은 약+3741.508 J와−3741.508 J다.
큰 양의 단열 일만 보고 기관이 그만큼의 순일을 만든다고 해석하지 않는다. 닫힌 전체 순환의 네 항을 확인해야 한다.
역으로 돌리면 냉동기가 된다
동일한 가역 순환을 반대로 따라가면 모든 전체 열·일의 부호가 바뀐다. 외부 일 입력을 받아 저온에서 열을 꺼내 고온에 전달한다. 냉동 성능계수와 난방 성능계수는
위 예제의 역순환은 약1728.944 J의 일을 받아 저온에서 같은 양의 열을 옮기고, 고온에는 약3457.888 J를 전달한다. 냉동 COP는1, 난방 COP는2다. COP가1보다 클 수 있는 이유는 일을 전부 열로 바꾸는 것 외에 저온에서 가져온 열도 고온으로 전달하기 때문이다.
부분 순환의 일과 전체 운전을 구별하기
역순환의 시작 A→D는 단열 팽창이다. 이 구간에서 기체는 내부 에너지를 줄이며 양의 일을 할 수 있다. 그러나 나머지 세 구간을 모두 마쳐 처음 상태로 돌아오면 역순환의 순일은 음수다. 냉동기는 전체 순환에서 외부 일 입력을 필요로 한다.
따라서 현재까지의 누적 일의 부호로 전체 기관·냉동기 운전을 분류하지 않는다. 한 바퀴의 경계 포트와 상태 복귀를 함께 확인한다. 같은 이유로 아주 짧은 역방향 진행률을 숫자1에서 빼는 계산은 반올림으로 변화가 사라질 수 있으므로 실제 역방향 경로를 직접 계산한다.
퇴화 조건과 진행률
Th=Tc이면 순일은0이다. r=1이면 등온 열도0이다. 그때 실제 W/Qh나 COP의 분모가0이면 미정으로 남겨야 한다. 온도만으로 계산한 카르노 상한과, 실제 퇴화 순환에서 정의되지 않는 비율을 구분한다.
그림의 진행률은 네 구간의 위치다. 물리적 같은 시간 간격이나 일정 출력을 뜻하지 않는다. 피스톤·저장고의 유한한 열전달 속도와 마찰을 넣으면 다른 동역학 모형과 비가역 예산이 필요하다.
풀이가 있는 확인 문제
연습 1: 두 단열 구간의 일이 상쇄되면 생략해도 될까?
해설: 안 된다. 온도를 바꾸면서 두 등온 곡선을 잇고 전체 상태를 복귀시키는 구간이다. 각 구간의 에너지 변화도0이 아니다.
연습 2: 순환에서 ΔU=0이면 열도0인가?
해설: ΔU=Qnet−Wnet=0이므로 순열과 순일이 같다는 뜻이다. 각각0이어야 한다는 뜻은 아니다.
연습 3: 600 K와300 K 사이의 효율은 왜50%일까?
해설: η=1−300/600=0.5다. 전체 흡수열의 절반이 저온으로 나가야 하는 가역 순환이다.
연습 4: 고온·저온을 섭씨로 넣어도 될까?
해설: 안 된다. 온도 비는 절대온도K로 계산한다. 섭씨의 영점 이동은 비를 바꾼다.
연습 5: 역순환의 난방 COP가2이면 에너지 보존 위반인가?
해설: 아니다. 고온으로 전달한 열은 외부 일과 저온에서 가져온 열의 합이다. 외부 일만 열의 원천이라고 가정한 해석이 잘못이다.
연습 6: 저장고 두 온도를 같게 하면 무한 성능의 냉동기를 만들까?
해설: 해당 퇴화 과정에서 일 입력이0이므로 통상의 냉동 COP 비율이 정의되지 않는다. 유한한 온도차를 거슬러 열을 옮기는 냉동기 성능으로 해석할 수 없다.
AI 연구에 연결하기
기관 모델의 예측은 순환 복귀·에너지 수지·저장고별 엔트로피·운전 방향을 함께 검사해야 한다. 압력 곡선 오차가 작아도 순일의 부호나 열 포트가 틀릴 수 있다. 학습 데이터의 좌표가 상태인지, 진행률인지, 물리적 시간인지도 구분한다. 다음은 에너지는 보존하지만 제2법칙을 위반하는 포트를 대조하는 실험이다.
자료: David Tong, Classical Thermodynamics, 카르노 순환과 온도 척도 논의. 부호는 이 원고의 work-by 관례로 변환했다.
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