함수 합성과 역함수의 조건

계산은 순서가 있는 함수 연결이다

합성은 안쪽 함수를 먼저 적용합니다. 차원이 맞는 연결도 가역적이지 않을 수 있고 기호를 거꾸로 쓴다고 잃은 정보가 돌아오지는 않습니다. 집합 단원의 함수 정의를 구체적인 대수식과 연결합니다.

g(x)=ax+b,f(u)=u²,h=f∘g로 둡니다. 처음에는 실수 입력이며 h의 출력은 음이 아닙니다.

두 순서를 계산하기

a=2,b=1,x=1이면 g(1)=3,f(3)=9입니다. 반대는 g(f(1))=3이어서 일반적으로 다릅니다.

결합법칙은 다른 주장입니다. 정의역이 맞으면 (f∘g)∘k=f∘(g∘k)로 묶기만 바꿉니다. 순서를 바꾸지 않습니다. 항등함수와 역함수의 상쇄도 지정한 입력·출력 범위에서만입니다.

아핀 단계의 역

a≠0이면 g는 ℝ에서 ℝ로 전단사이고 역은 (u−b)/a입니다. a=0이면 상수라 역함수가 없습니다. 조건 없이 a로 나누면 잘못된 공식을 만듭니다.

실험은 g⁻¹(g(x)) 재구성을 따로 확인합니다. 뒤의 제곱이 부호를 잃을 수 있어 이것만으로 합성 전체가 가역이라는 뜻은 아닙니다.

역상은 두 점일 수 있다

a≠0,y≥0에서

입니다. 기준 y=9의 역상은 {−2,1}입니다. 역상 집합은 있어도 실수 전체의 역함수는 없습니다. y=0에서는 두 식이 같아 하나이고 y<0에서는 실수 역상이 없습니다.

실험의 y는 검사점에서 생성하여 항상 음이 아닙니다. a=0이면 현재 출력 b²를 모든 실수 입력이 만듭니다. 일반 음수 목표를 다루는 모형으로 오해하지 마세요.

가지를 명시적으로 제한하기

g(x)≥0인 입력으로 제한합니다. a>0이면 x≥−b/a이고 a<0이면 방향이 바뀝니다. 그 가지에서는 음이 아닌 출력과 일대일이라

입니다. 제한은 구현 요령이 아니라 정의의 일부입니다. a=2,b=0,x=−1이면 출력 4의 양의 가지 역은 1입니다. 원래 −1은 선택한 가지 밖이어서 모순이 아닙니다.

역상을 하나 골라 반환하는 규칙과 원래 함수의 양쪽 역함수는 구분해야 합니다.

긴 연결의 역순

전단사이고 공간이 맞으면 (f∘g)⁻¹=g⁻¹∘f⁻¹입니다. 마지막 연산부터 되돌립니다. 중간에 다른 입력을 같은 값으로 합치면 추가 정보·가정 없이 뒤의 결정적 연산으로 원래 구분을 복원할 수 없습니다.

가역 구조·정규화·인코딩에서 정의역이 중요한 이유입니다. 유한 표본의 낮은 재구성 오차는 전체 공간의 전단사보다 약한 주장입니다.

실험 읽기

그림은 h만 그리고 순서·역 후보는 표에서 비교합니다. 가지 지표 1은 g(x)≥0, 0은 가지 밖입니다. 역상의 개수와 출력 개수도 다릅니다. 함수는 입력마다 여전히 출력 하나입니다.

a를 음수로 바꾸고 가지 부등식을 풀어보세요. 다음에는 a=0에서 유효한 순방향 값과 정의되지 않는 역을 비교합니다. 작은 반올림 오차가 정의역 변경을 정당화하지는 않습니다.

연습과 근거

1. a=1,b=0,y=4의 역상과 양의 가지 역은? 답: {−2,2}와 2입니다.
2. a=−2,b=1의 가지 조건은? 답: x≤1/2입니다.
3. 결합법칙이 교환법칙을 뜻하지 않는 이유는?
4. 데이터 파이프라인의 손실 단계를 찾고 복원에 필요한 정보를 적으세요.

배경은 OpenStax Algebra and Trigonometry 2e를 참고하세요. 아핀·제곱 예제의 가지를 명시하여 계산합니다.