유한 개구의 Fresnel·Fraunhofer 회절

개구에는 기여하는 위치가 많다

이중 슬릿 그림은 흔히 점 두 개와 코사인 무늬를 보여 준다. 실제 슬릿에는 폭이 있다. 슬릿 내부의 여러 위치는 검출기에 서로 다른 위상으로 기여해 중심 사이의 간섭에 포락선을 더한다. 개구에 더 가까운 곳에서는 내부의 이차 위상이 관측 무늬를 바꾼다.

복소장을 먼저 구한 뒤 정규화 강도를 계산한다. Fresnel 전파와 Fraunhofer 근사는 같은 개구와 같은 정규화를 사용한다. 두 결과의 차이는 모델 비교이며 자동으로 수치 적분의 실패를 뜻하지 않는다.

좌표와 물리 단위

각 슬릿의 전체 폭을 $w$(m), 파장을 $\lambda$(m), 전파 거리를 $z>0$(m)라 쓰자. 다음을 정의한다.

$$F=\frac{w^2}{\lambda z},\qquad \eta=\frac{xw}{\lambda z},\qquad z=\frac{w^2}{\lambda F},\quad x=\frac{\eta w}{F}.$$

여기서 $F$는 반폭이 아닌 각 슬릿의 전체 폭을 사용한다. 다른 교재가 반경이나 개구 전체 범위로 Fresnel 수를 정의하면4배 이상의 차이가 생길 수 있다. 사용한 길이를 반드시 명시한다. $\eta$ 고정은 축척을 맞춘 관측 좌표의 고정이며, $z$를 바꿀 때 같은 실제 스크린 위치를 유지한다는 뜻이 아니다.

한 개 또는 두 개의 직사각 슬릿

정규화 개구 좌표를 $u=s/w$로 둔다. 단일 슬릿은 $[-1/2,1/2]$에 있다. 이중 슬릿의 중심은 $u=\pm d/2$, 각각의 폭은1이며 $d$는 중심 간격을 $w$로 나눈 값이다. 겹치지 않도록 $d\ge1$로 둔다.

각 내부의 복소 투과율은 일정하며 진폭은 $a_1,a_2\ge0$, 위상은0과 $\phi$다. 진폭0은 해당 경로를 막는다. 단일 슬릿에서는 첫 진폭만 사용한다. $d=1$에서 같은 진폭·위상의 두 슬릿은 붙어서 전체 폭 $2w$인 하나의 개구가 된다. 이 극한은 중요한 일관성 검사다.

일차원 Fresnel 커널

다른 횡방향으로 균일한 스칼라 장의 근축 전파는

$$U_F(x,z)=\frac{e^{-i\pi/4}}{\sqrt{\lambda z}} \int A(s)\exp\!\left[\frac{i\pi(x-s)^2}{\lambda z}\right]ds$$

다. 공통 종방향 위상 $e^{ikz}$는 두 모델에서 일관되게 생략한다. 이 앞 계수는 일차원용이다. 이차원 개구 적분의 익숙한 앞 계수는 $1/(i\lambda z)$에 비례한다. 둘을 섞으면 차원과 거리별 스케일링이 틀린다.

투과율 $A$가 무차원이면 정규화 장도 무차원이다. 이 스칼라 근축 모델이 모든 재료 경계·편광·파장보다 작은 개구에서 정확한 Maxwell 해라는 뜻은 아니다.

개구 위상 합과 수치 좌표

$s=wu$를 대입하면

$$U_F=\sqrt F\,e^{i\pi\eta^2/F-i\pi/4} \int A(wu)\,e^{i\pi Fu^2-i2\pi\eta u}\,du$$

다. 적분은 복소 벡터를 더한다. 개구가 투명해도 위상이 다르면 기여가 상쇄될 수 있다. 관측면 위상을 밖으로 분리하면 수치 적분 내부의 큰 위상을 줄일 수 있다. 그 위상을 버린 것이 아니라 계산 위치만 옮긴 것이다.

구적점은 적분의 한 기여를 표시한다. 각각을 임의 세기의 독립적인 점광원이나 별개의 광자로 해석하지 않는다. 구적점 수를 바꿨다고 전체 슬릿 투과량이 바뀌어서는 안 된다.

Fraunhofer 근사를 유도하기

Fraunhofer 전파는 개구 내부의 이차 위상 $\exp(i\pi Fu^2)$를 추가로 생략한다.

$$U_{FF}=\sqrt F\,e^{i\pi\eta^2/F-i\pi/4} \int A(wu)e^{-i2\pi\eta u}\,du.$$

남은 적분은 개구의 Fourier 변환이다. 관측면 위상은 두 모델에 모두 남긴다. 한 강도 그림만 볼 때는 이를 생략할 수 있지만, 한쪽 장에서만 빼면 복소장 오차나 뒤의 간섭 계산이 잘못된다.

작아야 하는 양은 한 슬릿의 폭뿐 아니라 떨어진 중심까지 포함한 전체 조명 개구에 의존한다. 두 슬릿 중심이 멀어지면 같은 개별 폭에서도 근사 조건은 달라진다.

단일 슬릿의 포락선

중심 $u=0$인 단위 진폭 슬릿은

$$\int_{-1/2}^{1/2}e^{-i2\pi\eta u}du =\frac{\sin(\pi\eta)}{\pi\eta}$$

이며 $\eta=0$의 값은1이다. 따라서

$$I_{FF}=|U_{FF}|^2=F\operatorname{sinc}^2(\pi\eta)$$

다. 첫 영점은 $\eta=\pm1$, 근축 좌표에서 $x=\pm\lambda z/w$다. 슬릿이 넓어지면 각도 포락선은 좁아진다. 여기서는 $\operatorname{sinc}q=\sin q/q$다. 라이브러리가 $\sin(\pi q)/(\pi q)$로 정의하면 인수를 다르게 넣어야 한다.

유한 폭 이중 슬릿의 간섭

폭이 같은 두 슬릿은

$$U_{FF}=\sqrt F\,e^{i\pi\eta^2/F-i\pi/4} \operatorname{sinc}(\pi\eta) \left[a_1e^{i\pi d\eta}+a_2e^{i\phi-i\pi d\eta}\right]$$

다. 대괄호는 중심 사이의 간섭을, 정현비는 유한 폭의 포락선을 만든다. 같은 진폭·위상이면 강도는 $4F\operatorname{sinc}^2(\pi\eta)\cos^2(\pi d\eta)$다. 간섭 최대가 포락선 영점과 겹치면 밝은 무늬가 사라질 수 있다.

$d$를 바꾸면 슬릿 폭과 투과 노름을 유지하면서 무늬 간격이 달라진다. 두 진폭이 같고 위상차가 $\pi$이면 반대칭 개구가 되어 Fresnel과 Fraunhofer 모두 광축에서 어둡다.

투과량과 관측 정규화

겹치지 않는 직사각 슬릿의 기대 투과 제곱장 노름은

$$P_A=\int|A(s)|^2ds=w\sum_j a_j^2$$

다. 무차원 장 관례에서 단위는 m다. 나머지 물리 보정과 다른 횡방향 범위 없이는 W 단위 전력이 아니다. 일차원 근축 전파는 수학적으로 전체 직선의 이 노름을 보존하지만 유한 스크린으로 자르면 모든 기여를 담지 못한다.

계산기는 개구에서 기대하는 노름을 반환한다. 이를 무한 스크린에서 독립적으로 측정한 적분이라고 부르지 않는다. 알려진 거리 스케일을 제거한 $|U|^2/F$도 반환한다. 이것은 각 곡선의 최대값 정규화가 아니다. 개구 진폭을 두 배로 하면 원래 강도와 축척 강도 모두 네 배가 된다.

복소장 오차와 강도 오차

다음을 각각 비교한다.

$$|U_F-U_{FF}|,\qquad |U_F|^2-|U_{FF}|^2.$$

전체 위상 변화는 복소장 차이를 크게 만들면서 단독 강도는 유지할 수 있다. 그러나 기준장과 간섭시키면 위상 오차가 관측된다. 정확한 어두운 최소에서 상대 오차를 나누면 미정이거나 매우 불안정하다. 정규화를 명시한 절대 오차가 더 적절하다.

여기서는 두 장에서 같은 종방향 위상을 생략하고 같은 관측면 위상을 유지한다. 따라서 복소 차이에 의미가 있다. 차이를 줄이려고 한쪽 장만 별도로 회전시키지 않는다.

근사 진단은 정확성 증명서가 아니다

조명된 개구의 가장 바깥 좌표 크기를 $h$라 하면 다음을 살펴볼 수 있다.

$$\frac{|x|+h}{z},\qquad \Phi_A=\frac{\pi h^2}{\lambda z},\qquad \Phi_4\approx\frac{2\pi}{\lambda}\frac{(|x|+h)^4}{8z^3}.$$

첫 항은 기하 비율, 둘째는 Fraunhofer에서 버린 개구 위상, 셋째는 거리 전개의 다음 위상 항을 추정한다. 서로 다른 질문에 답한다. 한 슬릿으로 정의한 작은 $F$가 멀리 떨어진 이중 개구의 작은 $\Phi_A$를 보장하지 않는다.

이 값은 해석 보조이며 보편적인 오차 상한이나 자동 물리 정확성 증명이 아니다. 계산기는 물리적 근사에 주의가 필요한 매개변수에서도 명시한 근축 모델을 평가한다. 그 결과를 정확한 전체 파동 해로 이름 바꾸지 않는다.

수치 적분과 독립 기준값

각 투명 구간에서 Fresnel 적분을 따로 계산한다. 합성8점 Gaussian 구적법의 구간 수는 내부 위상 변화에 따라 정하고, 두 배 구간의 결과와 비교한다. 같은 계산을 세분화한 두 값이 비슷하다는 사실만으로 독립 검증을 마쳤다고 해서는 안 된다.

기준값은 분리하지 않은 실제 복소 커널의 SciPy 적분과 별도의 Fresnel 특수함수 표현으로 만든다. 먼거리 개구 적분도 독립 적분한다. 붙은 슬릿·막힌 경로·병진·위상 반전·알려진 정현비 영점·먼거리 열을 검사한다. 그림 표본과 구적점은 구분한다.

계산 예제: 거리와 개구 비교

$w=50$ μm, $\lambda=500$ nm, $F=1$이면 $z=5$ mm이고 $\eta=1$은 $x=50$ μm다. 단일 슬릿의 Fraunhofer 강도는 중심에서1, 첫 최소에서0이다. 생략한 위상이 중요하면 Fresnel 전파는 같은 위치에서 정확히0이 아닐 수 있다.

단일 슬릿에서는 $\Phi_A=\pi F/4$다. 두 슬릿의 $d=2$이면 바깥 조명 경계는 $h=1.5w$이므로 $\Phi_A=2.25\pi F$다. 단일 슬릿의9배다. 한 슬릿의 수만으로 두 배치를 똑같이 먼거리라고 부르면 개구 기하의 대부분을 무시하게 된다.

두 번째 거리 비교로 폭과 파장은 유지하고 $F$를0.1로 줄여 보자. $z=50$ mm, 첫 Fraunhofer 최소는 $x=0.5$ mm가 된다. 원래 광축 강도는1에서0.1로 줄지만 축척 강도 $I/F$는1로 유지된다. 이는 개구의 투과량 손실과 전파에 의한 퍼짐을 구분한다. 두 그림을 각각 자기 최대값1로 맞추면 원래 강도의 변화가 사라진다. 또한 실제 스크린 위치를 고정하면 $\eta$가 달라진다. 같은 축척 좌표에서 보는 실험과 다른 비교이므로 조건을 먼저 적는다. 이 계산에서는 개구에서 기대하는 투과 노름은 계속50 μm이며, 유한한 스크린에서 그 전체를 측정했다는 뜻은 아니다.

안내 비교와 AI 연결

먼저 한 슬릿을 막고 중심 단일 슬릿과 먼거리 강도를 비교한다. 병진은 위상을 바꾸지만 강도는 유지한다. 다음으로 같은 두 슬릿을 붙여 넓은 개구의 극한을 확인한다. 위상차를 $\pi$로 바꾸고 투과 노름은 유지하면서 광축의 상쇄를 본다.

마지막으로 $\eta$를 고정해 $F$를 줄이고 같은 거리 정규화에서 복소장·강도 오차를 비교한다. 학습 회절 모델은 물리 매개변수 변화와 표본 수 변화를 구분해야 하며 뒤에 간섭을 계산한다면 위상도 보존해야 한다. 이 예제만으로 편광·일반 분산·전체 Fourier optics 집필을 완료하지 않는다.

해설이 있는 연습 문제

문제 1: 폭의 관례

다른 자료가 반폭 $a=w/2$로 Fresnel 수를 정의하면 여기의 $F$와 어떻게 다른가요?

해설: $a^2/(\lambda z)=F/4$다. 둘을 혼동하면 숫자로 정한 기준이4배 달라진다.

문제 2: 첫 최소

$w=50$ μm, $\lambda=500$ nm, $z=5$ mm에서 첫 Fraunhofer 최소를 찾으세요.

해설: 중심 양쪽에서 $x=\lambda z/w=50$ μm다. 이는 근축 스크린 좌표이며 Fresnel 전파에도 동일한 영점이 있다는 주장은 아니다.

문제 3: 맞닿은 슬릿

$d=1$이고 두 진폭·위상이 같으면 어떻게 되나요?

해설: 두 구간이 폭 $2w$인 한 슬릿으로 이어진다. 같은 실제 거리를 단일 슬릿 매개변수로 비교하려면 $F_{wide}=4F$, $\eta_{wide}=2\eta$로 바꾼다.

문제 4: 이동한 하나의 경로

남은 슬릿을 이동해도 먼거리 강도가 같은 이유는 무엇인가요?

해설: 병진은 Fourier 진폭에 크기1의 위상 경사를 곱한다. 단독 강도는 이 위상을 보지 못하지만 다른 기준장과 간섭시키면 검출할 수 있다.

문제 5: 최대값 정규화

개구들을 비교할 때 각 무늬를 자기 최대값으로 나누면 안 되는 이유는 무엇인가요?

해설: 진폭과 투과량 변화가 숨겨진다. 공통 물리 정규화를 유지하고, 별도의 모양 축척을 사용하면 명시해야 한다.

문제 6: 수치 정확성과 물리 정확성

구적 해상도 두 개가 일치하면 Fraunhofer 근사가 물리적으로 맞다는 증거인가요?

해설: 아니다. 명시한 적분을 수치적으로 평가한 정확성을 검사한 것이다. Fresnel 대 Fraunhofer 비교, 근축 대 전체 파동의 타당성은 각각 다른 질문이다.

일차 자료와 다음 학습

TU Delft의 스칼라 회절 교재와 MIT2.71 강의14의 도입 회절 기하는 전파의 틀을 제공한다. 여기의 일차원 정규화·유한 직사각 예제·진단·독립 비교는 정한 모델에서 유도했다. 일반 분산·편광·더 넓은 Fourier 광학계는 다음 단원들에서 다룬다.