Maxwell 방정식: 국소 변화와 방향 있는 적분

네 식을 하나의 장으로 검사하기

전기장이 공간에서 바뀌는 모습과 시간에 따라 바뀌는 모습은 독립적인 그림이 아니다. Maxwell 방정식은 두 변화와 전하·전류를 연결한다. 이 단원에서는 하나의 평면파를 미분하고, 같은 장을 작은 경로와 닫힌 상자에서 적분한다. 이렇게 하면 국소 법칙과 전체 측정이 어떻게 연결되는지 볼 수 있다.

벡터 성분, 발산, 회전, 선적분과 면적분을 먼저 복습하자. 계산을 따라가는 목표는 네 식을 암기하는 것보다 각 식이 무엇을 비교하는지 설명하는 것이다.

단위와 모형의 범위

좌표는 m, 시간은 s, 전기장은 V/m, 자기장은 T, 전하 밀도는 C/m³, 전류 밀도는 A/m²다. ε는 F/m, μ는 H/m인 양의 상수다. 여기서는 일정 계수의 진공형 교육 모형을 사용한다. 임의의 ε·μ를 실제 물질의 완전한 구성 법칙이라고 해석하지 않는다.

기본 설정은 교육용 μ=4π×10⁻⁷ H/m와 SI 광속으로부터 ε를 유도한다. μ를 현대 SI에서 정확한 상수라고 주장하지 않는다. 이전 정전기 예제의 반올림 Coulomb 상수와 별도의 정확한 ε를 섞지 않는다. 손계산에서는 ε=μ=1인 정규화 계수 예제를 따로 명시한다.

$$c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}},\qquad \epsilon_{\mathrm{teach}}=\frac{1}{\mu_{\mathrm{teach}}(299792458\ \mathrm{m/s})^2}.$$

국소형 네 방정식

발산은 작은 부피에서 밖으로 나가는 정도를 부피로 나눈 극한이다. 회전은 작은 경계의 순환을 방향 있는 면적으로 나눈 극한이다. 아래의 J는 전도 전류 밀도이며, ε∂tE는 따로 표시한다. 매끄러운 장과 일정 계수라는 가정 아래 식을 사용한다.

$$\begin{aligned}\nabla\cdot\mathbf E&=\rho/\epsilon,&\nabla\cdot\mathbf B&=0,\\\nabla\times\mathbf E&=-\partial_t\mathbf B,&\nabla\times\mathbf B&=\mu\mathbf J+\mu\epsilon\partial_t\mathbf E.\end{aligned}$$

적분형과 면의 종류

첫 두 식의 ∂V는 닫힌 면이며 법선은 바깥쪽이다. 뒤 두 식의 S는 경계 C가 있는 고정된 열린 면이다. C의 진행 방향과 S의 법선은 오른손 규칙으로 묶인다. 곡선을 뒤집으면 대응하는 면 방향도 뒤집어야 한다. 움직이는 도선의 운동 기전력은 이 고정 경로 모형에 포함하지 않는다.

$$\begin{aligned}\oint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf S&=Q_V/\epsilon,&\oint_{\partial V}\mathbf B\cdot d\mathbf S&=0,\\\oint_C\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell&=-\frac{d}{dt}\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf S,&\oint_C\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell&=\mu I_{\mathrm{cond}}+\mu\epsilon\frac{d}{dt}\int_S\mathbf E\cdot d\mathbf S.\end{aligned}$$

손으로 그릴 수 있는 평면파

종이에 z축을 가로로 그리고 Ex와 By의 정현 곡선을 겹쳐 그려 보자. 같은 위상에서 두 장의 크기가 함께 바뀐다. d=+1이면 +z, d=−1이면 −z로 진행한다. 전기장과 자기장, 진행 방향의 관계를 확인하자. 무한 평면파는 법칙을 확인하기 위한 이상화이며 유한 안테나의 장이 아니다.

$$\phi=d\kappa z-\omega t+\phi_0,\quad\mathbf E=(A\cos\phi,0,0),\quad\mathbf B=(0,dA\cos\phi/c,0),\quad d\in\{-1,1\},\quad\omega=c\kappa.$$

공간 미분과 시간 미분의 짝

Ex는 x와 무관하므로 전기 발산은0이다. By는 y와 무관하므로 자기 발산도0이다. 그러나 z 방향 변화는 회전을 만든다. 아래 두 회전 성분과 시간 미분을 직접 계산하면 변화율의 부호와 계수가 맞아야 한다. A=1, κ=1, ε=μ=1, d=1, z=t=0, φ₀=π/6이면 Ex=By=√3/2, 회전 E의 y성분은−1/2, ∂tBy는+1/2다.

$$\begin{aligned}(\nabla\times\mathbf E)_y&=-dA\kappa\sin\phi,&\partial_t B_y&=dA\kappa\sin\phi,\\(\nabla\times\mathbf B)_x&=A\kappa\sin\phi/c,&\mu\epsilon\partial_t E_x&=A\kappa\sin\phi/c.\end{aligned}$$

Faraday 직사각형의 방향

xz 평면에서 아래 변을 +x로, 오른쪽 변을 +z로 돈다. 법선은−y다. 수직 변에서는 E·dℓ=0이므로 아래와 위의 Ex 차이만 남는다. 양의 By도 이 면에서는 음의 선속을 만든다. 자속 자체의 부호와 자속 변화율의 부호를 구별하자. 자속 단위는 Wb, 전기 순환 단위는 V다.

$$\oint_C\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell=L_x[E_x(z_0)-E_x(z_1)],\qquad\Phi_B=-L_x\int_{z_0}^{z_1}B_y(z,t)\,dz.$$

Ampere–Maxwell 직사각형

yz 평면에서 +y 다음 +z로 돌면 법선은+x다. 이 예제는 전도 전류가0이지만 전기 선속의 시간 변화가 자기 순환을 만든다. 전도 전류0을 자기장0으로 읽으면 안 된다. 자속과 달리 자기 순환의 단위는 T·m이다.

$$\oint_C\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=L_y[B_y(z_0)-B_y(z_1)]=\mu\epsilon\frac{d}{dt}\left(L_y\int_{z_0}^{z_1}E_x\,dz\right).$$

숫자로 확인하는 두 경로

정규화 계수 ε=μ=1에서 A=κ=1, φ₀=t=0, d=1, z₀=0, z₁=π/2, Lx=Ly=1을 택한다. 전기 순환은1, 자속은−1, 자속 변화율의 음수는1이다. 자기 순환은1, 전기 선속은1, με를 곱한 전기 선속 변화율도1이다. 이는 해당 시각의 값이며 자속과 그 시간 미분이 일반적으로 같은 양이라는 뜻은 아니다.

부동소수점 cos(π/2)는 정확히0이 아닐 수 있다. 이 작은 오차를 임의의 물리적 영점 규칙으로 바꾸지 않고 허용 오차와 별도로 다룬다.

닫힌 상자로 발산을 확인하기

상자의 −x와+x 면은 같은 Ex를 반대 법선으로 측정하여 상쇄한다. −y와+y 면의 By도 상쇄한다. 다른 면의 해당 선속은0이다. 한 면의 선속이0이 아니어도 닫힌 면 전체의 선속은0일 수 있다. 순전하0이라는 결론은 닫힌 면의 합에서 나온다.

상자 두께가0이면 부피로 나누어 밀도를 추정할 수 없다. 계산 모델의 서로 반대인 면을 더한 결과는 해석적 상쇄이며, 독립적인 면적분 검증과 구별한다.

발산만 통과하는 음성 대조

ω를 σκc로 바꾸고 B의 진폭 비율은 그대로 두자. σ=1.2이면 두 발산은 여전히0이지만 진화 식은 일반적으로 어긋난다. 위상 π/6, 정규화 계수, A=κ=d=1에서 Faraday 잔차는+0.1, Ampere 잔차는−0.1이다.

위상0에서는 sinφ=0이라 이 잘못된 장도 그 한 점의 잔차가0이다. 한 표본이 통과했다고 장 전체가 해라는 결론을 내릴 수 없다. A=0인 영장과 κ=0인 균일 정적 장은 별도의 유효한 퇴화 경우다.

아주 얇은 면과 계산 가능성

가까운 두 cos 값을 빼면 작은 순환이 반올림에 묻힐 수 있다. 중간 위상과 sinc를 사용하면 실제 폭을 유지한 채 차이를 계산한다. sinc(0)=1은 좌표 표현의 제거 가능한 특이점을 연장하는 것이며 작은 물리적 면을 없애는 규칙이 아니다.

폭이나 높이가 정확히0이면 선속과 순환은0이지만 면적당 평균은 정의하지 않는다. 비영 값의 계산이 수치 범위를 벗어나면 사용 불가로 표시한다. 시간 위상 |ωt|>10⁶ rad는 이 교육 모델의 명시적 지원 범위 밖이며 입력을 몰래 자르거나 주기로 치환하지 않는다.

$$\cos\phi(z_0)-\cos\phi(z_1)=d\kappa h\sin\phi(z_m)\operatorname{sinc}(\kappa h/2),\quad h=z_1-z_0,\quad z_m=(z_0+z_1)/2,\quad\operatorname{sinc}(u)=\sin(u)/u.$$

AI 연구에서의 사용과 검증

신경장 모델의 학습 손실에 발산과 회전 잔차를 넣을 수 있다. 각 항의 단위와 규모가 다르므로 무차원화·가중치·표본 배치를 명시해야 한다. 한 점의 잔차, 공간 전체의 식, 경계 조건, 초기 조건, 에너지와 오차 검증은 서로 다른 증거다.

이 계산의 해석식끼리 비교한 잔차는 독립 증명이 아니다. 별도 Python 검증은 장의 공간·시간5점 차분과 SciPy 면적분의 시간 차분을 비교한다. 관측한 차이는 선택한 조건의 수치 결과이며 엄밀한 오차 상한이 아니다. 복사, 유도, 물질, 에너지 흐름, 파동 묶음은 후속 단원에서 확장한다.

연습과 해설

먼저 부호와 단위를 적고 계산한 뒤 해설과 비교하자.

연습 1: 진행 방향

d=−1, A>0, φ=0일 때 장의 방향은? 해설: E는+x, B는−y다. E×B는−z이므로 진행 방향과 맞는다.

연습 2: 면 방향 뒤집기

Faraday 경로의 방향만 반대로 읽으면 무엇을 바꾸어야 하는가? 해설: 선적분 부호와 대응 면 법선을 함께 뒤집는다. 자속과 그 변화율도 뒤집혀 식이 유지된다.

연습 3: 한 면과 닫힌 면

상자의+x 면 전기 선속이3이면 내부 전하는3ε인가? 해설: 다른 면을 아직 합하지 않았으므로 결론을 낼 수 없다. 이 평면파에서는−x 면이−3이고 전체는0이다.

연습 4: 국소 잔차의 함정

σ=1.2인데 위상0에서 잔차0이 나왔다. 해인가? 해설: 아니다. 다른 위상에서는 일반적으로 잔차가 남는다. A=κ=1, d=1, 정규화 계수, 위상π/6에서는 두 잔차가+0.1과−0.1이다.

연습 5: 영파수

κ=0, A≠0이면 B를0으로 바꿔야 하는가? 해설: 아니다. ω=0이므로 두 장은 공간·시간에 일정할 수 있다. 도함수와 원천이0이면 이 모형의 네 식을 만족한다.

연습 6: 아주 얇은 경로

두 끝 cos 값이 같게 반올림되면 순환은 물리적으로0인가? 해설: 일반적으로 아니다. 비영 폭과 중간 위상을 유지하는 안정식 또는 도함수의 독립 적분으로 확인한다. 정확히0인 면적과 수치 소실을 구별한다.

참고 자료와 다음 연결

MIT 8.02T Chapter 13의 §13.3–13.4와 대조했다. 다음 단원에서는 전하가 쌓이는 영역의 전도·변위 전류와 초기 제약을 연결한다.