합성계·부분추적·Schmidt와 얽힘

1. 두 계를 합치면 가능한 상태의 쌍이 생긴다

한 장치의 기저 상태가2개이고 다른 장치의 기저 상태가3개라고 하자. 두 장치가 함께 있는 상황을 표현하려면 가능한 기저 라벨의 쌍마다 좌표가 필요하므로 총6개가 된다. 이때 사용하는 공간이 텐서곱이다. 직합을 사용하면 좌표가5개이며, 이는 “첫 장치를 사용하는 부문 또는 둘째 장치를 사용하는 부문”처럼 서로 다른 부문을 선택하는 구조다. 어떤 결합을 쓰는지는 계산에 앞선 모델링 결정이다.

계수들을 Alice의 기저 라벨을 행에, Bob의 기저 라벨을 열에 놓은 표로 생각해보자. 곱 상태라면 Alice 계수 열벡터와 Bob 계수 행벡터를 곱하여 표를 채울 수 있다. 일반 상태에서는 이런 표를 여러 개 더해야 할 수 있다. 순수 상태의 얽힘은 하나의 곱 표로 충분한가를 묻는 성질이다. 숫자 무늬가 복잡하거나 시각적으로 연결되어 보인다는 것만으로 얽힘을 정의하지 않는다.

구성	차원	좌표가 나타내는 것
2차원과3차원의 직합	5	서로 다른 부문에 속하는 성분
2차원과3차원의 텐서곱	6	부분계 기저 라벨의 모든 쌍
그 텐서곱 안의 하나의 곱벡터	여전히6차원 공간의 벡터	두 벡터로 인수분해되는 계수 표

개념 그림은 두 국소 공간 → 쌍으로 색인한 진폭 표 → 국소 측정 법칙 → 축약 스펙트럼 → 순수 상태의 얽힘이다. 유한 차원 복소 내적 공간, 정규화 상태벡터, 이상적 사영 측정에서 시작한다. 이 장은 물리 시간이나 Hamiltonian을 지정하지 않는다.

2. 좌표 공식을 쓰기 전에 쌍선형성을 정한다

텐서곱은 u⊗v라는 기호를 생성원으로 삼고 각 자리에 대한 선형 관계를 적용한 벡터 공간이다. 정의의 핵심은 두 원래 공간에서 출발하는 모든 쌍선형 사상이 텐서곱 위의 유일한 선형 사상을 통해 표현된다는 보편 성질이다. 이 성질 덕분에 특정 배열을 선택하기 전에도 같은 수학적 대상을 말할 수 있다.

$$(\alpha u+\beta w)\otimes v=\alpha(u\otimes v)+\beta(w\otimes v),\qquad u\otimes(\alpha v+\beta z)=\alpha(u\otimes v)+\beta(u\otimes z),\qquad \dim(\mathcal H_A\otimes\mathcal H_B)=d_A d_B.$$

곱벡터의 내적은 두 국소 내적의 곱으로 정하고, 이를 각 자리에 켤레선형·선형으로 확장한다. 그러면 국소 정규직교 기저들의 곱이 합성 공간의 정규직교 기저가 된다. 차원이 곱해지는 이유도 여기서 얻는다. 단지 배열의 크기를 임의로 정한 관례가 아니다.

곱을 이루는 인수의 대표는 유일하지 않다. u에0이 아닌 복소수 α를 곱하고 v에 그 역수를 곱하면 u⊗v도 계수 표도 같다. 두 인수를 각각 정규화한 뒤에도 반대 위상은 상쇄된다. 전체 정규화 벡터에 공통 위상을 곱해도 밀도 연산자와 측정 확률은 같다. 반면 서로 다른 표 원소 사이의 상대 위상은 물리적 예측을 바꿀 수 있다.

3. 연산자를 적용하기 전에 라벨 순서를 고정한다

C를 dA행 dB열의 정규화 전 복소 행렬, N을 그 Frobenius 노름의 제곱이라 하자. 이 장에서는 Bob 색인이 먼저 바뀌는 A-major 순서를 사용한다. 2×3 표를 펼치면 C00,C01,C02,C10,C11,C12다. 이 펼침은 선형 연산이며 복소켤레를 취하지 않는다.

$$|\psi\rangle=\frac1{\sqrt N}\sum_{i=0}^{d_A-1}\sum_{j=0}^{d_B-1}C_{ij}|i\rangle_A\otimes|j\rangle_B,\qquad N=\sum_{ij}|C_{ij}|^2,\qquad k=i d_B+j,\qquad C' = A C B^T\quad\text{for }(A\otimes B)|\psi\rangle.$$

마지막 식은 연산 후 |i⟩⊗|j⟩의 계수를 모아보면 확인된다. 그 계수는 Aik Ckl Bjl의 합이다. B의 출력 색인 j가 표의 열 색인이 되므로 전치가 나타난다. 이 자리에 dagger를 쓰면 B까지 켤레가 되어 다른 연산을 구현하게 된다. “복소 행렬이므로 항상 dagger를 쓴다”는 기억법으로 결정할 수 없다.

부분계를 맞바꾸는 swap은 |i⟩A⊗|j⟩B를 |j⟩B⊗|i⟩A로 보내고 계수 표를 전치한다. 펼친 좌표에서 필요한 순열은 두 차원 모두에 의존한다. 직사각형 표를 전치하면서 기존 리스트를 그대로 둬서는 안 된다. 서로 다른 라이브러리의 텐서 계산을 비교하기 전에 부분계 순서와 펼침 규칙부터 확인하자.

4. 부분추적은 모든 국소 예측을 보존한다

전체 밀도 연산자를 ρ=|ψ⟩⟨ψ|로 만든다. Alice의 축약 상태란 Alice에만 작용하는 모든 관측량의 기대를 재현하는 연산자다. 전체 trace를 곱 기저로 전개하면 그 행렬 원소가 유일하게 정해진다.

$$(\rho_A)_{ik}=\sum_j\rho_{ij,kj}=\frac{(CC^\dagger)_{ik}}N,\qquad (\rho_B)_{jl}=\sum_i\rho_{ij,il}=\frac{(C^T\overline C)_{jl}}N,\qquad \operatorname{Tr}(\rho(A\otimes I))=\operatorname{Tr}(\rho_A A).$$

합으로 지우는 반복 색인은 버리는 부분계의 색인이다. 블록 안의 모든 원소를 더하거나 일부 행을 삭제하는 것은 부분추적이 아니다. 결과의 trace는1이다. 국소 벡터에 대한 이차형식은 버리는 부분계의 각 기저벡터와 만든 곱벡터의 전체 이차형식들을 합한 것이므로 음수가 될 수 없다. 따라서 축약 밀도 역시 양의 준정부호다.

버리는 부분계에서 어떤 정규직교 기저를 쓰든 완비성 관계가 같은 항등 연산자를 주므로 연산 자체는 그 기저 선택과 무관하다. 남겨둔 부분계의 기저를 바꾸면 표시되는 행렬은 그에 맞춰 켤레변환된다. “기저와 무관하다”는 말이 화면의 모든 행렬 원소가 항상 같다는 뜻은 아니다.

부분추적은 공동 관측량에 접근할 수 있는 정보를 버린다. 전체가 순수하더라도 부분계의 순도는 보존하지 않을 수 있다. 이를 누군가 고전적 라벨을 잊어서 일어난 물리적 붕괴로 해석할 필요도 없다. 접근할 수 없는 부분계를 측정하든, 다른 실험실에 보관하든, 끝내 관찰하지 않든 국소 통계는 같은 축약 상태로 계산한다.

5. 복소 예제로 숨은 전치를 확인한다

C†C는 유용한 Gram 행렬이지만, 이 장의 관례에서 Bob의 밀도는 그 전치다. 두 행렬은 같은 고유값을 가지면서 대각 밖 허수부의 부호가 다르다. 실수 계수만 시험하면 이 차이가 보이지 않는다.

$$C=\begin{pmatrix}1&i\\0&0\end{pmatrix},\quad N=2,\qquad \rho_A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad \rho_B=\frac12\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix},\quad \frac{C^\dagger C}{N}=\frac12\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}.$$

이 상태는 |0⟩A⊗(|0⟩+i|1⟩)B/√2라는 곱 상태다. Bob의 Pauli Y 기대는+1이다. 전치하지 않은 Gram 행렬을 그의 상태로 읽으면−1을 예측한다. 두 행렬 모두 순수하고 고유값이1,0이므로 고유값과 순도 검사만으로는 오류를 찾을 수 없다.

실제 진단에서는 같은 관측량의 기대를 전체 벡터에서 직접 계산하고, 축약 행렬에서도 별도로 계산하자. 허수 성분이 있는 상태와 Y 관측량을 포함하는 것이 좋다. 국소 측정 법칙 전체의 정확한 일치는 스펙트럼 불변량의 일치보다 강한 관례 검증이다.

6. 특이값 분해에서 Schmidt 분해를 유도한다

C의 특이값 분해를 취하자.0이 아닌 특이값을 sk, 대응하는 왼쪽·오른쪽 특이벡터를 uk,vk라 하자. 행렬 원소를 텐서 계수로 읽으면 Bob 벡터에 켤레가 들어간다.

$$C=U\Sigma V^\dagger,\qquad |\psi\rangle=\sum_{k=1}^r\frac{s_k}{\sqrt N}|u_k\rangle\otimes|\overline{v_k}\rangle,\qquad \lambda_k=\frac{s_k^2}{N},\quad \sum_k\lambda_k=1,\quad \operatorname{spec}_{\ne0}(\rho_A)=\operatorname{spec}_{\ne0}(\rho_B)=\{\lambda_k\}_{k=1}^r.$$

실제로 Cij는 sk Uik와 Vjk의 켤레를 곱한 항들의 합이다. 이를 상태 전개에 넣으면 Schmidt 분해가 되고, 동시에 양쪽 축약 상태의 비영 스펙트럼이 같다는 것을 증명한다. Alice에는 dA−r개의0 고유값, Bob에는 dB−r개의0 고유값이 있다. 국소 차원이 다르면 전체 스펙트럼 리스트까지 같을 필요는 없다.

양의 특이값이 반복되면 해당 U와 V의 열들에 같은 unitary W를 적용할 수 있다. Bob의 물리적 Schmidt 벡터에는 W의 켤레가 적용되므로 쌍으로 묶은 곱의 합이 유지된다. 따라서 축퇴 부분공간 안의 개별 기저벡터는 유일하지 않다. 비축퇴 벡터에도 서로 상쇄되는 위상 자유도가 남고, 영 고유공간에는 추가적인 선택 자유가 있다.

수치 가족은 정확한 중복도와 고유값의 인증 구간을 보고한다. 일반적인 Schmidt 기저벡터를 반환하지는 않는다. 기저가 존재함을 유도하는 것과 특정 기저를 수치적으로 구하는 것은 다른 작업이다. 고유값이 가깝다면 불변 부분공간과 총 가중치는 잘 정해져 있어도 개별 고유벡터는 작은 변화에 민감할 수 있다.

7. Rank1은 순수 상태의 정확한 곱 분리 판정이다

0이 아닌 순수 상태는 C의 rank가1일 때, 그리고 그때만 곱 상태다. C=uvᵀ이면 한 방향은 즉시 보인다. 역으로0이 아닌 Cij 하나를 pivot으로 고르자. 모든2×2 minor가0이면 각 원소는 pivot 열의 성분과 pivot 행의 성분으로 인수분해된다.

$$C_{ij}C_{kl}-C_{il}C_{kj}=0\ \text{for all }i,k,j,l \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{rank}C=1,\qquad u_k=C_{kj},\quad v_l=\frac{C_{il}}{C_{ij}},\quad C=uv^T,\quad N=\|u\|^2\|v\|^2.$$

정규화 인수는 u/‖u‖와 v/‖v‖다. 한 부분계의 차원이1이면0이 아닌 표는 자동으로 rank1이며 검사할2×2 minor도 없다.0인 표는 정규화할 수 없으므로 상태 입력에서 제외한다.

전체가 순수할 때 곱 구조는 어느 한 축약 상태의 rank1, 순도1, von Neumann entropy0과도 동치다. 이 동치에는 전체 순수성이라는 가정이 들어간다. 이를 그대로 일반 혼합 상태의 얽힘 판정으로 옮길 수 없다.

아무리 작아도0이 아닌 minor는 rank가1보다 크다는 정확한 증거다. 곱 상태에 가깝다는 것은 별도의 근사 문제이며, 어떤 노름과 허용 오차를 어떤 목적으로 쓰는지 정해야 한다. 정확한 분류가 반올림 규칙으로 그 질문을 몰래 대신해서는 안 된다.

8. 엔트로피는 Schmidt 가중치의 분포를 측정한다

축약 고유값은 확률분포를 이룬다. Von Neumann entropy는 그 분포의 Shannon entropy이며, Schmidt 기저 자체는 식에 들어가지 않는다. 자연로그를 사용하면 nat 단위이고 ln2로 나누면 bit 단위다.0ln0은 극한값인0으로 정의한다.

$$S_A=S_B=-\sum_{k=1}^r\lambda_k\ln\lambda_k,\qquad S_{\rm bits}=\frac{S_A}{\ln2},\qquad \operatorname{Tr}(\rho_A^2)=\sum_k\lambda_k^2,\qquad 0\le S_A\le\ln r\le\ln\min(d_A,d_B).$$

상한은 λ와 그 r개 비영 성분 위의 균등분포 사이 상대 엔트로피가 음수가 아니라는 데서 얻는다. 상한의 등호는 가중치가 모두 같을 때 성립한다. Rank4라고 최대 얽힘인 것은 아니다. Rank는 비영 가중치의 수를 세고 엔트로피는 그 균형을 측정한다. 순도는 큰 가중치에 더 민감하며 역시 전체 스펙트럼을 결정하지 못한다.

정규화 전 대각 계수 표 C	비영 Schmidt 가중치	축약 순도	bit 단위 엔트로피
diag(1,1)	1/2,1/2	1/2	1
diag(1,2,3)	1/14,4/14,9/14	1/2	약1.198117
diag(1,2,3,4)	1/30,4/30,9/30,16/30	59/150	약1.555913

앞의 두 사례는 같은 축약 순도를 가지지만 Schmidt rank와 엔트로피가 다르다. Qutrit과 ququart 예제에는 실제3·4차원 부분계가 필요하다. 이를 두 상태만 있는 그림으로 바꾸면 물리적 가중치를 지워버린다. 뒤의 두 상태의 nat 단위 엔트로피는 각각 약0.8304717124와1.0784767751이다.

9. 조건부 상태로 steering과 무신호성을 구분한다

0이 아닌 국소 probe 벡터에서 rank1 projector P,Q를 만들자. 각 장치는 projector와 그 직교 여공간에 해당하는 두 결과를 갖는다. 차원이2보다 크면 여공간의 rank가1보다 클 수 있다. 공동 확률은 전체 벡터에 두 국소 projector를 적용하여 계산한다.

$$p_{ab}=\langle\psi|P_a\otimes Q_b|\psi\rangle,\qquad \widetilde\rho_{B|a}=\operatorname{Tr}_A[(P_a\otimes I)\rho(P_a\otimes I)],\qquad \rho_{B|a}=\frac{\widetilde\rho_{B|a}}{p_a}\ (p_a>0),\qquad \sum_a\widetilde\rho_{B|a}=\rho_B.$$

Bell 상태 (|00⟩+|11⟩)/√2에서 Alice를 계산 기저로 측정하면 결과0은 확률1/2로 Bob의 |0⟩를 선택하고, 결과1은 확률1/2로 |1⟩를 선택한다. Alice의 라벨을 받지 못한 Bob은 두 상태의 동일 가중 혼합 I/2를 본다. Alice의 측정을 바꾸면 라벨이 붙은 분해는 달라질 수 있지만 라벨 없이 보이는 상태는 같다.

확률0인 사건에는 정규화된 조건부 상태가 없다. 결과는 임의의 기본 벡터가 아니라 null이다. 고차원 여공간 사건에서는 여러 독립적인 성분이 하나의 결과로 합쳐져, 전체가 순수해도 조건부 상태는 혼합일 수 있다. 이 거친 결과 하나를 조건으로 삼는 것과 하나의 세분화된 기저 라벨을 조건으로 삼는 것은 다른 측정이다.

마지막 식이 비선택 국소 측정의 무신호성이다. Alice가 고전 통신으로 자신의 결과를 알려주면 조건부 상관을 드러낼 수 있다. 그러나 장치를 선택하는 것만으로 Bob 혼자 접근하는 확률 법칙을 바꿀 수는 없다.

10. 국소 기저 변화와 물리적 dephasing을 구별한다

국소 unitary는 C를 UACUBᵀ로 바꾸고, 축약 행렬을 켤레변환하면서 스펙트럼을 보존한다. 유한 계산에서 편리한 검사는 Householder 반사 H=I−2P다. P²=P=P†이므로 H†H=I다. 전체 텐서 작용과 계수 표의 변환을 비교하면 색인과 스펙트럼 불변성을 함께 검산할 수 있다.

$$C'=U_A C U_B^T,\qquad \rho_A'=U_A\rho_AU_A^\dagger,\quad \rho_B'=U_B\rho_BU_B^\dagger,\qquad \rho_{\rm diag}=\sum_{ij}\frac{|C_{ij}|^2}{N}|ij\rangle\langle ij|.$$

마지막 식은 지정한 곱 기저에서의 dephasing을 표현한다. 곱 기저 상태들의 혼합이므로 분리 가능하다. 계산 기저의 공동 확률 표는 보존하면서 대각 밖 coherence를 지운다. 일반적으로 국소 밀도 행렬의 대각 밖 원소도 지우므로, 두 축약 밀도까지 그대로 보존하는 것은 아니다. 처음부터 선택한 기저에서 국소 상태가 대각일 때에만 둘 다 보존한다.

Bell 상태에서는 dephasing 후에도 양쪽 I/2와 완전히 상관된 계산 기저 결과가 같지만 얽힘은 사라진다. 하나의 측정 표와 두 marginal만으로 전체 공동 coherence를 복원할 수 없다. 따라서 확률 인구만 그린 그림을 완전한 양자 상태 시각화라고 부르면 안 된다.

11. 순수 상태 부분전치의 스펙트럼을 직접 구한다

Schmidt 좌표에서 Bob의 행렬 색인을 전치하자. 대각 곱 |kk⟩는 고유값 λk를 준다. 각 k<l에 대해 |kl⟩와 |lk⟩가 이루는2×2 블록은 대각이0이고 대각 밖 크기가 √(λkλl)다. 두 벡터의 대칭·반대칭 결합이 서로 반대인 고유값을 준다.

$$\operatorname{spec}(\rho^{T_B})= \{\lambda_k\}_{k=1}^r\ \cup\ \{+\sqrt{\lambda_k\lambda_l},-\sqrt{\lambda_k\lambda_l}:k<l\} \ \cup\ \{0\}^{d_A d_B-r^2},\qquad \mathcal N=\sum_{k<l}\sqrt{\lambda_k\lambda_l},\quad E_{\mathcal N}=\log_2(1+2\mathcal N).$$

이 장의 negativity 규약은 (‖ρᵀᴮ‖₁−1)/2이며 Bell 값은1/2다. 순수 상태에는 Schmidt rank가1보다 클 때, 그리고 그때만 음의 부분전치 고유값이 있다. 이 명제는 모든 유한 이부분계 차원에서 성립한다. 그렇다고 일반적인 고차원 혼합 상태에도 PPT가 분리에 충분하다는 결론이 나오는 것은 아니다.

일부 Schmidt 가중치가 반복되면 표시한 리스트의 값들이 겹칠 수 있다. 이는 중복도를 포함한 스펙트럼 항의 목록이지 서로 다른 고유공간의 목록이 아니다. Rank r일 때 음수 항을 포함해 r²개의 비영 항이 있고 나머지 dAdB−r²개는0이다. 음의 크기를 직접 더하면 약한 얽힘에서 trace norm과1의 차를 취하는 상쇄를 피할 수 있다.

12. AI와 더 큰 계로 연결한다

같은 SVD는 행렬 근사에도 사용된다. 가장 큰 R개의 특이값을 남기면 rank R 이하 행렬 중 Frobenius 오차가 최소다. 정규화된 양자 벡터에서 버린 제곱 노름은 버린 Schmidt 가중치의 합이다. 남은 질량이 m>0이면 잘린 벡터를 다시 정규화했을 때 원래 상태와의 overlap 제곱은 m이다. 이는 벡터 fidelity에 대한 명제이며, 모든 후속 학습 지표의 오차를 자동으로 보장하지는 않는다.

여러 bipartition을 반복하면 tensor network 분해로 이어진다. 작은 bond dimension은 해당 절단의 Schmidt rank가 작은 상태를 표현할 수 있지만, 같은 비용으로 임의의 강한 얽힘 상태까지 표현하지는 못한다. 데이터셋 텐서가 자동으로 양자 상태가 되는 것도 아니다. 좌표를 어떻게 텐서화하느냐에 따라 부분계 절단과 논의하는 rank가 달라진다.

유한 혼합 상태에는 purification도 존재한다. 밀도를 대각화하고 각 고유벡터에 서로 직교하는 환경 라벨을 붙인 뒤 가중치의 제곱근을 진폭으로 사용하면 된다. 환경을 부분추적하면 원래 밀도가 나온다. Purification은 유일하지 않으며, 접근할 수 없는 환경이 곧 알려진 고전적 준비 라벨이라는 뜻도 아니다.

세 부분계 이상에는 추가 구조가 필요하다. 예를 들어 세-qubit GHZ와 W 상태는 한 부분계의 스펙트럼과 한 부분계를 버린 뒤 남는 두 계의 상관이 다르다. 일반적으로 모든 다부분계 구조를 동시에 대각화하는 하나의 Schmidt 전개는 없다. LOCC 변환, 점근적 자원 비율, bound entanglement, 실험적으로 인증한 witness는 별도의 심화 연구다. 두 유한 계산기만으로 이 연구 질문들을 완료 처리하지 않는다.

13. 해설이 있는 연습문제

1. 펼치기 전에 좌표를 센다. A가2차원, B가3차원일 때 C12는 A-major 벡터의 어느 위치에 있는가? 직합이라면 좌표는 몇 개인가?

해설. 0부터 세는 색인은1×3+2=5이므로6차원 텐서곱 벡터의 여섯 번째 좌표다. 직합은5차원이며 다른 부문을 모델링한다. Swap 이후에는 새로운 차원 순서를 지정해야 하므로 색인5를 무조건 그대로 사용할 수 없다.

2. 복소수 관례 오류를 찾는다. 5절의 C로 Bob의 Y 평균을 구하라. C†C/N을 대신 써도 같은 답을 얻는가?

해설. Bob의 상태 (1,i)/√2는 Y의+1 고유벡터이므로 기대는+1이다. 전치하지 않은 Gram은−1을 준다. 그 행렬의 고유값과 순도는 여전히 실제 상태와 같으므로, 불변량만 보는 검사로는 잘못된 전치를 발견할 수 없다.

3. 곱 인수를 복원한다. C의 두 행이 (1,i,2), (2,2i,4)일 때 정규화된 국소 인수와 전체 노름을 구하라.

해설. Pivot C00=1을 쓰면 u=(1,2),v=(1,i,2)다. 제곱 노름은5와6이며 uvᵀ가 모든 원소를 재현하므로 N=30이다. 정규화하면 u/√5와 v/√6이다. 전체 공간은6차원이지만 모든2×2 minor는0이고 두 축약 상태는 모두 순수하다.

4. 같은 순도에서 다른 스펙트럼을 찾는다. 8절의 diag(1,1)과 diag(1,2,3)을 비교하라. 순도1/2로 Bell 쌍임을 알아낼 수 있는가?

해설. 그렇지 않다. 첫 상태의 가중치는1/2,1/2이고 엔트로피는1bit다. 둘째는 비영 가중치1/14,4/14,9/14로 순도가 역시1/2지만 엔트로피는 약1.198117bit다. 국소 차원과 rank, 전체 스펙트럼이 필요하다. 두 사례 모두 전체 상태는 혼합이 아니라 순수하다.

5. 거친 여공간 결과가 혼합을 남긴다. (|00⟩+|11⟩+|22⟩)/√3을 준비하고 Alice가 P=|0⟩⟨0|와 I−P를 측정한다. Bob의 조건부·비선택 상태를 구하라.

해설. P의 확률은1/3이고 Bob은 |0⟩가 된다. 여공간의 확률은2/3이고 Bob은 (|1⟩⟨1|+|2⟩⟨2|)/2로 순도1/2의 혼합이 된다. 두 조건부를 확률로 가중해 합하면 I3/3이다. 라벨1과2를 따로 구별하는 것은 더 세밀한 다른 측정이다.

6. 부분전치의 중복도를 읽는다. 같은 최대 얽힘 qutrit 상태에서 negativity와 양·음 고유값의 수를 구하라.

해설. 대각 항3개가+1/3을 준다. 순서 없는 쌍3개가 각각+1/3과−1/3을 하나씩 더한다. 따라서 양 고유값은6개, 음 고유값은3개,9차원에서0은 없다. Negativity는1이고 log-negativity는 log₂3이다. 같은 숫자가 반복된다고9개의 서로 다른 고유공간이 생기는 것은 아니다.

14. 유한 모델의 수학적 계약을 지키며 사용한다

순수 가족은 국소 차원1부터4까지 모든16개 조합과0이 아닌 정규화 전 복소 계수 표를 받는다. 50개 소유 정수에는 두 비영 국소 probe도 포함되며 각 정수의 절댓값은10⁶ 이하다. 비활성 상태·probe 좌표는0이어야 한다. Probe 하나가 rank1 projector를 정하고, 전체 직교 여공간이 두 번째 결과가 된다.

밀도 원소·부분추적·rank·minor·특성 다항식 계수·조건부 행렬·국소 반사는 정확 복소 유리수다. 일반 축약 스펙트럼은 정확 square-free 분해와 Sturm 근 개수로1024bit에서 분리한다. 비선형량은768bit 작업 구간과 바깥 방향512bit 관측을 사용한다. 알려진 유리수 점근과 유리수 여부를 아직 분류하지 않은 근을 구별한다. 점이 아닌 분리 구간이 곧 무리수의 증거는 아니다. 숫자 projection이 null이면 기계 숫자로 안전하게 표시할 수 없다는 뜻이며, 유리수 포위 구간에는 여전히 정보가 남을 수 있다.

결과를 보기 전에 marginal이나 rank를 예측하자. 그런 다음 복소 예제·직사각형 곱 상태·rank3 대각 상태·반복 가중치 상태·곱에 가까운 상태를 비교하자. 기저 순서와 검사한 정확 불변량, 조건부 사건의 의미를 함께 기록한다. 이 장은 도서 → Interactive Book에서 연다. 고정 개념 비교는 독립된 준비를 사용하며 자유 실험은 유효한 설정을 이 브라우저에 저장한다. 그림과 함께 정확한 수치 근거를 읽자.

기초 관례는 Preskill Chapter 2의2.3–2.4절, 더 넓은 얽힘 판정과 자원 질문은 Horodecki 등의 Quantum entanglement를 참고한다. 위 계산과 예제는 명시한 좌표와 negativity 규약으로 직접 유도했다.