사차 적분과 발산 점근급수의 절단

1. 유한한 답에 발산하는 계산법이 붙을 수 있다

이전 단원에서는 실수 평형이 유일해도 Taylor 전개가 유한한 수렴 원판 밖에서 실패할 수 있음을 보았다. 이번에는 더 극단적인 예제를 다룬다. 원래 적분은 양수이고 유한하지만, 0을 중심으로 전개한 급수는 모든 양의 결합에서 발산한다.

그렇다고 유한한 차수의 근사가 모두 쓸모없는 것은 아니다. 약한 결합에서는 처음 몇 항이 매우 좋은 답을 주다가, 너무 많은 항을 더하면 오히려 나빠질 수 있다. 이 현상을 명확한 가정, 증명한 나머지 상계, 별도로 포함시킨 적분 구간으로 설명하는 것이 목표다.

여러 요동의 평균 반응을 구한다고 생각해 보자. 가장 가능성이 큰 상태 하나만 알아서는 부족하다. 평균에는 다른 상태들도 기여한다. 이번 대칭 모형에서는 에너지의 최소점은 계속0이지만, 적분은 결합에 따라 달라진다.

2. 전개하기 전에 대상을 정의하기

X를 표준정규 확률변수라 하고, 정규화한 유한 적분을 다음과 같이 정의하자.

$$Z(g)=\mathbb E\!\left[e^{-gX^4/4}\right] =\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2-gx^4/4}\,dx,\qquad g\ge0.$$

g는 무차원 결합이다. 여기의 사차 항 규약은 gx⁴/4다. 이를 gx⁴/4!로 바꾸면 전개 계수가 달라진다. 다른 자료의 식과 비교할 때 이 정규화를 반드시 확인하자.

추가한 지수 인자는0보다 크고1 이하이므로 Z(0)=1, 0<Z(g)≤1이다. 가우스 인자가 이미 적분 가능한 상계를 제공하므로 적분은 유한하다. 양의 g는 큰 요동을 더 강하게 억제한다.

이는 흔히0차원 장이론의 모형으로 쓰는 보통의 단일 변수 적분이다. 연속체 경로적분 측도의 정의, 시간 진화, 다중 우물의 모형은 아니다. 음의 결합과 복소 결합도 이번 실험의 범위에 포함하지 않는다.

3. 가우스 모멘트로 모든 계수 구하기

가우스 짝수 모멘트는 부분적분으로 얻는다.

$$\mathbb E[X^{2m}]=(2m-1)!!, \qquad \mathbb E[X^{2m}]=(2m-1)\mathbb E[X^{2m-2}].$$

다항식과 가우스의 곱이 무한대에서0으로 가므로 경계항이 사라진다. E[1]=1에서 시작하면 E[X⁴]=3, E[X⁸]=105, E[X¹²]=10395다.

이 모멘트는 드물지만 큰 요동이 높은 거듭제곱에 얼마나 크게 기여하는지를 나타낸다. 모멘트는 빠르게 커진다. 처음에는 작은 결합이 이 성장을 누르지만, 차수가 충분히 커지면 어떤 고정된 양의 결합으로도 억제할 수 없게 된다.

4. 형식적 섭동급수 만들기

사차 지수 인자를 유한 차수까지 전개하고 각 항을 평균내자. 얻는 계수와 부분합은 다음과 같다.

$$c_n=\frac{(-1)^n}{4^n n!}(4n-1)!!, \qquad S_N(g)=\sum_{n=0}^{N}c_ng^n.$$

n=0에서는 (−1)!!=1로 해석한다. 독립적으로 계산할 수 있는 팩토리얼 식은 c_n=(−1)ⁿ(4n)!/[2⁴ⁿ(2n)!n!]이다.

처음 몇 항을 쓰면 다음 전개를 얻는다.

$$Z(g)\sim1-\frac34g+\frac{105}{32}g^2 -\frac{3465}{128}g^3+\cdots.$$

기호 ∼는 점근 전개를 뜻하며, 수렴하는 합이라고 선언하는 기호가 아니다. 무한급수를 논하기 전에 유한 차수의 절단이 어떤 의미를 가지는지부터 증명하자.

5. 무한 합과 적분을 바로 바꾸면 안 되는 이유

각 x를 고정하면 지수함수의 급수는 수렴한다. 따라서 무한급수를 항별 적분한 결과도 Z로 수렴할 것이라고 생각하기 쉽다. 그러나 이 교환은 전체 실수 구간에서 정당화해야 한다.

항의 절댓값을 모두 더하면 e^{+gx⁴/4}가 된다. 가우스와 곱한 e^{−x²/2+gx⁴/4}는 g>0에서 적분 가능하지 않다. 이 논증에서는 무한 절댓값 급수를 덮는 적분 가능한 상계를 확보할 수 없다.

문제는 큰 x 영역에서 발생한다. 결합 g가 작아도 무한한 정의역 전체에서 gx⁴/4가 균일하게 작아지는 것은 아니다. 반면 유한 차수의 계산은 모든 가우스 모멘트가 존재하고 나머지를 직접 통제할 수 있으므로 정당하다.

6. 부호 있는 Taylor 나머지로 통제하기

u≥0에서 지수함수의 나머지를 적분 형태로 쓰자.

$$r_N(u)=e^{-u}-\sum_{n=0}^{N}\frac{(-u)^n}{n!} =\frac{(-1)^{N+1}}{N!}\int_0^u e^{-t}(u-t)^N\,dt.$$

적분 안은 음이 아니다. e^{−t}≤1을 사용하면 다음 부등식을 얻는다.

$$0\le(-1)^{N+1}r_N(u)\le\frac{u^{N+1}}{(N+1)!}.$$

이는 마지막으로 남긴 항의 숫자만 관찰하는 것보다 강한 결과다. 모든 음이 아닌 u에서 나머지의 방향과 크기를 함께 증명한다. 절단 다항식이 음수가 되는 큰 u에서도 이 부등식은 유지된다.

이 특정한 부호 구조가 핵심이다. 일반적인 발산 전개에서 계수가 번갈아 나온다는 이유만으로 같은 보증을 얻는 것은 아니다. 반드시 해당 함수의 나머지에 대한 논증이 필요하다.

7. 정당화하지 않은 무한급수 대신 나머지를 평균내기

u=gX⁴/4를 대입하고 유한 나머지 부등식을 평균내자. A_n=|c_n|로 두면 다음을 얻는다.

$$0\le(-1)^{N+1}\bigl(Z(g)-S_N(g)\bigr) \le A_{N+1}g^{N+1}.$$

오른쪽에는 유한한 가우스 모멘트만 들어간다. 따라서 고정한 N에서 g를 음이 아닌 방향으로0에 보내면 오차가 O(gᴺ⁺¹)임을 증명한다.

계산기는 계수, 평가한 항, 부분합, 첫 누락 항의 나머지 상계를 정확한 분수로 계산한다. 큰 항들을 부동소수점으로 더한 뒤 일어난 상쇄를 오차 보증으로 사용하지 않는다. 계산한 숫자와 수학적으로 보장한 범위를 구별하는 것이 중요하다.

8. 홀수와 짝수 부분합으로 답 포함시키기

N이 짝수이면 S_N≥Z이고, 홀수이면 S_N≤Z다. 따라서 사용할 수 있는 홀수와 짝수 부분합을 모으면 포함 구간을 만든다.

$$\max\!\left(0,\max_{n\text{ odd}}S_n\right) \le Z(g)\le \min\!\left(1,\min_{n\text{ even}}S_n\right).$$

섭동 하한이 음수가 되거나 높은 차수의 상한이 매우 커져도0과1이라는 물리적 범위는 유지된다. g=0에서는 모든 부분합이 정확히1이다.

계산할 최대 유지 차수 N을 요청하면 계산기는 다음 계수도 하나 더 구한다. S_N의 나머지를 제한하는 데 그 계수가 필요하기 때문이다. 따라서 표시하는 부분합은 N에서 끝나도, 바로 다음 S_{N+1}은 보고한 점근 포함 구간에 기여할 수 있다.

9. 모든 양의 결합에서 발산함을 증명하기

연속한 두 평가 항의 절댓값 비율은 다음과 같다.

$$\frac{A_{n+1}g^{n+1}}{A_ng^n} =g\frac{(4n+1)(4n+3)}{4(n+1)} \longrightarrow\infty\qquad(g>0).$$

항들은 결국 증가하기 시작하며0으로 갈 수 없다. 따라서 고정한 모든 양의 g에서 급수는 발산하고 수렴 반경은0이다.

이 논증이 Z가 무한대라고 말하는 것은 아니다. 이미0<Z≤1을 증명했다. 실패하는 것은 고정된 결합에서 무한급수로 답을 나타내려는 방법이다. 원래 적분은 여전히 잘 정의되어 있다.

10. 두 극한을 계속 구별하기

N을 고정하고 g를0으로 보내면 나머지 상계는 다음 거듭제곱의 비율로 작아진다. 반대로 g>0을 고정하고 N을 무한히 늘리면 항이 결국 커진다. 두 명제는 동시에 참이다.

더 일반적으로 점근 계수들만으로 함수가 유일하게 결정되지 않을 수 있다. g>0에서 e^{−1/g}는 g→0일 때 모든 고정 거듭제곱보다 빠르게 작아진다. 따라서 이를 더하면 함수는 달라져도 같은 형식적 멱전개를 가질 수 있다.

이번에는 적분의 정의, 양수성, 나머지 부등식이 우리가 말하는 함수를 지정한다. 발산하는 합에 임의의 값을 붙이는 것이 아니며, 일반적인 재합성 알고리즘을 구현한 것도 아니다.

11. 절단 규칙이 무엇을 최적화하는지 이름 붙이기

이번 규칙은 사용할 수 있는 유지 차수 중 증명된 첫 누락 항 상계를 최소화한다. S_N의 상계는 A_{N+1}g^{N+1}다. 따라서 상수항이 아니라 인덱스1부터 시작하는 누락 항들을 비교한다.

위의 항 비율은 인덱스가 증가할수록 커진다. 따라서 누락 항들이 감소를 멈추는 첫 차수를 찾으면 된다. 비율이 정확히1이면 같은 상계를 주는 두 차수가 생기며, 계산기는 더 이른 유지 차수를 선택한다.

약한 결합에서 누락 항 인덱스는 대략1/(4g), 유지 차수는 그보다 하나 작다. 이는 정확한 정수 공식이 아니다. 더 중요한 점은 상계가 최소인 차수와 실제 오차가 최소인 차수가 반드시 같지는 않다는 것이다. 보증은 보수적일 수 있다.

실험은 차수 예산 안의 최선과 전역에서 가장 작은 첫 누락 항 상계를 구분한다. 전역 차수가 최대32를 넘으면 그 한계를 표시한다. 마지막으로 계산한 차수를 전역 최적이라고 잘못 부르지 않는다.

12. g=1/10을 손으로 계산하기

처음 몇 부분합과 다음 항 상계는 다음과 같다.

유지 차수	부분합	첫 누락 항 상계
0	1	0.075
1	0.925	0.0328125
2	0.9578125	0.0270703125
3	0.9307421875	0.032991943359375

표에서 가장 작은 상계는 S₂에 해당한다. 별도의 고정밀 수치 계산은 Z≈0.94450180167417135를 준다. 따라서 S₂의 오차는 약0.01331이며, 보장한 상계0.02707보다 작다.

S₃의 오차는 반대 부호다. 항 하나를 더했다고 반드시 더 정확해지는 것은 아니다. 훨씬 높은 차수에서는 부분합이 물리적 구간(0,1]을 벗어날 수 있지만 원래 적분은 그 안에 남는다.

13. 별도의 적분 포함 구간 구하기

급수와 비교할 적분값은 다른 계산으로 구하자. 대칭성과 가우스 정규화를 사용하면 다음 비율을 얻는다.

$$I(g)=\int_0^\infty e^{-S_g(x)}\,dx, \qquad S_g(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{gx^4}{4}, \qquad Z(g)=\frac{I(g)}{I(0)}.$$

이 비율은 반올림한 π의 제곱근을 대입하지 않고 정규화 상수를 상쇄한다. 수치 구성에서는[0,16]을256개 패널로 나누고 각 패널의 지수함수 적분을 포함시킨다.

패널에서 x=a+δu, 0≤u≤1로 쓰고 e^{−S_g(a)}와 e^{−ΔS(u)}를 분리한다. ΔS의 계수는 음이 아니다. 따라서 지수함수의32차·33차 짝수/홀수 Taylor 다항식을 적분하면 상하한을 얻는다. 방향을 보존하는192비트 연산이 반올림 불확실성까지 포함한다.

이는 유한 패널에서 지수함수를 국소 전개하는 방법이다. 적분 전체를 g로 전개한 발산급수와는 다르다. 두 전개를 혼동하면 강한 결합에서도 별도의 적분법이 유효할 수 있는 이유를 놓치게 된다.

14. 꼬리를 제한하고 보증을 조심스럽게 결합하기

볼록성에 의해 S_g(L+t)≥S_g(L)+S'_g(L)t다. 이 지수 상계를 적분하면 다음 꼬리 보증을 얻는다.

$$\int_L^\infty e^{-S_g(x)}\,dx \le\frac{e^{-S_g(L)}}{S'_g(L)},\qquad L>0.$$

기준 구간은 패널, 반올림, 꼬리의 불확실성을 모두 포함한다. 별도로 계산한 mpmath 고정밀 소수와 Bessel-K 표현은 수치 교차 검산에 사용한다. 소수 자체를 증명된 포함 구간이라고 부르지는 않는다.

표시에서는 세 구간을 분리한다. 순수 적분 구간, 홀수/짝수 부분합의 점근 구간, 두 구간의 교집합이다. 교집합은 양쪽 정보를 모두 사용한 결과이므로 독립적인 수치 적분 결과라고 설명해서는 안 된다.

결합이 매우 작으면 유한 차수의 점근 오차 보증이 수치 적분의 해상도보다 훨씬 좁을 수 있다. 기준 구간이 부분합을 포함한다고 오차가0인 것은 아니다. 정확한 다음 항 보증을 유지하고, 분해하지 못한 거리는 분해하지 못했다고 보고해야 한다.

15. 시각화로 확인할 실험과 실패 사례

g=0.1에서 차수를 올리며 부분합과 적분 구간을 비교하자. 항의 절댓값과 오차 상계를 로그축에 그리되 정확한0은 별도 표시한다. 처음에는 내려가다가 다시 올라가는 모양이 마지막 숫자 하나보다 절단의 의미를 잘 설명한다.

다음으로 g=0.01, g=0.001을 사용하자. 유용한 차수는 더 높은 쪽으로 이동한다. 후자의 경우 전역에서 가장 작은 상계를 주는 차수가 현재 예산을 벗어난다. g=1이나16에서도 양의 유한 적분은 남지만, 보통의 섭동급수가 주는 정보는 약해질 수 있다.

적분함수 그림은 g가 커질 때 꼬리가 억제되는 모습을 보여야 한다. 세로 척도와 정규화도 명시해야 한다. 3차원 곡면은 변위·결합·적분함수 높이를 보여줄 수 있지만 물리적 시간이나 연속체 장의 상태를 나타내는 것은 아니다.

16. AI와 통계물리 연구에 연결하기

에너지 기반 모형에는 최소점뿐 아니라 정규화 적분이 필요하다. 섭동 기준선은 풀 수 있는 가우스 모형 근처에서 학습한 근사가 어떻게 동작하는지, 높은 차수의 보정이 어디서부터 도움이 되지 않는지를 드러낸다.

이번 예제에서는 최소점에서의 곡률조차 모든 g에서1로 같다. 최소점과 그 Hessian만으로는 전체 정규화 적분을 결정할 수 없다. 적분을 미분하면 관측량과의 유용한 연결을 얻는다.

$$\frac{dZ}{dg}=-\frac14\mathbb E\!\left[X^4e^{-gX^4/4}\right]<0, \qquad \frac{d\log Z}{dg}=-\frac14\langle X^4\rangle_g.$$

첫 기대값은 원래 표준정규분포를 사용한다. 두 번째는 e^{−x²/2−gx⁴/4}에 비례하는 정규화된 밀도를 사용하므로 서로 다른 평균이다.0에서의 첫 미분은−3/4로 첫 섭동 계수와 일치한다. 이 관계는 평형 위치를 평균으로 오해하지 않으면서 정규화의 민감도와 모멘트를 연결한다.

적분의 정의, 결합의 규약, 유지 차수, 나머지 보증, 독립 기준값의 불확실성을 함께 보고하자. 방법을 비교할 때 관찰한 작은 오차와 증명된 상계를 구분하고, 차수 예산 안에서의 선택과 전역 규칙의 최적화를 구분한다.

이 유한 예제는 상관함수와 통계장이론에 쓰이는 개념을 준비한다. 이것만으로 연속체 경로적분이 존재하거나, 상호작용하는 장이론에서 특정 재합성 방법이 성공한다고 증명하는 것은 아니다.

17. 해설 문제

1. 양의 g에서 적분이 유한한 이유는? 적분함수가 가우스 적분함수로 제한된다. 정규화하면0<Z≤1이다.
2. 첫 보정항은 무엇인가? E[X⁴]=3이므로 계수는−3/4, 실제 보정항은−3g/4다.
3. 어느 부분합이 상한인가? 유지 차수가 짝수인 부분합이다. 적분한 나머지 Z−S_N의 부호는(−1)ᴺ⁺¹이다.
4. 교대 부호만으로 수렴을 증명할 수 없는 이유는? 고정된 모든 양의 g에서 항 비율이 결국1을 넘고 계속 커져 항이0으로 가지 않기 때문이다.
5. g=0.1에서 N=2는 무엇을 최적화하는가? 첫 누락 항의 나머지 상계를 최적화한다. 모든 입력에서 N=2가 실제 오차를 최소화한다는 주장은 아니다.
6. 전역 권장 차수가32보다 크면 적분값도 구할 수 없는가? 아니다. 이번 절단 예산의 한계이며, 별도의 적분 포함 구간은 여전히 존재한다.
7. 기준 구간에 S_N이 들어 있으면 정확히 같은가? 아니다. 오차를 구분하기에 구간이 넓을 수 있다. g=0의 정확한 일치는 이와 별도로 해석적으로 증명한다.
8. 교집합 구간을 따로 표시하는 이유는? 적분과 점근 정보를 모두 사용하기 때문이다. 이를 독립 수치 기준값이라고 부르면 정보의 의존성을 숨기게 된다.

18. 참고 자료와 다음 질문

NIST DLMF §2.1은 점근 정의를, §2.11은 나머지 통제를 설명한다. Mera, Pedersen, Nikolić는 발산급수 재합성 연구에 유한 사차 모형을 사용한다. 이번 교재의 정규화와 오차 보증은 위에서 별도로 명시했다.

다음은 특이 섭동이다. 작은 계수가 최고차 도함수에 곱해져 있으면 그 계수를0으로 놓는 순간 경계조건 하나를 잃을 수 있다. 경계층 문제에서는 같은 전개에 항을 더하기보다 변수의 척도를 바꾸는 분석이 필요하다.