두 진동자의 잠김과 미끄러짐

1. 같이 움직인다는 말부터 나누기

시계 두 개가 같은 속도로 움직여도 바늘이 같은 방향을 가리킬 필요는 없다. 한 번 나란히 놓였다고 해서 이후에도 같은 속도로 움직이는 것도 아니다. 여기서는 같은 위상, 같은 순간 주파수, 장시간 평균 주파수의 일치, 교란 뒤 안정적으로 돌아오는 잠김을 구분한다.

각 진동자의 진폭을 일정하다고 가정한 위상 모형을 사용한다. 앞의 Hopf 단원에서 본 진폭 회복의 조건이 실제 계에서 충족되는지는 별도로 확인해야 한다. 이 식만으로 진폭의 탄생이나 진동의 소멸까지 계산했다고 하지 않는다.

2. 전체 결합과 간선 하나의 결합

시간은 s, 위상은 rad, 각주파수와 결합 K는 s⁻¹이다. 전체 결합 K를 두 방향 간선에 K/2씩 배분한다.

$$\dot\theta_1=\omega_1+\frac K2\sin(\theta_2-\theta_1),\qquad \dot\theta_2=\omega_2+\frac K2\sin(\theta_1-\theta_2).$$

δ=θ₁−θ₂, Δ=ω₁−ω₂, Φ=(θ₁+θ₂)/2로 두면 두 방향의 결합 항이 평균에서 상쇄된다.

$$\dot\delta=\Delta-K\sin\delta,\qquad \dot\Phi=\overline\omega=\frac{\omega_1+\omega_2}{2}.$$

간선 결합을 κ라고 쓰는 다른 계약에서는 상대 방정식에2κ가 나타난다. 여기의 K와 그 κ를 바꿔 읽으면 잠김 경계를2배 잘못 계산한다. 평균 위상은 따로 주며, 상대 위상만으로 공통 회전을 복원하지 않는다.

3. 원 위의 초기값을 정확하게 지정하기

초기 반각을 정수 쌍 a,b로 지정한다. 둘 다0인 쌍만 제외한다.

$$\cos\delta_0=\frac{b^2-a^2}{a^2+b^2},\qquad \sin\delta_0=\frac{2ab}{a^2+b^2},\qquad \tan\frac{\delta_0}{2}=\frac ab.$$

마지막 비는 b≠0에서만 쓴다. b=0은 δ₀=π를 나타낸다. 같은 비영 척도를 곱한 쌍은 같은 원 위 점이다. 구현은 b>0 또는 b=0,a>0인 대표를 골라 초기 각도를 (−π,π]에 둔다. 이 좌표의 척도 선택은 물리 상태를 재조정하는 조작이 아니다.

4. 비선형 위상 방정식을 선형 좌표로 들어 올리기

시간에 따라 변하는 보조 좌표를 B,A로 쓰고 초기값을 b,a로 둔다. 반각의 탄젠트 A/B는 Riccati 방정식을 따른다.

$$\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}B\\A\end{pmatrix} =L\begin{pmatrix}B\\A\end{pmatrix},\qquad L=\frac12\begin{pmatrix}K&-\Delta\\\Delta&-K\end{pmatrix},\qquad \dot u=\frac\Delta2(1+u^2)-Ku.$$

B=0에서 u는 무한대로 가지만 두 보조 좌표는 동시에0이 되지 않는다. 따라서 선형 좌표는 위상이 표시 구간을 통과하는 순간에도 해를 잃지 않는다. 물리적인 위상 방향은 (B+iA)의 방향이고 δ는 그 방향각의2배다. 보조 좌표의 길이는 실제 진동자의 진폭이 아니다.

5. 하나의 판별식이 세 흐름을 구별한다

D=K²−Δ²로 두면 다음 성질이 있다.

$$L^2=\frac D4I,\qquad e^{tL}=C(t)I+F(t)L,\qquad (C,F)= \begin{cases} (\cosh(\gamma t/2),\,2\sinh(\gamma t/2)/\gamma),&D>0,\\ (1,t),&D=0,\\ (\cos(qt/2),\,2\sin(qt/2)/q),&D<0, \end{cases} \quad\gamma=\sqrt D,\ q=\sqrt{-D}.$$

D=0에서는 L²=0이므로 지수가 정확히 I+tL이다. 작은 양수·음수를 허용오차로 이 분기에 옮기지 않는다. K=Δ=0은 모든 상대 위상이 중립적인 특별한 경우다. 이를 양의 결합에서 생기는 임계 병목과 별도로 표시한다.

6. 잠긴 해도 안정성을 따로 확인한다

K>|Δ|에서는 원 위의 고정 위상이 두 개다.

$$\sin\delta_* =\frac\Delta K,\qquad \cos\delta_s=+\sqrt{1-(\Delta/K)^2},\quad \cos\delta_u=-\sqrt{1-(\Delta/K)^2},\qquad \lambda_s=-\gamma,\quad\lambda_u=+\gamma.$$

δs 근처의 교란은 줄고 δu 근처의 교란은 커진다. 국소 회복시간은1/γ다. 초기값이 정확히 불안정 고정 위상이라면 잡음 없는 해는 그 자리에 남는다. “고정 위상을 관측했다”와 “안정적인 잠김을 관측했다”는 다른 주장이다.

잠긴 상태에서는 두 실제 각주파수가 평균 주파수와 같다. 그러나 고정된 상대 위상이0일 필요는 없다. 초기 고유 주파수가 다를 때에는 대체로 유한한 위상차가 결합 효과를 만든다.

7. 임계 병목은 지수 회복이 아니다

Δ=K>0에서 δ=π/2+η로 두면 다음을 얻는다.

$$\dot\eta=K(1-\cos\eta)\sim\frac K2\eta^2.$$

η<0 쪽에서는 고정 위상으로 천천히 접근하지만 η>0의 작은 교란은 앞으로 이동해 큰 위상 이동을 만든다. 선형 고윳값0만 보고 양쪽에서 지수적으로 회복한다고 표시하지 않는다. 반대 부호의 Δ에서는 방향이 바뀐다.

이것은 위상 원 위 고정점의 비쌍곡 병목이다. 앞 단원의 Hopf 진폭 탄생이나 뒤의 무한 집단 전이와 같은 현상으로 합치지 않는다. K,|Δ|가 매우 가까우면 유한 관측 시간 동안은 잠김과 미끄러짐이 비슷하게 보일 수 있다.

8. 미끄러짐과 유한 관측 창

|Δ|>K이면 상대 위상은 한 방향으로 계속 이동한다. 한 바퀴의 시간은 출발 위상에 관계없이 같다.

$$q=\sqrt{\Delta^2-K^2},\qquad T_{\rm turn}=\frac{2\pi}{q},\qquad \lim_{t\to\infty}\frac{\delta(t)-\delta_0}{t} =\operatorname{sign}(\Delta)q.$$

순간 속도 Δ−Ksinδ는 한 바퀴 안에서 변한다. 따라서 현재까지의 평균 [δ(t)−δ₀]/t가 위의 장시간 평균과 같을 필요는 없다. t=0의 유한 창 평균은 정의하지 않는다. 임계 가까이에서는 한 바퀴 시간이 아주 길어져, 장시간 평균이 양수여도 짧은 창의 완료 회전 수가0일 수 있다.

9. 표시 구간과 완료 회전 수를 분리하기

감지 않은 연속 위상을 δlift라 하고 초기값을 (−π,π]에서 시작하자. 표시용 각도와 두 정수 지표를 다음처럼 정한다.

$$\delta_{\rm wrap}=\delta_{\rm lift}-2\pi b,\qquad b=\left\lceil\frac{\delta_{\rm lift}-\pi}{2\pi}\right\rceil, \qquad n_{\rm turn}=\operatorname{sign}(\Delta) \left\lfloor\frac{qt}{2\pi}\right\rfloor\quad(|\Delta|>K).$$

b는 선택한 표시 경계의 분기 번호다. nturn은 초기 상대 위상부터 순방향 또는 역방향으로 온전히 끝낸2π 회전 수다. 두 값은 서로 다르다. 잠김·임계·중립 흐름은 유한 시간에 초기값에서 완전한 한 바퀴를 끝내지 않으므로 nturn=0이다. 큰 일시적 위상 이동도 이 정의 아래에서는 완료 회전이 아닐 수 있다.

위의 구간은 +π를 포함하고 −π를 제외한다. 따라서 정확히 δlift=−π이면 b=−1, 표시 각도는+π다. 임계에서 정확히 알려진 경계점은 이 계약을 보존한다. 정수 경계를 수치 구간으로 결정하지 못하면 미해결 경계를 제공하며 반올림으로 회전 수를 만들지 않는다.

10. 위상 정렬과 주파수 동조는 같은 관측이 아니다

두 진동자의 첫 번째·두 번째 조화 질서 변수를 비교하자.

$$R_1^2=\frac{1+\cos\delta}{2},\qquad R_2^2=\cos^2\delta.$$

δ=π에서는 R₁=0,R₂=1이다. 두 고유 주파수가 같고 K=0이면 이 반대 위상 상태도 같은 속도로 계속 움직인다. K>0인 동일 주파수의 반대 위상은 불안정한 고정 위상이다. 둘 다 주파수는 같지만 안정성은 다르다.

반대로 어떤 순간 δ=0이면 R₁=1이지만 Δ≠0에서는 그 순간의 상대 속도가 Δ다. 가장 나란해 보이는 그림이 주파수 잠김을 증명하지 않는다. 집단 질서 한 값만으로 숨겨진 상태를 식별하기 어려운 이유가 이미 두 진동자에서 나타난다.

11. 두 가지 손계산 예제

첫 예제는 ω₁=3,ω₂=0,K=5다. 안정 초기 쌍 a=1,b=3과 불안정 쌍 a=3,b=1을 비교하면 다음과 같다.

초기 상태	sinδ	cosδ	R₁²	선형 성장률 [s⁻¹]
안정 고정 위상	3/5	4/5	9/10	−4
불안정 고정 위상	3/5	−4/5	1/10	+4

두 경우 모두 실제 각주파수는1.5rad/s다. 안정한 경우의 회복시간은1/4s다. 고정 궤적 하나만으로 안정성까지 확인한 것은 아니다.

둘째는 Δ=K=1,a=2,b=1,관측 시간4s인 임계 예제다. 보조 좌표를 처음 (B,A)=(1,2)로 두면 B=1−t/2,A=2−t/2다. δ₀=2arctan(2)다.

t [s]	δlift	표시 각도	b	완료 상대 회전
0	2arctan(2)	2arctan(2)	0	0
2	π	π	0	0
4	2π	0	1	0

마지막에는 위상이 정렬됐지만 상대 속도는1rad/s다. 표시 경계를 지났어도 초기 위상에서2π를 온전히 끝내지는 않았다. 반대 부호의 임계 예제는 정확히−π에서 표시 각도+π,분기 번호−1을 준다.

12. 정확한 흐름의 기록과 수치 적분을 구별하기

생산 계산은 실수2×2 지수를 방향성 Taylor 합·명시적 꼬리 경계·반복 제곱으로 구한다. 임계의 I+tL과 정확한 고정 위상은 별도 대수 분기로 보존한다. 보조 좌표를 길이로 나눠 방향을 얻는 것은 좌표 변환이며, 실제 진폭 궤적을 원에 강제로 투영하는 일이 아니다.

연속 위상은 인접한 정확 흐름의 국소 atan 변화를 합한다. 각 구간의 상대 위상 변화가1/2rad이하라는 속도 경계를 먼저 보장한다. 이는 시간 단계로 미분방정식을 근사하는 방법이 아니다. 사용자 기록 수를 바꿔도 이 계산 분할과 물리적 끝점은 같다. det(exp(tL))−1과 원 위 잔차는 별도 구간으로 확인한다.

독립 참조는220자리의 일반 행렬 지수와 해석적 한 바퀴 시간·주값 각도로 감지 않은 위상을 복원한다. 생산 계산의 국소 각도 합을 복제하지 않는다. 선택한 사례는 상대 위상 방정식의 독립 DOP853 적분으로도 비교하며, 이 부동소수점 적분 오차 검사를 증명된 구간이라고 부르지 않는다.

13. 계산하고 설명하는 여섯 문제

1. 각 방향 간선 결합이 κ=2라면 상대 위상 방정식의 사인 계수는? 풀이:2κ=4다. 이 단원의 전체 결합 표기로는 K=4이며 잠김 경계는 |Δ|=4다.

2. Δ=3,K=5의 안정한 위상과 국소 회복시간은? 풀이:sinδ=3/5,cosδ=4/5이며 γ=4다. 회복시간은1/4s다. cosδ=−4/5인 다른 해는 불안정하다.

3. 임계 손계산 예제의 t=2와 t=4에서 두 정수 지표를 구하라. 풀이:t=2는 δ=π여서 b=0,nturn=0이다. t=4는 δ=2π여서 b=1,nturn=0이다. 초기 각도에서 끝낸 완전한 회전과 표시 경계 번호는 다르다.

4. Δ=−6,K=3의 장시간 평균과 한 바퀴 시간은? 풀이:q=√27이므로 평균은−√27rad/s,한 바퀴 시간은2π/√27s다. 음수는 방향을 뜻하며 주기를 음수로 만들지 않는다.

5. R₁=0이면 두 주파수는 반드시 다른가? 풀이:아니다. 동일 주파수의 반대 위상 쌍은 R₁=0,R₂=1로 움직일 수 있다. K=0이면 중립적이고 K>0이면 반대 위상이 불안정하다는 차이도 있다.

6. 고정 상대 위상 하나로 Δ,K와 공통 회전을 모두 알아낼 수 있는가? 풀이:고정값은 Δ=Ksinδ의 조합만 제한하며 공통 회전은 상대 방정식에서 소거됐다. 다른 위상의 회복과 절대 시간·위상 관측이 추가 정보를 준다. 기록 수만 늘리는 것은 새로운 물리적 실험을 추가하는 것과 다르다.

14. 적용 조건과 다음 집단 모형

여기의 계수·초기값·결합은 명시한 모형의 입력이다. Acebrón 등의 원 논문II절의 K/N 정규화에서 두 진동자의 계약을 확인하고, 위의 작은 해·분기·정수 지표는 직접 유도했다. 위상 모형에 저장고·이동도·잡음을 지정하지 않았으므로 위상 끌림을 물리적 열이나 엔트로피 생성과 곧바로 동일시하지 않는다.

AI 연구에서는 같은 질서 관측값을 만드는 다른 위상·속도·안정성을 구별하고 실험을 설계할 수 있다. 이 모형을 임의의 학습 네트워크에 대한 보편적인 동기화 보장으로 쓰지 않는다. 다음에는 유한 집단에서 R₁,R₂·주파수 차·초기 집단 구조를 비교하고 연속 분포의 무한 집단 극한과 구분한다. 현재 원고·수치 기반은 Worker·교수 화면·읽기 등록 전 단계다.