분포와 시험 함수의 작용

델타의 높이를 묻는 대신 작용을 묻기

분포 T는 시험 함수 공간 C_c^∞의 원소를 숫자로 보내는 연속 선형 범함수입니다. 이 공간의 수렴은 단순한 점별 수렴이 아닙니다. 지지집합이 공통 compact 집합 안에 있고 모든 차수 도함수가 균등 수렴하는 시험 함수열을 사용합니다. Dirac 델타는 δₐ[φ]=φ(a)로 정의됩니다.

국소 적분 가능한 f는 오른쪽 식으로 분포를 만들지만 모든 분포가 보통 함수로 표현되는 것은 아닙니다. 델타를 “원점에서 무한대인 함수”로 정의하면 적분과 도함수의 의미를 잃기 쉽습니다.

단위 면적 삼각형으로 근사하기

실습은 중심 a, 폭 ε의 삼각형 ηε(x)=ε⁻¹ max(1−|x−a|/ε,0)을 씁니다. 지지 길이는 2ε, 높이는 1/ε, 면적은 1입니다. φ가 연속이면 ∫ηεφ→φ(a)입니다. ε=.5에서 높이 2, ε=.1에서 10이지만 면적은 같습니다.

화면의 시험 함수는 [−2,2]에서 xᵈ와 같고 바깥에서 매끄럽게 0이 되는 compact 지지 연장입니다. 삼각형의 지지가 이 구간 안이라 그림 밖의 연장 부분은 적분에 영향을 주지 않습니다. 다항식 자체를 compact 지지 시험 함수라고 부르지는 않습니다.

작용의 정확한 수치

삼각 분포의 중심 분산은 ε²/6입니다. 따라서 이차 시험 함수의 근사 작용은 a²+ε²/6입니다. a=.5, ε=.5이면 델타 작용 .25, 근사 7/24≈.29167, 오차 1/24입니다. ε=.1에서는 오차가 1/600으로 줄어듭니다. 파랑은 밀도, 주황은 시험 함수의 국소 부분이며 같은 종류의 함수값을 비교하는 오차 곡선은 아닙니다.

분포 도함수의 부호

도함수는 시험 함수로 미분을 옮기고 음의 부호를 붙여 정의합니다. 이로써 델타처럼 보통 함수가 아닌 대상도 미분할 수 있습니다.

φ=x이면 작용은 −1입니다. φ=x²이면 −2a이고 삼각 근사 도함수도 같은 값을 줍니다. φ=x³이면 델타 도함수는 −3a², 삼각 근사는 −3a²−ε²/2입니다. 약한 PDE, 점 하중, Green 함수에서 부호를 실수하면 물리적 보존이나 잔차 해석도 바뀝니다.

확인 문제와 해설

1. ε를 반으로 줄이면 이차 작용 오차는? 1/4이 됩니다. 분산이 ε²에 비례합니다.
2. 높이가 커진다고 질량도 커지나요? 아니요. 폭이 함께 줄어 면적 1을 유지합니다.
3. 한 시험 함수에서 작용이 같으면 분포도 같나요? 아니요. 모든 시험 함수에서 같아야 합니다. 유한 실험은 일반 분포 수렴의 증명이 아닙니다.

추가 읽기: MIT 18.155, Test Functions and Distributions.