상대론적 운동학과 사원운동량

1. 에너지와 운동량을 한 벡터로 묶기

$c=1$을 쓰고 시간 방향 부호가 양수인 계량을 택합니다. 정지 질량 $m$과 속도 $\mathbf v$인 입자의 사원운동량은 $p=(E,\mathbf p)=(\gamma m,\gamma m\mathbf v)$입니다. 사원속도에 질량을 곱한 값입니다. 민코프스키 제곱 노름은 질량껍질 조건을 줍니다.

에너지가 양수인 가지를 사용합니다. 광자는 정지계가 없지만 $m=0$과 $E=|\mathbf p|$를 만족합니다. 질량이 있는 입자의 속력이 낮아지면 운동에너지는 $m|\mathbf v|^2/2$에 가까워집니다.

2. 충돌 전체를 변환하기

에너지와 운동량은 각각 더할 수 있습니다. 두 양이 보존되는 과정에서는 충돌 전후의 총 사원운동량이 같습니다. 총합을 $P=(E_{\rm tot},\mathbf p_{\rm tot})$로 씁니다. 이 벡터가 시간꼴이면 실험실에서 속도가 $\mathbf p_{\rm tot}/E_{\rm tot}$인 운동량 중심계가 있습니다. 이 계에서는 공간 운동량의 총합이 0입니다. 여기서 사용할 수 있는 에너지는 다음과 같습니다.

힘과 상호작용은 실제로 어떤 결과가 일어나는지에 영향을 줍니다. 사원운동량 보존은 운동학적으로 가능한 결과의 범위를 정합니다. Particle Data Group, Kinematics §49.2

3. 고정 표적과 마주 오는 빔 비교하기

에너지 $E_1$, 질량 $m_1$인 입자가 정지한 질량 $m_2$의 표적에 부딪히면 질량껍질 조건으로 다음을 얻습니다.

실험실 에너지 일부는 충돌한 계 전체가 움직이는 데 쓰입니다. 마주 오는 두 빔의 운동량이 상쇄되면 $W=E_{\rm tot}$입니다. 따라서 실험실에서 총에너지가 같아도 두 경우의 가용 에너지가 다를 수 있습니다.

4. 운동학적 문턱 구하기

후보 최종 상태가 질량 $m_{f,i}$인 입자들로 이루어지면 운동량 중심계 에너지는 적어도 $\sum_i m_{f,i}$여야 합니다. 문턱에서는 모든 최종 입자가 그 계에서 정지할 수 있습니다. 이 조건은 에너지와 운동량을 검사합니다. 다른 보존 법칙과 상호작용은 여전히 해당 과정을 제한할 수 있습니다.

예제에서 $m_1=m_2=1$이고 최종 질량의 합이 3입니다. 고정 표적에서는 $E_1\geq 3.5$여야 하므로 입사 운동에너지는 적어도 2.5입니다. 같은 질량의 두 빔이 마주 오고 총 운동에너지가 2.5이면 총운동량은 0이고 $W=4.5$입니다. 차이는 초기 총운동량에서 옵니다.

5. 변환과 문턱 수치 검산하기

from math import isclose, sqrt

m1 = m2 = 1
target_mass = 3
threshold_E = (target_mass**2 - m1**2 - m2**2)/(2*m2)
p1 = sqrt((threshold_E-m1)*(threshold_E+m1))
total = threshold_E + m2
beta = p1/total
gamma = 1/sqrt((1-beta)*(1+beta))
W = sqrt((total-p1)*(total+p1))
assert isclose(threshold_E-m1,2.5)
assert isclose(W,3)
assert isclose(gamma*(total-beta*p1), W)
assert isclose(gamma*(p1-beta*total),0,abs_tol=1e-14)
print(W, total)

6. 새 충돌 사례에 적용하기

• 질량, 실험실 에너지와 부호가 있는 운동량을 각각 기록하세요.
• 실험실 에너지로 문턱을 판단하기 전에 $W$를 구하세요.
• 운동량 중심계로 부스트하고 총운동량이 0인지 확인하세요.
• 총 운동에너지가 같은 두 배치를 비교하고 어느 경우에 운동량 중심계의 가용 에너지가 큰지 설명하세요.