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추정 절차의 위험을 계산하기
제곱오차 위험은 같은 모수 아래 반복 표본에서 오차 제곱을 평균한 것입니다. 한 관측의 오차만 보고 절차의 위험을 알 수는 없습니다. 실습은 S가 이항분포를 따를 때 표본비율을 1/2 쪽으로 축소합니다. λ=0은 원래 표본비율, λ=1은 항상 1/2을 내는 상수 추정량입니다. 막대는 같은 표집 질량이 다른 추정값으로 옮겨진 법칙입니다.
편향과 분산의 정확한 분해
추정량에서 그 평균을 더하고 빼면 평균 0인 중심 오차의 교차항이 사라집니다. 이 예제의 편향은 λ(1/2−p), 분산은 (1−λ)²p(1−p)/n입니다. 따라서 축소는 분산을 낮추지만 p가 1/2에서 멀면 편향을 키웁니다. p=0.8,n=10,λ=0.5에서는 분산 0.004와 제곱 편향 0.0225를 더한 위험 0.0265입니다. 원래 비율의 위험 0.016보다 큽니다.
유한 표본에서 좋아질 수도 있다
p=0.6,n=10,λ=0.5로 바꾸면 위험은 0.006+0.0025=0.0085로 원래 위험 0.024보다 작습니다. 이득은 모수와 축소율에 따라 달라집니다. λ=1이면 표집 법칙이 한 점에 집중하지만 실제 모수가 1/2이 아니라면 그 상수의 오차는 사라지지 않습니다. 분산이 작다는 사실을 정확도가 높다는 말과 동일시하지 마세요.
일치성과 비편향은 다른 성질
λ를 고정하고 n을 늘리면 분산은 0으로 가지만 제곱 편향은 남습니다. 따라서 모든 p에 대해 일치하는 고정 λ는 0뿐입니다. p=1/2이라는 특정 지점에서는 다른 λ도 일치할 수 있습니다. λ_n이 0으로 가도록 설계하면 이 예제에서는 편향과 분산이 모두 0으로 가서 일치성을 얻습니다. 비편향만으로 일치성이 자동으로 성립하는 것은 아니며, 제곱오차 수렴은 확률수렴을 보장하는 충분조건입니다.
예를 들어 표본 수와 관계없이 첫 관측 X1만 쓰는 추정량은 p에 비편향이지만 내부 모수에서 분산 p(1−p)가 줄지 않아 일치하지 않습니다.
확인 문제와 해설
- p=0.8에서 고정 λ=0.5의 극한 위험은? 0.0225입니다.
- λ=1의 분산은? 0이지만 위험은 모수에 따라 양수입니다.
- 축소는 항상 좋은가요? 아니요. 위험과 모형 가정을 함께 검토합니다.
설명할 수 있나요?
실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.
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