준비 공분산·불확정성·포화

1. 무엇의 불확정성을 묻고 있는가

매번 같은 양자 상태를 준비하는 광원을 생각해보자. 한 묶음의 복사본에서는 A를 측정하고, 다른 묶음에서는 B를 측정한다. 두 결과 히스토그램의 폭이 이 장에서 다룰 준비 불확정성이다. 장치가 이상적으로 작동하더라도 그 폭은 양수일 수 있다.

이 실험은 한 복사본에서 A를 측정한 다음 B를 측정하는 순차 실험과 다르다. 순차 실험에서는 첫 장치가 두 번째 장치에 들어갈 상태를 바꿀 수 있다. 유한 표본으로 평균을 추정하는 문제와도 구별해야 한다. 복사본 수를 늘리면 표본 평균의 표준오차는 줄어들 수 있지만, 각 복사본의 결과 분산은 그대로다. 이 세 질문을 구별해야 불확정성 부등식을 모든 장치와 추정량에 대한 주장으로 잘못 확장하지 않는다.

이 장의 개념 그림은 상태 → 중심화한 관측량 → 변동 벡터 → 양의 Gram 행렬 → 불확정성 하한이다. 먼저 각 연결을 유도한 뒤, 익숙한 요약만으로 판단하면 틀리기 쉬운 사례들을 계산한다.

2. 평균을 빼고 변동을 비교한다

ρ는 양이고 trace가1인 상태, A와 B는 Hermitian 관측량이라고 하자. 평균을 뺀 중심화 연산자를 정의한다. 여기서 분산은 행렬 원소를 나열한 표의 분산이 아니라, 중심화한 관측량의 제곱에 대한 상태 평균이다.

$$\mu_A=\operatorname{Tr}(\rho A),\quad \Delta A=A-\mu_A I,\quad v_A=\operatorname{Tr}(\rho(\Delta A)^2)=\operatorname{Tr}(\rho A^2)-\mu_A^2,\qquad c=\operatorname{Tr}(\rho\Delta A\Delta B)=s+ik.$$

실수부 s는 대칭 공분산이다. 허수부 k는 Tr(ρ[A,B])/(2i)이며 실수다. Hermitian 두 연산자의 교환자는 anti-Hermitian이기 때문이다. 이 장에서는 c를 Gram 행렬의 오른쪽 위에 놓는다. A,B 순서를 뒤집으면 c가 켤레가 되고 k의 부호가 바뀌지만, 제곱으로 만든 하한은 변하지 않는다.

A에 상수배의 항등행렬을 더하면 평균만 변하고 중심화 연산자는 같다. 실수 α를 곱하면 분산은 α²배, s와 k는 α배가 된다. 물리 단위가 있다면 vA의 단위는 A², c의 단위는 AB, 분산 곱의 단위는 A²B²다. 유한 실험은 무차원 수치 관측량을 사용한다. 실제 물리량에 적용할 때는 관측량과 하한 모두에 단위를 일관되게 복원해야 한다.

3. 혼합 상태의 변동도 벡터로 옮길 수 있다

행렬을 벡터처럼 취급하고 내적을 Tr(X†Y)로 정의하자. 혼합 상태의 두 변동 벡터는 ΔA√ρ와 ΔB√ρ다. 두 벡터로 만든 Gram 행렬은 양의 준정부호다. 임의의 복소 선형 결합의 제곱 노름이 음수가 될 수 없기 때문이다.

$$X=\Delta A\sqrt\rho,\quad Y=\Delta B\sqrt\rho,\quad \langle X,Y\rangle=\operatorname{Tr}(X^\dagger Y)=c,\qquad G=\begin{pmatrix}v_A&c\\c^*&v_B\end{pmatrix}\succeq0, \quad \det G=v_Av_B-s^2-k^2\ge0.$$

Trace의 순환성을 이용하면 두 √ρ를 붙여 내적이 c임을 확인할 수 있다. 따라서 유한 차원의 모든 밀도 연산자에서 성립하며, rank가 작은 상태도 포함한다. ρ의 역행렬은 필요하지 않다.

Ensemble로도 같은 그림을 만들 수 있다. 준비 라벨마다 √pᵢΔAψᵢ를 세로로 쌓고 B에 대해서도 같은 벡터를 만든다. 그 내적 역시 G다. 이 열들은 G의 편리한 분해이며 ensemble 선택에 따라 모습이 달라진다. 그러나 G 자체는 ρ,A,B만으로 정해진다. 열의 좌표를 A와 B가 동시에 관측된 결과의 진폭이라고 해석해서는 안 된다.

4. 공분산 항을 남겨야 보이는 제약

Gram determinant가 음수가 아니라는 조건이 Schrödinger 하한이다. 여기서 음수가 아닌 s²를 버리면 더 약한 Robertson 하한을 얻는다. 모든 항이 음수가 아니므로 제곱근을 취해 표준편차 형태도 얻는다.

$$v_Av_B\ge s^2+k^2\ge k^2,\qquad \sigma_A\sigma_B\ge\sqrt{s^2+k^2}\ge\frac12|\operatorname{Tr}(\rho[A,B])|, \qquad \sigma_A=\sqrt{v_A}.$$

교환자 기대가0이면 Robertson 하한은0이다. 그렇다고 A와 B가 가환하거나, 각 분산이0이거나, 더 강한 하한까지0이라는 뜻은 아니다. 반대로 가환 관측량도 상태에 따라 양의 공분산을 가질 수 있다. 하한은 지정한 상태에 대한 조건이다. 비가환 행렬 두 개를 골랐다고 모든 상태에서 같은 양의 숫자가 보장되는 것은 아니다.

두 slack은 det G와 vAvB−k²이며, 차이는 s²다. 화면에서 작은 slack이 보인다고 곧바로 등호라고 말해서는 안 된다. 정확한0과 작은 양수는 포화에 대해 서로 다른 결론을 준다.

5. 상관이 있는 순수 qubit을 손으로 계산한다

A=X, B=Y와 순수 Bloch 벡터 r=(3/5,4/5,0)을 택하자. Pauli 항등식 XY=iZ가 교환자의 부호를 고정한다. X²=Y²=I이므로 평균을 알면 분산을 바로 구할 수 있다.

$$\mu_X=\frac35,\quad\mu_Y=\frac45,\quad v_X=\frac{16}{25},\quad v_Y=\frac9{25},\quad c=-\frac{12}{25},\quad k=0,\quad v_Xv_Y=s^2=\frac{144}{625}.$$

강한 부등식은 포화하지만 약한 하한은0이고 포화하지 않는다. 표준편차 곱은12/25다. 따라서 교환자 기대가0이어도 공분산 항이 상당한 제약을 담고 있을 수 있다.

상태와 관측량	분산 vA,vB	복소 공분산 c	강한 slack det G
순수 r=(3/5,4/5,0), X,Y	16/25,9/25	−12/25	0
I/2, X,Y	1,1	0	1
3차원 순수 e₀, 전이 0↔1과0↔2	1,1	0	1

마지막 행의 관측량은 A=e₀e₁†+e₁e₀†, B=e₀e₂†+e₂e₀†다. 두 변동은 서로 직교하는 단위벡터다. 순수 상태라는 사실만으로 포화가 강제되지 않는다. 순수 qubit의 변동 공간이 특별히 작다는 점을 일반 고차원 상태에 그대로 적용하면 안 된다.

6. 포화 조건은 변동 벡터의 선형 종속이다

Cauchy–Schwarz에서 등호는 두 변동 벡터가 선형 종속일 때 성립한다. 한 벡터가0인 경우도 포함한다. vA>0이면 Y를 X 방향으로 사영하자. 제곱을 완성하면 최적 계수와 남는 제곱 노름을 함께 구할 수 있다.

$$\min_{\lambda\in\mathbb C}\|Y-\lambda X\|^2 =v_B-\frac{|c|^2}{v_A}=\frac{\det G}{v_A},\qquad \lambda_* =\frac{c}{v_A},\qquad \langle X,Y-\lambda_*X\rangle=0.$$

복소 최소제곱과 같은 기하다. 다만 내적이 상태에 의해 정해진다. 최소 잔차가0이면 강한 불확정성 하한이 포화한다. 두 연산자가 전체 Hilbert 공간에서 같다는 주장은 아니다. 상태가 점유하는 변동 방향에서의 종속이면 충분하다.

vA=0이면 X=0이고 양성에 의해 c=0이다. 모든 λ가 같은 잔차 vB를 주므로 최적 계수는 비유일하다. 계산기는 계수를 null로 돌려주되 최소 잔차는 보존한다. 이 경우 det G/vA를 계산하면 안 된다. Z 고유상태에서 A=Z,B=X이면 det G=0이지만 최소 잔차는1이다. 분모가0인 가지를 별도로 다루어야 하는 이유다.

7. 공분산 타원은 실수 선형 결합의 분산을 보여준다

실수 u,v에 대해 C=uA+vB는 Hermitian이다. 분산을 전개하면 허수 교차항은 서로 소거되고 대칭 공분산이 남는다.

$$\operatorname{Var}_\rho(uA+vB) =u^2v_A+2uvs+v^2v_B =\begin{pmatrix}u&v\end{pmatrix} V\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix},\qquad V=\begin{pmatrix}v_A&s\\s&v_B\end{pmatrix}\succeq0.$$

단위원 위에서 (u,v)가 회전한다고 상상해보자. 각 방향의 이차형식 값은 그 방향으로 조합한 관측량의 분산이다. V의 주축은 분산이 가장 크고 작은 조합을 나타낸다. 고유값0은 해당 상태에서 변동이 없는 실수 선형 결합을 뜻한다. 등방적인 행렬에서는 유일한 축이 없으므로, 그림이 임의의 벡터 하나를 특별한 방향처럼 제시해서는 안 된다.

이 타원은 비가환 측정의 공동 확률 등고선이 아니다. 복소 G에는 k가 남으며 V와 determinant·스펙트럼이 다를 수 있다. 같은 V를 가진 고전 Gaussian을 수학적으로 그릴 수 있더라도, 그 그림만으로 A와 B의 공동 측정 장치가 만들어지는 것은 아니다.

8. 준비 내부의 변동과 준비 평균 사이의 변동

ρ=Σpᵢρᵢ라는 ensemble에서 성분별 평균을 μA,i와 μB,i로 쓰자. 전체 중심화 곱을 성분 평균 주변에서 전개하면 분산과 복소 공분산을 두 항으로 분해할 수 있다.

$$v_A=\sum_i p_i v_{A,i}+\sum_i p_i(\mu_{A,i}-\mu_A)^2,\qquad c=\sum_i p_i c_i+\sum_i p_i(\mu_{A,i}-\mu_A)(\mu_{B,i}-\mu_B).$$

평균 사이 항은 실수다. 따라서 허수 공분산은 전부 내부 공분산의 평균으로 전달된다. I/2와 A=Z에서 Z 고유상태를 반씩 섞으면 내부/사이 분산이0/1이다. X 고유상태를 반씩 섞으면1/0이다. 상태만으로 예측하는 전체 분산은 둘 다1이다.

통계학의 전체 분산 법칙과 닮았지만 준비 라벨을 지정해야 한다. 두 항을 ρ만의 고정된 ‘고전적 비율’과 ‘양자적 비율’로 부르는 것은 오해를 낳는다. 외부 라벨을 보관하면 어떤 조건부 질문을 할 수 있는지가 달라진다.

9. 위치·운동량에는 정의역 조건도 필요하다

실수선에서 X는 x를 곱하고 P=−iℏ∂x로 작용한다. 두 연산자는 유계가 아니므로 곱과 부분적분에는 적절한 공통 정의역과 유한한 관련 모멘트가 필요하다. 아래의 매끄러운 Gaussian에서는 경계항이 사라진다. 확률밀도의 평균 위치는 x₀, 위치 분산은 a²다.

$$\psi(x)=(2\pi a^2)^{-1/4} \exp\!\left[-\frac{(x-x_0)^2}{4a^2}+\frac{ip_0x}{\hbar}\right],\quad a>0, \qquad \sigma_X=a,\quad\sigma_P=\frac{\hbar}{2a},\quad \sigma_X\sigma_P=\frac\hbar2.$$

미분하면 (P−p₀)ψ=iℏ(x−x₀)ψ/(2a²)를 얻는다. 앞서 유도한 변동 벡터의 선형 종속 조건이다. 파동묶음을 좁히면 운동량 폭이 커진다. 장치의 작동을 설명하기 전부터 준비 파동함수에 성립하는 성질이다.

ℏ≠0인 유한 행렬은 [X,P]=iℏI를 정확히 만족할 수 없다. 모든 유한 교환자의 trace는0이지만 오른쪽 trace는 iℏd이기 때문이다. 유한 격자는 선택한 저에너지 상태와 경계 조건에서 근사할 수 있을 뿐 이 장애를 없애지 못한다. 실험의 임의 Hermitian 행렬을 정확한 정준 위치·운동량으로 표시하지 않는다.

10. 준비 폭·추정 오차·장치 잡음을 구별한다

독립 복사본 N개에서 A의 불편 표본 평균의 분산은 vA/N이다. 독립성과 동일한 상태라는 가정이 필요하다. 표본 사이 상관이나 모형의 부정확성은 결론을 바꾼다. 이 식이 vA 자체를 줄이지는 않는다. 분산을 추정하는 과정에도 통계적 불확실성이 있으며, 정확 확률 실험에는 이 추론 과정이 들어 있지 않다.

양	답하는 질문	추가로 필요한 가정
σA	이 상태의 이상적 A 결과가 얼마나 퍼지는가?	상태와 관측량
표준오차	반복 표본의 통계량이 얼마나 달라지는가?	표본 추출·추정량 모형
장치 RMS 오차 ε	정한 pointer와 A는 얼마나 다른가?	POVM·읽기값·오차 정의
교란 η(B)	Channel이 정한 B 관측량을 어떻게 바꾸는가?	Instrument·교란 정의

다음 장에서는 장치를 명시한다. 정리 없이 Robertson의 σA와 σB를 ε(A),η(B)로 바꾸면 질문 자체가 달라지며 거짓인 주장을 만들 수 있다.

11. 유한 실험의 범위와 수치 판정을 읽는다

실험은 d=1…4, 음수가 아닌 네 ensemble 가중치, 복소 raw 상태 대표, 임의 Hermitian 윗삼각 성분과 실수 조합 계수를 받는다. 양의 가중치가 붙은 벡터는 비영이어야 하며 차원 밖 좌표는0이다. 이 차원에서는 스펙트럼 ensemble을 통해 모든 상태를 최대 네 순수 성분으로 표현할 수 있다. 그러나 실험이 표본 자료에서 그 ensemble을 추론하는 것은 아니다.

모멘트·복소 공분산·determinant slack·분해·사영 계정은 정확 유리수다. 표준편차·가중 변동 좌표·2×2 공분산 스펙트럼은768bit 작업과 바깥쪽512bit 보고 구간을 사용한다. 작은 양의 고유값을0으로 만들지 않으며 중복 고유공간을 합쳐 표시한다. 화면의 반올림 숫자와 정확한 등호 인증은 별개다.

계산은 비가환 공동 분포나 측정 장치를 제공하지 않는다. 일반 관측량 대각화·연속 파동함수·유한 표본 추론은 별도 작업이다. 행렬 원소의 분모가 크다고 실제 실험의 정확도가 보장되는 것도 아니다.

12. 해설 문제와 연구 연결

1. I/2에서 X,Y 교환자 기대가0이면 두 연산자는 호환되는가?

해설. 아니다. [X,Y]=2iZ는 비영이지만 기대는0이다. 두 분산은1, c=0, 강한 slack은1이다. 비호환 관측량도 특정 상태에서 하한이 자명해질 수 있다.

2. 기울어진 순수 qubit 예에서는 어느 부등식이 포화하는가?

해설. Schrödinger 부등식이다. vXvY=s²=144/625다. Robertson 하한은0이고 slack은144/625다. 공분산을 버리면 실제 제약을 잃는다.

3. vA=0,vB=1이면 최적 복소 사영은 무엇인가?

해설. 첫 변동 벡터가0이므로 모든 계수가 최적이다. 계수는 null/비유일이며 최소 잔차는1이다. det G=0이라는 사실만으로 잔차0이라고 결론낼 수 없다.

4. 순수 3준위 예는 왜 포화하지 않는가?

해설. A e₀=e₁과 B e₀=e₂가 서로 직교하는 비영 변동이다. Gram 행렬은 항등행렬이다. 직교 변동 방향이 여러 개이면 순수성만으로 선형 종속이 보장되지 않는다.

5. 상수 offset이나 표본 수 증가로 준비 불확정성이 사라지는가?

해설. Offset은 중심화에서 사라지므로 vA가 같다. 독립 표본 수를 늘리면 추정 평균의 분산은 vA/N이 되지만 한 준비의 결과 분산을 줄이지 않는다.

6. 유한 행렬로 정확한 정준 교환자를 검증할 수 있는가?

해설. Trace 장애 때문에 불가능하다. 선택한 상태에서 정한 근사를 시험하고 격자·정의역 오차를 별도로 분석할 수는 있다.

복소 Gram 기하는 kernel·공분산 추정·최소제곱과 연결된다. 다관측량 공분산 행렬·엔트로피 불확정성·상태 구별·양자 추정·에너지 의존 속도 한계는 심화 주제다. 각각 별도 가정이 필요하다. 보통의 Schrödinger 진화에서 시간은 매개변수이므로, 정준 식의 위치를 시간으로 바꾸어 보편적인 시간 연산자를 만들어서는 안 된다. 이 연구 범위는 유한 실험으로 완료 처리하지 않는다.

교재 진입은 Book → Interactive Book이다. 준비 폭과 측정 오차의 구별은 Ozawa 원 논문 §II를 참고한다. 위 Gram 유도·예제·수치 계약과 비교는 이 교재에서 구성했다.