전송선의 집중 근사와 에너지

단자 예측이 맞으면 내부 에너지도 맞을까

신경망이 케이블 입구의 전압과 전류를 정확하게 예측했다고 합시다. 그러면 케이블 안에 저장된 에너지도 알 수 있을까요? 전송선은 공간 전체에 전기장과 자기장을 저장합니다. 단자의 한 주파수 응답만 맞춘 작은 회로가 그 내부 상태까지 자동으로 재현하지는 않습니다. 이 단원에서는 같은 무손실 선로에 대해 단자 응답, 공간 분포, 에너지를 차례로 비교합니다. 어느 계산이 정확한 분포 모델의 결과이고 어느 것이 저주파 근사인지 계속 구분합니다.

가정과 미리 알아둘 개념

단위 길이 인덕턴스 L과 커패시턴스 C가 일정하고 양수인 선로를 사용합니다. 길이는 ℓ, 오른쪽 끝은 개방, 왼쪽 전압의 실수 위상자 진폭은 Vin입니다. 시간 규약은 exp(+iωt)입니다. 저항·복사·분산 재료·구동을 켜는 과도 현상은 여기서 다루지 않습니다. 무손실 선로에서 켜짐 과도가 저절로 사라진다고 가정해서도 안 됩니다. 양의 주파수의 정현파 경계값 문제를 선택한 것이며, DC와 정확한 공진은 별도로 다룹니다.

작은 구간에서 전신 방정식으로

아주 짧은 구간 dx의 직렬 인덕턴스는 L dx이고 병렬 커패시턴스는 C dx입니다. 오른쪽으로 흐르는 전류를 양으로 잡으면 전압의 공간 감소는 인덕터 전압이고, 전류의 공간 감소는 커패시터를 충전하는 전류입니다. 이 두 수지를 dx로 나누고 극한을 취합니다. 부호를 외우기보다 어떤 방향으로 전류가 빠져나가는지 그려 보면 식이 자연스럽습니다. 두 식을 결합하면 전압과 전류 모두 파동 방정식을 따릅니다.

$$\partial_x V=-L\partial_t I,\qquad \partial_x I=-C\partial_t V,\qquad \partial_x^2 V=LC\partial_t^2 V.$$

속도·임피던스·전기적 길이

파동 속도 c와 특성 임피던스 Z는 서로 다른 정보를 담습니다. LC는 전파 시간을, L/C는 진행파의 전압/전류 비를 결정합니다. 전기적 길이 θ는 선로를 한 번 지나는 동안의 위상 변화입니다. 선로가 몇 m인지 자체보다 관심 주파수에서 θ가 얼마나 작은지가 집중 근사의 핵심입니다. 같은 θ를 유지하고 길이를 바꾸면 실제 주파수도 달라집니다. 정규화된 위상과 SI 주파수를 같은 숫자로 읽지 마세요.

$$c=(LC)^{-1/2},\quad Z=\sqrt{L/C},\quad k=\omega/c,\quad \theta=k\ell=\omega\ell/c.$$

개방 끝의 경계 조건과 공간 해

개방 끝에서는 전류 I(ℓ)=0입니다. 전압을 오른쪽 끝에서부터 코사인으로 놓고 전신 방정식으로 전류를 구하면 경계 조건을 만족합니다. 입구에서 V(0)=Vin을 맞추기 위해 cosθ로 나눕니다. 이 나눗셈이 가능한 유한 주파수에서 아래 해는 분포 모델의 해입니다. 전압 위상자는 실수, 전류 위상자는 순허수이므로 같은 시간에 두 양의 최대값이 발생하지 않습니다. u=x/ℓ은 위치 비율입니다.

$$\widehat V(x)=V_{in}\frac{\cos[\theta(1-u)]}{\cos\theta},\qquad \widehat I(x)=i\frac{V_{in}}Z\frac{\sin[\theta(1-u)]}{\cos\theta},\quad u=x/\ell.$$

단자에서 보이는 어드미턴스

입력 전류를 입력 전압으로 나누면 어드미턴스 Y를 얻습니다. 이 선로에는 저항이 없으므로 실수부가 없고 평균적으로 에너지를 소비하지 않습니다. 허수부 B를 susceptance라고 부릅니다. θ가 작을 때 tanθ≈θ이므로 입구에서는 총 커패시턴스 Cℓ처럼 보입니다. 이 등가는 저주파 단자 관계입니다. 내부 전압이 완전히 균일하다거나 자기 에너지가 정확히0이라는 뜻은 아닙니다.

$$Y_{in}=iB=i\frac{\tan\theta}{Z},\qquad Y_{lumped}=i\omega C\ell=i\frac{\theta}{Z}.$$

작은 보정을 안정적으로 읽기

상대적인 어드미턴스 보정은 tanθ/θ−1입니다. θ=10⁻¹²이면 약3.33×10⁻²⁵이지만, 부동소수점에서 tanθ/θ가1로 반올림된 뒤1을 빼면0이 나올 수 있습니다. 작은 인수에서는 급수로 보정을 직접 계산합니다. 이것은 잃은 측정값을 복원하는 일이 아니라 이미 지정한 해석 가족의 작은 차이를 더 안정적으로 평가하는 일입니다. 비영 결과가 표현 범위 아래로 내려가면 정확한0 대신 사용 불가로 표시합니다.

$$\frac{\tan\theta}{\theta}-1=\frac{\theta^2}{3}+\frac{2\theta^4}{15}+\frac{17\theta^6}{315}+O(\theta^8).$$

순간 전력과 국소 에너지 보존

선로는 무손실이어도 입구의 순간 전력 VI가 항상0인 것은 아닙니다. 에너지를 저장하는 동안에는 들어오고 되돌려 주는 동안에는 나갑니다. 전압·전류를 실수 시간 함수로 되돌린 뒤 전신 방정식에 곱하면 국소 에너지 보존식을 얻습니다. 오른쪽 끝의 전류가0이므로 그 끝을 통과하는 전력도0입니다. 이 식은 해당 분포 선로 모델의 수지이며 주변 공간의 모든 전자기장을 재구성했다는 주장은 아닙니다.

$$u(x,t)=\tfrac12CV(x,t)^2+\tfrac12LI(x,t)^2,\qquad \partial_t u+\partial_x(VI)=0.$$

주기 평균 에너지를 공간에서 적분하기

양의 주파수에서 코사인 제곱의 한 주기 평균은1/2입니다. 따라서 위상자 진폭으로 에너지 밀도를 계산할 때 계수는1/4입니다. 전기 에너지와 자기 에너지를 각 위치에서 구해 길이 전체에 적분하면 총량을 얻습니다. 전압이 커지는 공진 부근에서는 고정된 입력 진폭에도 내부 에너지가 크게 증가합니다. 총량뿐 아니라 공간 분포를 비교하면 단자에서 비슷해 보이는 모델의 차이를 이해하기 쉽습니다.

$$\overline u_E=\tfrac14 C|\widehat V|^2,\quad \overline u_M=\tfrac14 L|\widehat I|^2,\quad \overline U=\int_0^\ell(\overline u_E+\overline u_M)dx=\frac{C\ell V_{in}^2}{4\cos^2\theta}.$$

전기·자기 저장량을 분리하기

코사인 제곱과 사인 제곱을 적분하면 두 저장량을 분리할 수 있습니다. sinc z는 sin z/z이며 z=0에서는 극한1로 정의합니다. 낮은 주파수에서 자기 저장량은 작지만 일반적으로 비영입니다. 작은 1−sinc 값을 직접 뺄 때도 상쇄가 생길 수 있어 작은 인수 급수를 사용합니다. 전체 에너지가 잘 표현된다고 해서 그보다 훨씬 작은 자기 성분도 반드시 표현되는 것은 아닙니다.

$$\overline U_E=\frac{\overline U}{2}[1+\operatorname{sinc}(2\theta)],\qquad \overline U_M=\frac{\overline U}{2}[1-\operatorname{sinc}(2\theta)].$$

한 주파수에서 맞춘 커패시턴스의 함정

측정한 B를 ω로 나누면 그 주파수에서 전류를 정확하게 재현하는 Cfit을 만들 수 있습니다. 하지만 이 값을 주파수에 무관한 커패시터처럼 해석해 에너지를 계산하면 선로의 총 에너지와 다릅니다. 공진을 지나면 Cfit은 음수일 수도 있습니다. 그것은 그 주파수의 유도성 단자 응답을 커패시터 형태로 적은 결과이며, 양의 수동 정전 커패시터를 발견했다는 뜻이 아닙니다. 주파수 대역과 실현 가능 조건을 함께 봐야 합니다.

$$C_{fit}(\omega)=\frac{B(\omega)}\omega=C\ell\frac{\tan\theta}{\theta},\qquad \overline U_{fit,\,nondispersive}=\tfrac14 C_{fit}V_{in}^2.$$

응답의 주파수 미분이 알려주는 것

이 무손실 개방 선로에서는 B의 주파수 미분에 입력 진폭 제곱/4를 곱하면 실제 주기 평균 저장량이 나옵니다. 한 점의 응답 값에 더해 주변 주파수에서 응답이 어떻게 변하는지도 알아야 한다는 뜻입니다. 아래 관계는 고정된 입력 전압 진폭과 이 지정한 경계값 문제에서 직접 계산한 결과입니다. 임의의 손실 장치·다중 포트·분산 재료에 같은 식을 조건 없이 적용하지 않습니다. 미분의 수치 추정은 주파수 간격과 반올림에도 민감합니다.

$$\frac{dB}{d\omega}=C\ell\sec^2\theta,\qquad \overline U=\frac{V_{in}^2}{4}\frac{dB}{d\omega}.$$

숫자로 비교하는1m 선로

L=250nH/m, C=100pF/m, ℓ=1m, Vin=1V라면 c=2×10⁸m/s, Z=50Ω입니다. θ=0.2는 ω=4×10⁷rad/s, 약6.37MHz입니다. 집중 모델은100pF이고 단자 맞춤 값은 약101.355pF입니다. 실제 주기 평균 에너지는 약26.027pJ인데, 맞춘 값을 비분산으로 해석하면 약25.339pJ입니다. 둘 다 그럴듯한 작은 숫자지만 질문이 다릅니다. 단자 오차와 에너지 오차를 같은 지표로 합치지 말고 따로 비교하세요.

정확한 공진과 가까운 입력을 구분하기

θ=(2m+1)π/2에서 개방 조건은 입구 전압을0으로 만듭니다. 따라서 비영 Vin을 지정한 정현파 경계값 문제는 호환되지 않습니다. Vin=0이면 정상파 진폭이 자유로워 해가 유일하지 않습니다. 아주 가까운 유한 이진 입력은 이 정확한 기호 조건과 다릅니다. 계산기는 두 입력 종류를 명시적으로 구분합니다. cos가 작다는 이유로 임의의 폭 안을 모두 정확한 공진으로 바꾸지 않습니다. 가까운 경우의 큰 증폭은 높은 민감도를 뜻합니다.

$$\cos\theta=0:\quad V_{in}\ne0\Rightarrow\text{incompatible},\qquad V_{in}=0\Rightarrow\text{nonunique}.$$

DC와 저주파 평균의 서로 다른 극한

정확한 DC에서는 선로 전압이 Vin이고 전류가0이며 저장량은 CℓVin²/2입니다. 반면 양의 주파수에서 여러 주기를 평균한 뒤 ω→0으로 보내면 CℓVin²/4입니다. 진폭이 같은 매우 느린 코사인도 한 주기 동안은 양수·음수 전체를 지나가기 때문입니다. 평균 구간을 먼저 무한히 늘리는 연산과 주파수를 먼저0으로 두는 연산의 순서가 다릅니다. DC에 존재하지 않는 주기 평균을 억지로 표시하지 않습니다.

$$U_{DC}=\tfrac12C\ell V_{in}^2,\qquad \lim_{\omega\to0^+}\overline U=\tfrac14C\ell V_{in}^2.$$

AI 연구에 연결하는 검증 질문

학습한 축약 모델에는 어떤 관측량, 주파수 대역, 경계 조건, 숨은 상태가 정의되어 있나요? 한 주파수의 V/I에 잘 맞는 모델과 넓은 대역의 기울기·공간 에너지까지 맞는 모델은 검증 범위가 다릅니다. 이 가족의 보존 잔차나 해석식 일치는 독립 인증이 아닙니다. 역방향 ODE, 공간 구적, 주파수 차분, 고정밀 기준을 별도로 대조합니다. Haus·Melcher §14.5는 정현파 전송선과 종단 조건의 배경 자료입니다. 실제 손실과 켜짐 과도로 확장할 때는 새 가정과 검증이 필요합니다.

풀이로 확인하기

연습 1

L=250nH/m, C=100pF/m에서 속도와 임피던스를 계산하세요.

해설: LC=2.5×10⁻¹⁷s²/m²이므로 c=2×10⁸m/s입니다. L/C=2500Ω²이므로 Z=50Ω입니다. 속도와 임피던스의 단위가 서로 다름을 확인하세요.

연습 2

이 선로 길이가1m이고 θ=0.2이면 집중 커패시턴스와 입력 susceptance는?

해설: 총 커패시턴스는100pF입니다. B=tan(0.2)/50≈0.00405420S입니다. 집중 근사는 θ/Z=0.004S이므로 약1.355%의 상대 보정이 남습니다.

연습 3

L=C=ℓ=Vin=1, θ=0.8에서 에너지 계산의 어떤 두 방법이 일치해야 하나요?

해설: 공간에서 전기·자기 에너지 밀도를 적분한 값과 (1/4)dB/dω가 일치합니다. 약0.51504입니다. Cfit/4는 약0.32176으로 다릅니다. 단자 맞춤을 에너지 맞춤으로 바꾸어 해석하면 안 됩니다.

연습 4

θ=π/2를 정확한 조건으로 지정하고 Vin=1 또는0으로 둘 때 무엇이 달라지나요?

해설: Vin=1은 개방 경계와 호환되지 않아 해당 정상 정현파 해가 없습니다. Vin=0에서는 자유 정상파 진폭 때문에 비유일합니다. 두 경우 모두 임의의 유한 에너지나0에너지를 고유한 답으로 제시하지 않습니다.

연습 5

θ=10⁻¹²에서 직접 계산한 tanθ/θ−1이0이면 집중 근사가 정확한가요?

해설: 아닙니다. 선도항 θ²/3≈3.33×10⁻²⁵가 있습니다. 비율이1로 반올림된 결과일 수 있습니다. 급수로 작은 보정을 평가하고, 비영 값도 표현할 수 없으면 사용 불가로 표시해야 합니다.

연습 6

같은1V 진폭에서100pF 선로의 DC 에너지와 저주파 주기 평균 극한을 비교하세요.

해설: 정확한 DC는50pJ, 양의 주파수의 주기 평균 극한은25pJ입니다. 후자는 아무리 느려도 전체 코사인 주기를 평균합니다. 평균 연산과 주파수 극한의 순서가 달라 생기는 차이입니다.