미시상태에서 국소 질서변수로

1. 동네 평균만 남기면 골목의 위치는 사라진다

도시 대시보드에서 모든 거리의 측정값을 동네 평균 하나로 바꾼다고 생각하자. 동네끼리 비교하기는 쉬워지지만, 어느 거리가 경계에 붙어 있는지는 알 수 없다. 경계를 넘어 상호작용이 일어난다면 사라진 세부 정보가 이웃 동네의 예측에도 영향을 줄 수 있다.

공간 coarse-graining도 같은 질문에서 출발한다. 미시 스핀들을 블록 평균으로 바꾼 뒤, 그 평균들이 어떤 확률법을 따르는지 묻는다. 답을 얻으려면 숨긴 상태의 실제 가중치를 모두 합해야 한다. 숨긴 상태의 개수만 세어도 되는 경우는 그 가중치들이 같을 때다.

이 단원은 앞선 퇴화도·조건부 엔트로피에 공간 상호작용의 정확한 유한 계산과 격자 실험을 더한다. 필요한 선수 지식은 기초 확률, 로그와 유한 합이다. 양자 스핀 연산자는 사용하지 않는다.

2. 자화라는 말의 세 가지 의미

고전 스핀은 σ_i=−1 또는 +1이라는 숫자다. 유한 격자를 서로 겹치지 않는 B개의 직사각 블록으로 나누고 각 블록에 v개 사이트를 넣는다. 블록 b에서 +1 스핀의 개수를 k_b라 하자.

$$M_b=\sum_{i\in b}\sigma_i=2k_b-v,\qquad m_b=\frac{M_b}{v},\qquad k_b\in\{0,1,\ldots,v\}.$$

M_b는 블록 합, m_b는 블록 평균, ⟨m_b⟩는 여러 배치를 확률적으로 평균한 앙상블 평균이다. 특정 배치에서는 m_b=1이어도 앙상블 평균은 0일 수 있다. 스핀 하나를 뒤집으면 합이 2만큼 바뀌므로 가능한 m_b 값의 간격은 2/v다.

위치 순서가 있는 목록 k=(k_1,…,k_B)를 블록 프로필이라 부르자. 이 목록은 위치를 보존한다. 반면 K=Σ_b k_b나 전체 자화 2K−N 하나만 남기면 어느 블록에 무엇이 있었는지 사라진다.

3. 미시 모형의 이웃 관계부터 고정한다

J>0일 때 이웃 스핀이 같은 방향이면 에너지가 낮아진다. 블록별 외부장 H_b는 위쪽 스핀을 선호하게 만들 수 있다.

$$E(\sigma)=-J\sum_{\langle ij\rangle}\sigma_i\sigma_j -\sum_bH_bM_b,\qquad P(\sigma)=\frac{e^{-E(\sigma)/T}}{Z}.$$

Boltzmann 상수를 1로 놓고 T>0을 사용한다. 외부장은 같은 블록 안에서 일정하다. 열린 사슬에는 내부 edge만 있다. 주기 격자에서는 각 사이트의 양의 방향 edge와 끝에서 처음으로 돌아가는 edge를 모두 센다. 길이2인 주기 축은 이 규약에서 평행 edge 두 개를 갖는다. 이를 하나로 합치면 결합 J의 의미가 바뀐다.

계산 범위는 1/2차원, 전체 16스핀 이하, 같은 직사각 블록 네 개 이하다. 블록의 각 변은 해당 격자 축을 나누어야 한다. 이는 계산량을 제한하는 조건이지 물질에 관한 법칙이 아니다. 예를 들어 4×4 격자를 2×2 블록 네 개로 나눈다. 작은 확률이라는 이유로 프로필을 생략하지 않고 전체를 유지한다.

4. Boltzmann 인자를 정확한 유리수 계산으로 바꾸기

전체 edge 수를 e, 두 스핀이 다른 edge 수를 d(σ)라 하면 Σ_edge σ_iσ_j=e−2d다. 다음 양의 활동도를 도입한다.

$$x=e^{-2J/T},\qquad y_b=e^{2H_b/T},\qquad w_{\mathrm{rel}}(\sigma)=x^{d(\sigma)}\prod_b y_b^{k_b}.$$

x=1/2이면 불일치 edge가 하나 늘 때 상대 가중치가 절반이 된다. y_b=3이면 그 블록에서 위쪽 스핀이 하나 늘 때 세 배가 된다. x<1은 강자성 결합, x>1은 반강자성 결합이며 x=1에서는 상호작용이 사라진다.

x,y를 유리수로 선택하면 유한 합을 정확하게 계산할 수 있다. 대응하는 J/T와 H_b/T에는 로그가 들어가므로 에너지 계수 자체를 유리수로 지정한 것은 아니다. x를 고정하고 T를 바꾸면 물리 J도 바뀐다. 그 조작을 고정 Hamiltonian의 온도 미분으로 해석하면 안 된다.

5. 프로필은 가중치가 다른 배치들을 담은 바구니다

프로필 k를 고정하고 불일치 수별로 미시 배치를 센다.

$$Q_k(x)=\sum_d n(k,d)x^d,\qquad w_k=Q_k(x)\prod_b y_b^{k_b},\qquad P(k)=\frac{w_k}{Z_{\mathrm{rel}}},\quad Z_{\mathrm{rel}}=\sum_k w_k.$$

n(k,d)는 정수 개수다. 다항식 Q_k는 퇴화도와 상호작용 에너지를 함께 기록한다. x=1이면 익숙한 개수 Ω_k=Π_b binom(v,k_b)가 된다. x가 1이 아니면 같은 바구니 속 배치들도 서로 다른 가중치를 가질 수 있다.

k를 조건으로 주면 외부장 기여는 모두 같아진다. 따라서 P(σ|k)=x^d/Q_k이며 y_b에 의존하지 않는다. 외부장이 특정 프로필의 확률을 높여도 그 안의 배치들이 경쟁하는 비율은 바뀌지 않을 수 있다. 이 소거는 외부장이 블록 안에서 일정하다는 조건에 의존한다.

6. 손계산: 네 스핀을 두 블록으로 나누기

열린 사슬에서 (1,2), (3,4)를 블록으로 놓고 x=1/2, 외부장0을 사용한다. k=(1,1)을 골라 각 블록에 위쪽 스핀을 하나씩 넣으면 숨긴 배치는 네 개다.

왼쪽부터 나열한 스핀	불일치 edge 수 d	상대 가중치	k를 고정한 조건부 확률
+ − + −	3	1/8	1/6
+ − − +	2	1/4	1/3
− + + −	2	1/4	1/3
− + − +	3	1/8	1/6

따라서 Q_(1,1)=2x²+2x³=3/4다. 제한 없는 사슬은 Zrel=2(1+x)³=27/4이므로 이 프로필의 확률은 1/9다. 조건부 d 평균은 7/3, 조건부 분산은 2/9다.

퇴화도가 네 개라고 각 확률이 1/4인 것은 아니다. 완전히 번갈아 놓인 두 배치는 불일치 edge 비용을 하나 더 낸다. 시각화에서는 블록 평균의 색을 유지한 채 네 미시 배치를 바꾸고, 달라진 경계 edge를 강조하면 이 차이를 볼 수 있다.

7. 전체 자화가 같아도 공간 구조는 다르다

전체 자화0에 대응하는 블록 합은 (+2,−2), (0,0), (−2,+2) 세 가지다. x=1/2에서 각각의 가중치는 1/2,3/4,1/2다. 전체 합0을 조건으로 주면 확률은 2/7,3/7,2/7이 된다. 전체 합0 자체의 무조건부 확률은 7/27이다.

(+2,−2)는 ++|−−처럼 경계에서 방향이 바뀌는 domain wall이다. (0,0)에는 완전히 번갈아 놓인 배치와 조금 더 저렴한 배치가 함께 있다. 특정 domain wall 배치는 특정 교대 배치보다 가중치가 네 배 높지만, (0,0) 바구니 전체는 각각의 포화 블록 바구니보다 가중치가 크다. 비교 대상이 배치 하나인지 프로필 전체인지 명시해야 한다.

전체 질서변수 하나로 domain 구조를 설명할 수 없는 이유다. 블록 프로필은 공간 정보를 일부 보존하지만, 블록 내부의 순서는 여전히 숨긴다.

8. 절대 자유에너지에는 공통 인자가 필요하다

상대 가중치만으로 확률을 구할 수 있다. 절대 자유에너지를 계산하려면 물리 Boltzmann 가중치에서 떼어 낸 공통 인자도 복원해야 한다.

$$Z=x^{-e/2}\prod_b y_b^{-v/2}Z_{\mathrm{rel}},\qquad \frac{F_k}{T}=-\log w_k+\frac e2\log x +\sum_b\frac v2\log y_b.$$

여기서 exp(−F_k/T)는 물리적 제한 partition sum이며 정규화된 확률이 아니다. Z=Σ_k exp(−F_k/T)를 만족한다. 미시 측도와 프로필 측도는 각 이산 상태를 한 번씩 센다. 프로필 합을 적분으로 바꾸려면 별도 측도 규약과 근사가 필요하다.

유한 계산기는 로그의 정확한 유리수 피연산자와 Z²의 정확한 유리수 값을 반환한다. e나 v가 홀수이면 Z 자체는 유리수가 아닐 수 있다. 화면에 표시하는 부동소수점 로그를 정확한 유리수 자유에너지라고 부르면 안 된다.

9. 유효 자유에너지는 숨긴 엔트로피를 포함한다

선택한 프로필의 조건부 미시 분포로 에너지를 평균하자. F_k의 정의에서 정확한 관계를 얻는다.

$$\frac{F_k}{T}=\frac{\langle E\rangle_k}{T}-S(\sigma\mid k),\qquad S(\sigma\mid k)=\log Q_k-\langle d\rangle_k\log x.$$

네 스핀 예의 S(σ|k)는 log 3+(log 2)/3이며 log 4보다 작다. 네 상태가 균일하지 않으므로 같은 네 상태의 균일 분포보다 불확실성이 작다.

전체 프로필에 대해서는 S(σ)=S(k)+Σ_kP(k)S(σ|k)다. k만 남기면서 버린 엔트로피는 가중 평균한 조건부 엔트로피다. 이 정보 항등식만으로 F_k의 공간적 형태까지 결정되지는 않는다. 그 형태를 알려면 실제 제한 합을 계산해야 한다.

10. 경계 스핀의 평균은 블록 평균과 다를 수 있다

열린 사슬의 네 스핀을 한 블록으로 놓고, 위쪽 스핀 세 개와 x=1/2를 선택한다. 소수인 아래쪽 스핀이 양 끝 중 한 곳에 있으면 불일치 하나, 내부 두 위치 중 한 곳에 있으면 불일치 두 개가 생긴다. 끝점 배치의 조건부 확률은 각각1/3, 내부 배치는 각각1/6이다.

따라서 위치별 조건부 스핀 평균은 (1/3,2/3,2/3,1/3)이고 블록 평균은1/2다. 블록 사이 상호작용은 아무 사이트나 균일하게 고른 값이 아니라 경계 스핀을 본다. 경계 스핀을 m_b로 대체하는 것은 추가 근사다.

두 스핀짜리 세 블록 ++|? ?|−−에서도 같은 차이가 나타난다. 중앙 블록 평균을0으로 고정하면 중앙 배치 +−와 −+의 확률은4/5와1/5다. 중앙의 미시 평균은 +3/5,−3/5이지만 블록 평균은0이다. 블록 전체를 평균0의 색으로 칠하면 이웃에 반응하는 내부 구조가 가려진다.

11. 비교할 국소 기준 모형을 구체적으로 정의한다

각 블록의 내부 유도 그래프에서 Q_b(k_b;x)를 정확 계산한다. 블록이 주기 축 전체를 포함하면 그 내부 wrap도 유지한다. 블록 사이 스핀곱만 m_bm_c로 대체하여 다음 기준 가중치를 정의한다.

$$\bar d_{\mathrm{cross}}=\frac12\sum_{\mathrm{cross\ edges}}(1-m_bm_c),\qquad w_k^{\mathrm{ref}}=\left[\prod_b Q_b(k_b;x)y_b^{k_b}\right]x^{\bar d_{\mathrm{cross}}}.$$

이 정의는 블록 내부 제한 합을 정확하게 유지하면서 블록 사이 상호작용을 근사한다. 검토할 하나의 모형이며 숨긴 스핀을 합한 정확한 결과라는 보장은 없다.

dbar=a/b를 기약분수로 놓으면 R=[Q_k/ΠQ_b]^b/x^a는 유리수이고 log(w_k/wref_k)=log R/b다. 네 스핀의 평균0 블록 프로필에서는 R=9/8,b=2다. 전부 아래쪽인 프로필에서는 R=1이므로 공통 정규화 상수 하나로 차이를 고칠 수 없다. 이 잔차는 정규화 전 로그 가중치 오차이며 KL divergence가 아니다. 일반적인 부호 제한도 주장하지 않는다.

12. gradient 벌점은 어디에서 나오는가

c_bc를 블록 b,c 사이를 지나는 edge 수라 하고 순서 없는 블록 쌍을 한 번씩 세자. 기준 상호작용에는 다음 정확한 대수적 분해가 있다.

$$-J\sum_{b<c}c_{bc}m_bm_c =\frac J2\sum_{b<c}c_{bc}(m_b-m_c)^2 -\frac J2\sum_b\mathrm{degree}_b m_b^2.$$

J>0이면 첫 항은 이웃 차이를 벌점으로 준다. 연속 장의 gradient 제곱과 닮은 이산 항이다. 두 번째 항은 국소 이차항을 이동시킨다. 열린 경계에서는 degree가 달라질 수 있어 그 이동이 공간적으로 균일하다는 보장도 없다. J<0이면 차이 항의 부호가 뒤집히므로 천천히 변하는 강자성 장이 적절한 기본 그림이 아닐 수 있다.

여기서 연속 자유에너지 밀도로 넘어가려면 척도 분리, 느린 공간 변화, 측도 규약, 장의 거듭제곱과 미분 전개를 자르는 정당화가 추가로 필요하다. 유한한 대수 항등식이 이런 가정을 증명하지는 않는다.

13. 모든 최근접 이웃 pair 모형이 통과해야 하는 검사

국소 potential을 더 잘 선택하면 기준 모형을 고칠 수 있을까? 이웃이 아닌 블록 A,C를 고르고 나머지 모든 블록을 고정하자. 양의 확률이 사이트 인자와 최근접 이웃 쌍 인자로 분해된다면 이 조건에서 A,C는 독립이어야 한다.

A=±v,C=±v인 네 가중치에 대해 독립성이 요구하는 cross ratio는 다음과 같다.

$$\mathrm{OR}=\frac{w_{++}w_{--}}{w_{+-}w_{-+}}=1.$$

정규화와 한 블록 외부장 인자는 소거된다. 여섯 스핀의 열린 사슬을 두 개씩 세 블록으로 나누고 중앙 M=0을 고정하면 x=1/2에서 정확한 비는16/25다. 따라서 그 거친 열린 사슬의 양의 최근접 이웃 pair 모형으로 정확한 블록 분포 전체를 재현할 수 없다.

여기서는 중앙 프로필만 조건으로 주며 전체 자화를 추가 고정하지 않는다. 전체 합을 고정해 생기는 의존성은 별도 현상이므로 두 검사를 혼동하면 안 된다.

14. 반례가 증명하는 것과 남겨 두는 것

계산 결과는 선택한 거친 변수에 더 먼 거리 또는 여러 블록을 함께 묶는 항이 필요할 수 있음을 보여준다. 원래 미시 모형의 최근접 상호작용만으로 거친 변수의 최근접 pair 닫힘을 보장할 수 없다.

같은 세 블록을 주기적으로 연결하면 A,C는 이웃이다. 이때 cross ratio가1이 아니어도 pair 상호작용이 허용하므로 반례가 되지 않는다. 반대로 한 cross ratio가1이라는 사실만으로 모든 값과 모든 쌍의 독립성을 증명할 수도 없다.

이 유한 예가 적절한 척도에서의 국소 연속 유효 이론을 부정하지는 않는다. 원래 그래프만 보고 결론 내리는 대신, 확인하거나 오차를 통제해야 할 가정이 무엇인지 드러낸다.

15. 바로 실행하는 Python 예제

표준 라이브러리만 사용한다. 여섯 스핀을 직접 열거하므로 작은 독립 참고 계산으로 읽기도 쉽다. 애플리케이션 기반은 Gray-code 갱신과 별도 행 transfer 검산을 사용한다. 이 예제는 실행 가능한 코드이며 새 Colab 강좌를 공개했다는 뜻은 아니다.

from collections import defaultdict
from fractions import Fraction as F
from itertools import product

def chain_weights(n, block_size, x):
    weights = defaultdict(F)
    for spins in product((-1, 1), repeat=n):
        counts = tuple(sum(s == 1 for s in spins[j:j + block_size])
                       for j in range(0, n, block_size))
        d = sum(a != b for a, b in zip(spins, spins[1:]))
        weights[counts] += x ** d
    return weights

x = F(1, 2)
w4 = chain_weights(4, 2, x)
assert w4[1, 1] == F(3, 4)
assert sum(w4.values()) == F(27, 4)
assert w4[1, 1] / sum(w4.values()) == F(1, 9)
total_zero = sum(w for ks, w in w4.items() if sum(ks) == 2)
assert total_zero / sum(w4.values()) == F(7, 27)
assert [w4[k] / total_zero for k in [(2, 0), (1, 1), (0, 2)]] == [F(2, 7), F(3, 7), F(2, 7)]
w6 = chain_weights(6, 2, x)
odds = w6[2, 1, 2] * w6[0, 1, 0] / (w6[2, 1, 0] * w6[0, 1, 2])
assert odds == F(16, 25)
print('profile probability:', w4[1, 1] / sum(w4.values()))
print('nonneighbor conditional cross ratio:', odds)

위의 assert를 실행한 다음 chain_weights(6, 2, F(1))로 새 가중치를 구하고 cross ratio를 다시 계산하자. 비가1이 되고 프로필 안의 모든 미시상태가 균일해진다. F(2)도 시도해 보자. 유한 계산은 그대로 가능하지만 교대로 놓인 패턴이 에너지상 유리해진다. 어느 경우도 이 작은 계의 결과를 측정된 임계점으로 해석하지 않는다.

16. 질문을 중심으로 그림과 실험을 배치한다

비교	바꾸는 것	살펴볼 것
배치와 프로필	k를 고정하고 숨긴 상태 순환	불일치 edge와 조건부 확률
전체 합과 공간 프로필	전체 M을 고정	서로 다른 블록 패턴과 합한 가중치
끝점과 평균	한 블록의 위쪽 세 개 예 선택	조건부 위치별 평균1/3,2/3
정확 합과 국소 기준	x와 블록 크기 변경	반올림한 동등 여부 대신 정확한 잔차 피연산자
열린 경계와 주기 경계	거친 그래프 변경	검사하는 두 블록이 실제로 비이웃인지

격자 실험은 홈페이지 테마를 사용하고 미시 배치·조건부 평균·앙상블 평균을 구별한다. 애니메이션을 멈추거나 WebGL을 쓸 수 없어도 수치 표를 읽을 수 있어야 한다. 선택 미시 예제는 숫자 mask가 작은 순서이며 무작위 표본이 아니다. 프로필 선택 UI도 앙상블 평균을 개별 배치처럼 보이게 만들면 안 된다.

17. 유한 부피의 대칭과 불확실성

외부장0에서 모든 스핀을 뒤집어도 에너지는 같다. 프로필 k에는 같은 확률을 가진 짝 v−k가 있다. 따라서 이 유한 앙상블의 ⟨m_b⟩는0이다. 이것이 각 배치가 무질서하다는 뜻은 아니다. 두 질서 극단 근처의 프로필들이 높은 확률을 가질 수 있다.

허용한 모든 x,y에서 상태 수는 유한하고 가중치는 양수다. 이 계산에 열역학적 특이점이 있거나 자발 대칭 깨짐을 증명한 것은 아니다. 무한 부피 극한, 외부장 극한, 유한 크기 scaling은 후속 내용이다. 한 질서 상태에 정착한 애니메이션으로 대칭적인 전체 분포를 대신해서는 안 된다.

18. AI 모형과 연구 질문으로 연결하기

Pooling은 여러 특징을 작은 표현으로 바꾼다. 잠재변수 주변화는 단순한 결합 그래프를 더 복잡한 관측 분포로 바꿀 수 있다. 둘 다 이 유한 구성과 연결해 생각할 수 있다. 정확한 블록 사상은 남긴 표현이 가정한 예측 규칙을 충분히 뒷받침하는지 묻는 작은 실험실이다.

이는 모든 신경 표현에 관한 정리가 아니라 비유다. 학습 모형에서는 사상, 조건부 분포와 손실을 명시해야 한다. 특정 표현에 대해 명시적인 오차 예산 안에서 희소 상호작용 모형을 쓸 수 있는지는 유용한 연구 질문이다. 여기의 정확한 분포는 그 질문의 작은 benchmark가 될 수 있지만 보편적인 구조나 scaling 법칙을 확정하지 않는다.

19. 해설이 있는 확인 문제

1. 평균 간격이 왜1/v가 아니라2/v인가? 스핀 하나가 −1에서+1로 바뀌면 합이2 증가하므로 v로 나누면2/v다.
2. P(σ|k)에서 y가 사라지는 이유는? 고정 프로필에서 외부장 인자 전체가 상수라 분자·분모에서 소거된다. 사이트별 외부장이 다르면 다른 계산이 필요하다.
3. Q_k가 퇴화도인가? x=1에서만 그렇다. 네 스핀 예는 Ω=4지만 x=1/2에서 Q=3/4다.
4. 전체 M=0의 확률은? 호환되는 세 프로필의 가중치를 합하면 (7/4)/(27/4)=7/27이다. 선택한 프로필 하나는1/9다.
5. 공통 상수 하나로 평균곱 기준을 고칠 수 있는가? 평균0 프로필의 잔차는 log(9/8)/2이고 포화 프로필의 잔차는0이므로 안 된다. 상대 가중치가 이미 다르다.
6. OR=16/25가 최근접 pair 닫힘을 부정하는 이유는? 열린 사슬의 끝 블록은 비이웃이다. 중앙을 고정하면 그런 분해에서는 가중치가 분리되어 OR=1이어야 한다.
7. 주기 세 블록에서 OR≠1도 같은 반례인가? 아니다. 검사하는 끝 블록이 실제로는 이웃이므로 직접 상호작용이 허용된다.
8. 앙상블 평균0이면 질서 배치가 없는가? 아니다. 스핀 반전 대칭이 질서 배치를 반대 방향 배치와 짝지으므로 두 배치 모두 확률이 높아도 평균은 상쇄된다.

20. 읽을 자료와 검증의 한계

Tong, Statistical Field Theory §1.1.1·§1.3은 전체 자화에서 공간 질서변수로 가는 구성을 설명한다. Kadanoff 1966, pp.264–265에서는 셀 변수와 상호작용에 관한 모형 가정을 확인할 수 있다. 위의 작은 계 계산과 반례는 이 단원을 위해 독립적으로 유도했다.

현재 기반은 2차원 격자, 전치 좌표, 주기 길이2, 홀수 블록 부피와 활동도 경계를 포함한 24개 모형을 비교한다. 정확한 유한 합의 일치가 브라우저 구현, 상호작용 연속 적분, 임계 지수나 재규격화 절차 전체를 검증하지는 않는다. 각각 별도 검증이 필요하다.