Gaussian 필터와 잔여 에너지 전달

속도를 흐리게 하는 것과 비선형 수송을 흐리게 하는 것은 다르다

속도 무늬를 일부러 흐리게 촬영하는 카메라를 생각해보자. 흐려진 속도에는 큰 형태가 남지만 짧은 진동의 진폭은 줄어든다. 이 속도가 어떻게 변할지 예측하려면 원래 방정식에 흐려진 속도를 대입하면 될까? 선형 확산 항에서는 조건에 따라 가능하다. 그러나 속도 곱으로 된 비선형 항에는 추가 항이 남는다.

이 예제에서는 그 차이를 직접 계산한다. 전체 주기 속도장을 알고 있으므로, 정해진 Gaussian 필터를 적용한 비선형 플럭스와 필터 속도로 만든 플럭스를 비교할 수 있다. 차이는 잔여 응력으로 나타난다. 응력의 공간 기울기, 부호 있는 에너지 전달, 실제 외력의 일도 함께 확인한다.

사용하는 것은 제조한 스칼라 Burgers 가족이다. 완전한3차원 LES가 아니며 관성 영역을 생성하지도 않는다. 큰 시뮬레이션이나 AI 모델을 사용하기 전에 필터와 폐쇄의 의미를 정확히 이해하는 것이 목적이다.

영역과 실제 필터 연산을 정의하자

주기 길이 L, 양의 물리 파수 k, Gaussian 표준편차 ell을 사용한다. 필터는 정규화한 Gaussian 이동으로 주기 연장한 함수값을 평균한다. 폭0에서는 항등 연산으로 정의한다.

$$\bar q(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-z^2/2}}{\sqrt{2\pi}} q(x+\ell z)\,dz,\qquad L=\frac{2\pi}{k},\quad \ell\ge0.$$

정수 모드 번호 n을 가진 Fourier 성분에는 g-n이 곱해진다. 상수장은 그대로이고 높은 공간 주파수일수록 더 강하게 줄어든다. 같은 폭의 카메라로 촬영해도 넓은 무늬보다 좁은 줄무늬가 더 흐려지는 셈이다.

$$g_n=\exp\left[-\frac{n^2(k\ell)^2}{2}\right],\qquad \overline{\sin(nkx)}=g_n\sin(nkx).$$

여기서 필터 폭은 물리적 모델링 척도다. 화면 픽셀 수나 수치 격자 간격과 같지 않다. 이동 불변성·일정 폭·주기 연장 때문에 미분과 필터가 교환된다. 벽이 있거나 커널을 잘랐거나 폭이 위치마다 달라지면 추가 처리가 필요하다. 이산 convolution에서는 적분 오차와 aliasing이 생길 수도 있으며, 현재의 해석적 필터와 구분해야 한다.

실제 해와 움직이는 좌표를 함께 선언하자

비음 분자 동점성 nu를 선택한다. 두 속도 모드의 진폭은 각각의 확산률에 따라 감소한다. 상수 속도 C는 Galilean 변환한 가족을 지정한다. 속도에 C만 더하는 것이 아니라 좌표도 함께 이동해야 시간 미분이 맞는다.

$$A=A_0e^{-\nu k^2t},\quad B=B_0e^{-4\nu k^2t},\quad \theta=k(x-Ct)+\alpha,\qquad u=C+v,\quad v=A\sin\theta+B\sin2\theta.$$

실제 외력은 편차 v와 그 공간 미분의 곱이다. 이 외력이 있을 때 선택한 장은 움직이는 좌표의 시간 미분까지 포함한 전체 스칼라 방정식을 만족한다. 모드의 지수 감쇠만 시간 미분하고 좌표 이동 항을 빠뜨리면 다른 방정식을 검사하게 된다.

$$u_t+\partial_x(u^2/2)=\nu u_{xx}+f,\qquad f=v v_x, \qquad u_t=\nu v_{xx}-Cv_x.$$

속도의 단위는 m/s, f의 단위는 가속도다. 전체 셀의 이차 에너지를 차원 있는 값으로 나타내기 위해 양의 기준 밀도 rho와 단면적 S를 지정한다. 이는 스칼라 기준 문제의 고정 가중치다.1차원 속도가 공간적으로 변하면서 밀도가 일정한 장이 압축성 질량 보존까지 만족한다는 주장이 아니다. Burgers 수송과 완전한 압축성 유체 모델은 서로 다른 물리 모델이다.

위치와 초기 위상은 주기의 분수로 입력한다. 정확한1/4·1/8주기는 선언한 삼각함수 대칭을 따른다. 이동 위상은 별도로 합성하므로, 아주 작은 시간 이동을 큰 초기 위상에 더할 때 버리지 않는다. 화면에서 위상이 같아 보이더라도 작은 관측값은 다를 수 있다.

필터한 곱에서 잔여 응력을 유도하자

필터 속도에는 g-one을 곱한 A와 g-two를 곱한 B가 들어 있다. 필터한 제곱에서 필터 속도의 제곱을 뺀 값을 tau로 정의하자. Gaussian 커널은 확률 밀도이므로 tau는 필터가 표본화한 주변 속도값들의 국소 분산이기도 하다.

$$\tau=\overline{u^2}-\bar u^2\ge0,\qquad \overline{\partial_x(u^2/2)} =\partial_x(\bar u^2/2)+\frac12\tau_x.$$

따라서 올바른 필터 방정식에는 tau의 기울기가 들어간다. 필터 속도를 원래의 비선형 식에 그대로 넣어 전개하려면 이 추가 항을 모델링해야 한다. 생략하면 필터 자체로부터 유도된 폐쇄 결손이 남는다.

$$\bar u_t+\partial_x(\bar u^2/2) =\nu\bar u_{xx}+\bar f-\frac12\tau_x.$$

여기서1/2는 Burgers의 u제곱/2 플럭스에서 나온다. Navier–Stokes의 Reynolds 응력 식에 그대로 옮겨 쓰면 안 된다. 해당 방정식의 정의와 부호를 다시 확인해야 한다. tau의 단위는 속도 제곱이고, 그 기울기의 음의 절반은 가속도 단위다.

Gaussian 필터에 Reynolds 투영 규칙을 적용하지 말자

Gaussian 필터를 한 번 더 적용하면 일반적으로 첫 결과와 같지 않다. 각 모드에 g-n을 다시 곱하므로 두 번 적용한 결과는 g-n 제곱을 가진다. 표준편차가 원래의 제곱근2배인 Gaussian을 한 번 적용한 것과 같다.

$$\overline{\bar u}=C+g_1^2A\sin\theta+g_2^2B\sin2\theta, \qquad \overline{u-\bar u}=\bar u-\overline{\bar u}.$$

양의 유한 폭에서 필터한 잔차는 대체로0이 아니다. 앞 단원의 Reynolds 앙상블 평균과 투영 성질이 다르다. 둘 다 평균이라는 이름을 쓴다고 모든 대수 규칙이 같아지지는 않는다. 무엇을 어떤 커널이나 분포로 평균하는지 먼저 선언하자.

균일한 속도를 더해도 대응하는 물질 위치에서의 분산은 같다. 현재의 움직이는 좌표 비교에서는 위치 이동을 반영한 후 응력과 전달이 일치한다. 반면 국소 속도·에너지 플럭스·고정 위치 시간 미분은 좌표계가 바뀌면 수치가 달라질 수 있다. 이 차이까지 포함해 검증해야 Galilean 비교가 된다.

분산을 네 개의 비음 항으로 계산하자

거의 같은 두 제곱을 직접 빼면 작은 분산이 사라지거나 음의 반올림 잔여가 생길 수 있다. 이 두 모드 가족에는 그 뺄셈을 피하는 정확한 유한 인수분해가 있다. z를 k곱하기ell의 제곱에 음의 지수를 취한 값으로 두고 다음 비음 계수를 정의한다.

$$z=e^{-(k\ell)^2},\quad V_e=\frac{(1-z)^2}{2},\quad V_o=\frac{1-z^2}{2},\quad D_e=\frac{(1-z)^4(1+z)^2(1+z+z^2)}{2},\quad D_o=\frac{(1-z)^3(1+z)(1+z^2)(1+z+z^2)}{2}.$$

상관 비율 두 개를 추가하면 식이 완성된다. Gaussian 이동의 짝·홀 부분을 나누고, 각각의2차원 공분산 행렬에서 완전제곱을 만든 결과다. 확률 변수의 분산을 여러 제곱의 합으로 나타내는 것으로 생각하면 된다.

$$r_e=\sqrt z(1+z)^2,\qquad r_o=\sqrt z(1+z^2),$$ $$\tau=V_e(A\sin\theta+r_eB\sin2\theta)^2+D_e(B\sin2\theta)^2 +V_o(A\cos\theta+r_oB\cos2\theta)^2+D_o(B\cos2\theta)^2.$$

폭0을 포함해 각 항은 비음수다. 선언한 두 모드에 대한 닫힌 항등식이며, 무한 급수를 일부만 자르거나 계산 후 음수를0으로 덮은 결과가 아니다. 실제 Gaussian convolution과 별도의 Fourier 다항식 계산을 통해 독립적으로 확인한다. 양의 구조를 보존하는 계산법 자체도 모델 검증의 일부다.

작은 폭에서 나타나는 차수가 하나뿐인 것은 아니다

일반 위치의 매끄러운 장에서 필터 분산은 보통 ell제곱과 국소 기울기 제곱의 곱으로 시작한다. 그러나 정지점에서는 그 선도 계수가0이다. 단일 sine의 최댓값에서는4차 분산이 남는다. 두 모드를 조합하면 더 많은 미분 항을 상쇄할 수도 있다.

$$\tau\big|_{B=0,\,\theta=\pi/2} =\frac{A^2}{2}\left(1-e^{-(k\ell)^2}\right)^2, \qquad \tau\big|_{A=1,\,B=-1/2,\,\theta=0,\,t=0} \sim\frac{15}{4}(k\ell)^6.$$

두 번째 경우에는 sine theta에서 sine2theta의 절반을 뺀 것을 전개해보자.1차 항이 상쇄되어 국소 장이 theta세제곱/2로 시작한다. 중심 Gaussian의6차 모멘트가15이므로 표시한 계수를 얻는다. 선도 항이 상쇄된 뒤에도 작은 다음 항을 보존해야 하는 구체적인 이유다.

폭0의 분산은 정확히0이다. 반면 작은 양의 폭은 일반 부동소수점 숫자로 표현할 수 없을 만큼 작은 양의 분산을 가질 수 있다. 계산은 이때 부호와 자연로그 크기를 남긴다. 작은 진폭 변화도 반올림한 양 끝 진폭의 차와 별도로 구한다. 큰 세로 척도에서 곡선이 평평해 보인다고 미분이나 감쇠 꼬리까지0인 것은 아니다.

전달을 해석하기 전에 국소 에너지 수지를 쓰자

필터 속도를 w로 표시하자. 양의 Pi는 해상된 이차 에너지에서 잔여 기여 쪽으로 나가는 전달로 정의한다. 분자 손실과는 다른 양이다. 부호 관례를 먼저 정해야 양·음 그래프를 물리적으로 해석할 수 있다.

$$\Pi=-\frac12\tau w_x,\qquad [\Pi]=\mathrm{m^2/s^3},\qquad D_{\mathrm{local}}=\nu w_x^2\ge0.$$

필터 방정식에 w를 곱하면 보존형 에너지 플럭스를 가진 국소 수지를 얻는다. 외력의 일과 응력이 에너지 플럭스에 기여하는 항을 모두 포함해야 한다.

$$\partial_t(w^2/2)+\partial_x\left(\frac{w^3}{3}-\nu w w_x+\frac{w\tau}{2}\right) =-\nu w_x^2+w\bar f-\Pi.$$

tau가 비음수여도 Pi는 비음수일 필요가 없다. 필터 속도의 기울기 부호도 함께 들어 있기 때문이다. 현재 관례에서 음의 Pi는 해상 에너지 쪽으로 돌아오는 전달이다. 이것만으로 전체 동역학이 가역적이거나 분자 점성이 음수이거나 전체 에너지 수지가 깨졌다는 뜻은 아니다. 소산과 척도 사이의 전달을 섞지 말자.

전체 셀의 에너지와 전력을 적분하자

주기 공간 적분에 rho와 S를 곱한다. 모드의 직교성을 이용하면 전체 에너지 K, 해상 에너지 K-r, 비음 잔여 K-s를 구할 수 있다. 선언한 기준 가중치에서 에너지 단위는 줄이다. 상수 이동 속도는 배경 에너지를 더하지만 잔여 분산에는 들어가지 않는다.

$$K=\frac{\rho SL C^2}{2}+\frac{\rho SL}{4}(A^2+B^2),\quad K_r=\frac{\rho SL C^2}{2}+\frac{\rho SL}{4}(g_1^2A^2+g_2^2B^2),\quad K_s=\frac{\rho SL}{4}\left[A^2(1-g_1^2)+B^2(1-g_2^2)\right].$$

해상 분자 손실 D-r과 전체 전달 P는 부호와 진폭 의존성이 다르다. B의 부호를 바꾸면 전달 방향은 바뀌지만 분자 손실은 같다. 밀도·단면적·주기 길이 인자를 생략한 국소 값과 전체 전력을 비교하지 않도록 주의하자.

$$D_r=\frac{\rho SL\nu k^2}{2}(g_1^2A^2+4g_2^2B^2),\qquad P=\rho S\int_0^L\Pi\,dx=-\frac{\rho SLkA^2B}{4}(g_1^2-g_2^2).$$

이 특별한 제조 가족에서는 해상 외력 일 F-r이 P와 같다. 전체 외력의 일은0이고 잔여 외력의 일은−P다. 따라서 실제 해상 에너지 감쇠율은−P가 아니라−D-r이다. 이 상쇄는 선택한 외력의 성질이지 보편적인 난류 법칙이 아니다.

$$\dot K_r=F_r-D_r-P=-D_r,\qquad F_r=P,\qquad \dot K_s=F_s-D_s+P=-D_s,\quad F_s=-P,\qquad \dot K=-D.$$

숫자로 된 예제를 확인하자

k=1/m, ell=0.5 m, nu=0.1 m²/s, A-zero=1 m/s, B-zero=−0.5 m/s, C=0, 시간0.3 s를 선택하자. rho와 S는 각 SI 단위로1이다. 주기 길이는2pi m다.

물리량	근삿값
현재 진폭 A, B	0.970446, −0.443460 m/s
필터 계수 g-one, g-two	0.882497, 0.606531
전체·해상·잔여 에너지	1.788228, 1.265737, 0.522492 J
해상 분자 손실	0.321332 W
전체 해상→잔여 전달	0.269572 W
해상 외력의 일	0.269572 W

해상 에너지는 약0.321332 J/s로 감소한다. 전달만 넣으면 잘못된 감쇠율을 예측한다. B의 부호를 반대로 바꾸면 세 에너지와 분자 손실은 그대로지만 전체 전달과 해상 외력 일의 부호는 바뀐다. 전체 전달이 양수여도 국소 전달은 양·음 모두 가능하다. 국소 값과 적분값을 함께 살펴보자.

수치 조건과 물리적 폐쇄를 구분하자

계산은 수치 조건에 따라 동등한 표현을 선택한다. 작은 폭에서는 양의 분산 인수가 극한을 보존한다. 초기 진폭이 상쇄될 때에는 안정적인 진폭 조합으로 서로 다른 확산률의 작은 차이를 남긴다. 넓은 필터에서는 직접 Fourier 계수를 사용해 큰 항들의 뺄셈에서 사라지는 작은 응력 기울기와 강제 모드를 보존한다.

작은 폭의 필터 외력에는 정확한 모멘트 항등식을 사용한다. 따라서 같은 항등식으로 만든 방정식 잔차는 구현 점검이지 독립 증명이 아니다. 기준 계산에서는 Fourier 다항식을 직접 곱하고 필터하며 실제 위치의 주기 적분을 대조한다. 일부 일반 사례에는 실제 무한 구간 Gaussian 커널 적분도 사용한다. 어려운 극한에서 직접 Fourier 외력 진단값과 안정적인 관측값의 반올림이 다를 수 있지만 서로 다른 물리 모델은 아니다.

AI 폐쇄가 무엇을 배워야 하는지 이해하자

잡음 없는 연속 두 모드 모델에서는 유한 폭의 Gaussian 계수가0이 아니다. 이 제한된 모드 공간에서는 필터가 수학적으로 가역이다. 따라서 서로 다른 두 정확한 장이 완전히 같은 필터장을 반드시 만든다고 주장해서는 안 된다. 계수가 작아지면 역연산의 수치 조건이 나빠지고 실제 자료에는 잡음·유한 해상도·관측하지 못한 스펙트럼 성분이 추가된다.

AI 폐쇄 연구에서는 관측 연산자·사용 가능한 해상도·학습 분포를 명시해야 한다. 필터 폭·분자 점성·외력·물리 단위·좌표 관례도 그 명세에 포함된다. 응력·응력 발산·부호 있는 에너지 전달을 각각 시험하자. 응력 값을 잘 맞춰도 그 기울기가 정확하다는 보장은 없다. 다른 폭과 좌표계에서 검사할 때 정답 모드가 입력으로 새지 않도록 주의하자. 두 모드 기준 문제는 통제된 증거의 한 단위이며 보편적 폐쇄를 증명하지 않는다.

풀이가 있는 여섯 연습

1. 왜 넓은 필터에서 두 번째 모드가 더 빨리 줄어드는가? 파수가 두 배라 Gaussian 지수는 네 배다. 초기 진폭이 같아도 필터 진폭은 같지 않다.
2. 양의 응력이 음의 전달을 만들 수 있는가? 그렇다. Pi는 tau와 해상 기울기 곱의 음의 절반이다. tau가 양수인 곳에서 기울기가 양수면 Pi는 음수다.
3. 왜 필터한 잔차가 보통0이 아닌가? 한 번 적용하면 g-n, 두 번 적용하면 g-n제곱이 곱해진다. 유한 폭 Gaussian은 Fourier 모드 일부를 그대로 남기는 투영이 아니다.
4. 예제의 해상 에너지는 왜 P가 아니라 D-r로 감쇠하는가? 실제 외력이 F-r=P를 공급한다. 전체 해상 예산에서 둘이 상쇄되어−D-r이 남는다.
5. 폭0에서는 어떻게 되는가? 모든 필터 계수가1이고 응력·잔여 에너지·전달은0이다. 선언한 이동 좌표 시간 미분을 포함해 원래 장과 방정식이 돌아온다.
6. 여기서 정확하면 실제 난류에서도 AI가 검증되는가? 아니다. 두 모드와 지정한 외력만 가진 가족이다. 다른 스펙트럼·경계·잡음·해상도·강제·물리 조건을 포함하는 더 넓은 증거가 필요하며 관측량의 정의도 유지해야 한다.

자료와 제한

University of Washington ME544 LES 강의 노트의5–8쪽 필터 논의를 배경 자료로 참고한다. 노트와 여기의 폭 관례 사이 변환은 집필 메모에 명시했다. 제조 Burgers 가족·양의 분산 인수분해·에너지 계산은 직접 특수화한 예제다. 노트에 나오는 과거 계산 능력의 설명을 현재의 주장으로 사용하지 않는다.