연속시간 생성자와 Euler 근사

전이율은 확률이 아니다

아래 실습은 독립 대조한 유한 모형을 비교합니다. 정확한 값·인증 구간·표시용 근사를 구별하며 읽으세요.

상태0과 상태1 사이를 오가는 분자를 생각해보세요. 언제 상태를 바꿀지는 시계가 결정합니다. 상태0의 시계가 빠르게 울리면0을 더 일찍 떠나는 경향이 있습니다. 초당 시계가 울리는 빈도는 전이율입니다. 상태1을 점유할 확률과는 다르며1보다 커도 됩니다.

여기서는 이런 분자들의 확률 법칙을 진화시킵니다. 법칙을 그린 곡선은 분자 하나의 무작위 궤적이 아닙니다. 이 두 대상을 구별하면 master equation, 정확한 해와 수치 적분의 차이를 이해하기 쉬워집니다.

가정은 유한한 두 상태 공간, 시간에 따라 변하지 않는 음이 아닌 전이율, Markov 성질과 보정된 물리적 시간 좌표입니다. 에너지 수준·열저장고·환경에 대한 국소 상세평형은 지정하지 않습니다. 확률 흐름만으로 열이나 열역학적 엔트로피 생성을 측정한 것이 아닙니다. Levin·Peres2판20.1절은 연속시간 생성자와 Poisson 시계의 관계를 설명합니다. 아래에서는 현재 두 상태 모형을 직접 유도합니다.

방향·단위·초기화를 고정하자

0에서1로 가는 전이율을 alpha,1에서0으로 가는 전이율을 beta라고 합시다. 단위는 둘 다 s^−1입니다. 작은 양의 h에서,0으로 시작했다는 조건 아래1로 변할 확률은 alpha h에1차보다 작은 항을 더한 값입니다.4s^−1이라는 전이율은 가능하지만4 자체를 전이확률로 읽으면 안 됩니다.

                       alpha [1/s]
               state 0 -----------> state 1
                       <-----------
                        beta [1/s]

          initial probabilities: (1-u, u)
          physical time: t [s], not the number of arrows drawn

모식도의 state는 상태, initial probabilities는 초기 확률, physical time은 물리적 시간입니다. 그림에 화살표가 몇 개 있는지는 시간이 아닙니다. 행 확률 법칙을 mu(t)=(1−p(t),p(t))로 쓰고 p(0)=u를[0,1]에서 정하세요. u는 전이율과 독립적으로 지정합니다. 평형도 가능한 초기화 중 하나이며, 이완을 지워버리는 기본 가정은 아닙니다.

양	뜻	단위
alpha, beta	두 방향의 이탈 전이율	s^−1
Q	행 확률 법칙에 작용하는 생성자	s^−1
t, h	물리적 시간과 적분 단계	s
p(t), u	상태1의 확률과 초기 확률	무차원
J(t)	단위 시간당 순확률 질량 이동	s^−1
N	고정 시간 구간 안의 Euler 단계 수	무차원

질량 수지로 생성자를 구성하자

생성자의 비대각에는 음이 아닌 방향 전이율을, 대각에는 음의 이탈 전이율을 적습니다.

$$Q=\begin{pmatrix}-\alpha&\alpha\\\beta&-\beta\end{pmatrix},\qquad \dot\mu(t)=\mu(t)Q.$$

각 행의 합은0이므로 전체 확률의 미분이0입니다. 이 행렬은 확률 전이 행렬이 아닙니다. 대각이 음수일 수 있고 행 합도1이 아니라0입니다. 짧은 시간 간격을 곱해 전이 행렬의 근사를 만들 수 있지만, 그 근사의 조건은 다시 확인해야 합니다.

열 법칙을 쓰는 문헌에서는 같은 관례가 mu_dot_column=Q^T mu_column이 됩니다. 표기를 전치했다고 물리적 방향이 달라지지 않습니다. 행렬의 항을 읽기 전에 출발 상태와 도착 상태부터 이름 붙이세요.

상태1은0에 있는 질량의 alpha배를 얻고,1에 있는 질량의 beta배를 잃습니다.

$$\dot p=\alpha(1-p)-\beta p=\alpha-(\alpha+\beta)p.$$

보존식만으로 임의의 수치 근사가 양수를 유지한다고 결론 내릴 수는 없습니다. 정확한 연속시간 동역학과 이산화한 점화식은 따로 점검합니다.

무작위 점프를 재생하지 않고 이완을 풀자

lambda=alpha+beta가 양수이면 pi1=alpha/lambda, pi0=beta/lambda로 둡니다. 정상값을 빼면 하나의 감쇠 모드가 남습니다.

$$\lambda=\alpha+\beta,\qquad p(t)=\pi_1+(u-\pi_1)e^{-\lambda t}.$$

두 전이율의 합이 분포의 이완을 결정합니다. 개별 이탈 전이율은 다른 대기시간 질문을 결정합니다. alpha=2s^−1,beta=1s^−1,u=0이면 정상 점유는2/3입니다. t=1s의 점유는 약0.633475로 극한보다 작습니다. 이 법칙을 계산하는 데 무작위 궤적은 필요하지 않습니다.

t=0에서 지수는1이므로 초기값 u를 돌려줍니다. 처음부터 정상인 법칙은 편차가 모든 시간에서0입니다. 그렇지 않으면 지수가 엄밀히 양수이므로 모든 유한 시간에서 편차는 남습니다. 표시된 작은 차이가 정확한 같음을 뜻하지 않습니다.

나누기 전에 영 전이율을 처리하자

두 전이율이 모두0이면 Q가0이고 모든 초기 법칙이 그대로 유지됩니다. 유일한 정상 참조는 없습니다. 선택한 초기 법칙이 자기 장시간 극한이지만, 이를 모형의 유일한 평형 법칙이라고 부를 수는 없습니다.

alpha=0,beta>0이면 상태0이 흡수 상태입니다. 과정은 기약적이지 않지만 정상 법칙은 유일하고 모든 초기 법칙이0으로 갑니다. 두 전이율을 바꾸면1로 흡수됩니다. 정상 법칙의 유일성, 기약성과 특정 초기값의 성질을 구별하는 예입니다.

전이율 합이 양수일 때 정상 흐름은 pi0 alpha=pi1 beta를 만족합니다. 두 상태 정상 법칙만으로는 고리를 도는 순환 순전류를 만들 수 없습니다. 그런 흐름을 살피려면 상태를 늘리거나 물리적 기술을 확장해야 합니다.

물리적 시간의 전이 커널을 유도하자

정확한 커널 K_t는 임의의 초기 행 법칙을 시간 t의 법칙으로 옮깁니다. q=exp(−lambda t)라 두고 각각의 초기 상태에서 풀면

$$K_t=e^{tQ}= \begin{pmatrix} \pi_0+\pi_1q&\pi_1(1-q)\\ \pi_0(1-q)&\pi_1+\pi_0q \end{pmatrix}.$$

항은 음이 아니고 각 행의 합은1입니다. 영 시간에는 항등 행렬입니다. 그 순간의 항등 커널만으로 uQ=0을 결론 내리지 않습니다. 정상성은 모든 미래 시간에서의 불변성을 요구합니다. 두 전이율이 모두0일 때는 나눗셈이 있는 식 대신 항등 행렬을 직접 사용합니다.

연속한 물리적 시간 구간은 K_s K_t=K_(s+t)라는 반군 관계를 만족합니다. 생성자가 일정하면 행렬 지수를 미분해 master equation을 얻습니다. 유한 구간 뒤에 어떤 상태에 있을 확률에는 여러 번 상태를 바꾼 경로도 포함됩니다. 한 번의 이탈 확률로 이를 대신하면 그런 가능성이 빠집니다.

첫 점프 대기와 상태 복귀를 구별하자

0으로 시작해 처음 떠나는 시간을 tau라고 합시다. 일정한 위험률 alpha에서

$$\mathbb P(\tau>t\mid X_0=0)=e^{-\alpha t},\qquad \mathbb E[\tau\mid X_0=0]=1/\alpha\quad(\alpha>0).$$

alpha=0이면 대기시간은0이 아니라 무한대입니다.1로 시작할 때는 beta를 사용합니다. 한 번도 떠나지 않을 확률과 K_t(0,0)은 다릅니다. 후자에는 떠났다가 돌아온 경로도 들어 있기 때문입니다.

양쪽 전이율이1s^−1이고 t=1s이면0을 떠나지 않을 확률은 약0.367879입니다. 그 시간에0에 있을 확률은 약0.567668입니다. 차이는 복귀 경로에서 나옵니다. 마지막 순간에0에 있는 분자 그림만으로 두 종류의 이력을 구별할 수 없습니다.

순간 전류의 부호를 읽자

방향별 흐름과 순흐름은 다음과 같습니다.

$$F_{01}=\alpha\mu_0,\qquad F_{10}=\beta\mu_1,\qquad J=F_{01}-F_{10}=\dot p=-\lambda(p-\pi_1).$$

정상성에서는 두 방향 흐름이 각각 양수여도 차이는0일 수 있습니다. 과도 순전류가 음수라면 정한 방향에서0 쪽으로 확률이 이동한다는 뜻입니다. 음의 확률이나 음의 소산률이라는 뜻이 아닙니다.

유한 구간에서 이동한 순질량은 J를 적분한 값입니다. 출발 순간의 전류에 전체 시간 간격을 곱하는 것은 일반적으로 근사입니다.

$$p(t+h)-p(t)=\int_t^{t+h}J(s)\,ds.$$

구간의 확률 변화와 출발 시점의 순간 전류는 연결되지만 다른 관측량입니다.

같은 최종 물리적 시간에서 Euler를 구성하자

고정 구간 T를 N번의 같은 단계로 나누면 h=T/N입니다. 전진 Euler는

$$\mu_{k+1}^{E}=\mu_k^{E}(I+hQ),\qquad p_{k+1}^{E}=\alpha h+(1-\lambda h)p_k^{E}.$$

격자 시간 kh의 닫힌 형태는 다음과 같습니다.

$$p_k^{E}=\pi_1+(u-\pi_1)(1-\lambda h)^k.$$

같은 kh에서 정확한 법칙과 비교하세요. T를 고정하고 N을 늘리는 것은 근사를 세분화합니다. h를 고정하고 N을 늘리면 최종 물리적 실험을 바꾸게 됩니다. 두 조작을 설명 없는 같은 애니메이션 버튼으로 다루면 안 됩니다.

기준 alpha=2,beta=1,T=1,N=8에서 Euler의 마지막 점유는 약0.651145이고 정확한 값은0.633475입니다. 두 곡선 모두 그럴듯한 확률처럼 보여도 서로 다른 동역학을 나타낼 수 있습니다.

양수성과 선형 안정성은 다른 질문이다

I+hQ의 행 합이1이므로 Euler는 전체 질량을 보존합니다. 확률 전이 행렬이 되려면 대각도 음이 아니어야 합니다.

$$h\alpha\le1,\qquad h\beta\le1.$$

점화식의 부호 있는 편차가 수축하는 조건은

$$|1-\lambda h|<1.$$

두 조건은 다릅니다. alpha=4,beta=1,h=0.35s이면 편차 배율은−0.75여서 선형 모드는 수축합니다. 하지만 Euler의 첫 행은(−0.4,1.4)로 확률이 아닙니다. 이를[0,1]로 잘라내거나 다시 정규화하면 다른 알고리즘을 만들고 실패를 가립니다.

정상 초기값은 문제를 숨길 수 있습니다. u=0.8이면 같은 잘못된 커널에서도0.8로 유지됩니다. 점화식의 한 궤적이 잘 작동했다는 사실은 모든 초기 법칙에 대한 양수성을 보장하지 않습니다.

확률적인 Euler 행렬도 다른 동역학을 만들 수 있다

alpha=beta=1,h=1s이면 Euler는 매 단계 두 상태를 교환합니다. 편차 배율은−1입니다. 주기2의 올바른 이산 전이 행렬이지만 연속시간 법칙은 매끄럽게 이완합니다. 질량 보존과 음이 아닌 확률만으로 근사의 정확성이나 혼합을 보장할 수 없습니다.

다른 예도 봅시다. alpha=2,beta=1,h=1/3s에서는 Euler 편차 배율이0입니다. 한 단계 만에 pi1=2/3으로 갑니다. u=0에서 정확한 유한 시간 점유는2(1−exp(−1))/3, 약0.421414입니다. 즉시 평형화하는 것처럼 보이는 근사가 실제 이완을 더 잘 표현한다는 뜻은 아닙니다.

작은 변화와 데이터의 식별 범위를 보존하자

양쪽 전이율이5s^−1이고 u=0,T=10s이면 정확한 편차는−exp(−100)/2입니다. 반올림 점유는0.5로 보여도 순전류5exp(−100)은 엄밀히 양수입니다. 반올림한 두 방향 흐름을 빼는 대신 부호 있는 편차에서 전류를 계산하면 작은 양을 보존할 수 있습니다.

이 계산은 정확한 유리수 입력·Euler 값과 방향성256bit 지수 구간을 사용합니다. 해석적으로0인 경우와 작은 수, 표시 반올림을 구별합니다. 좌표별 구간은 독립 확률변수가 아닙니다. 그 상자만으로 정확한 질량 보존 항등식을 대신하지 않습니다.

두 전이율을 같은 양의 c배로 하고 모든 물리적 시간을1/c배로 하면 전이 커널은 유지됩니다. 따라서 정상 점유 비율만으로 전이율의 크기를 정할 수 없습니다. 시간 관측은 정보를 더 주지만 추정에는 관측 모형이 필요합니다. 학습 점수나 최적화 반복 횟수를 보정된 물리적 시계라고 자동으로 부를 수는 없습니다.

시각 실험으로 비교하자

실습은 물리적 시간·Euler 해상도·초기화를 따로 유지합니다. 이름 붙은 예제와 정확 입력, 시간 기록 선택을 사용하세요.

조작 또는 비교	예상 관측	설명할 내용
T를 고정하고 N을 세분화한다	공통 격자 시점에서 주황 Euler 값이 파랑 정확 법칙으로 접근한다	물리적 구간을 유지하며 수치 해상도를 바꾼다
잘못된 Euler 커널에서 정상·집중 초기값을 비교한다	하나는 유효하게 유지되고 다른 하나는 부호 있는 값을 만들 수 있다	양수성은 커널 전체의 성질이다
복귀 확률과 무점프 생존 확률을 비교한다	복귀에는 더 많은 이력이 포함된다	마지막 상태는 경로를 지정하지 않는다
두 전이율을 두 배, 시간을 절반으로 한다	대응 시점의 점유는 같고 전류는 두 배다	무차원 전이율×시간과 차원이 있는 흐름은 다르다

계산 범위는 전이율0..5s^−1,T=0..10s,N=1..128입니다. 유리수 입력의 정수 분자와 양의 분모는 백만 이하입니다. 이는 유한 계산 계약이며 해석적 이론의 범위 제한이 아닙니다. 이 첫 실습에는 표본 입자·열 측정·엔트로피 생성 주장을 넣지 않습니다.

해설이 있는 여섯 연습문제

1. 흐름 장부에서 법칙을 유도하자

alpha=2,beta=1,u=0,t=1에서 생성자·정상 점유·정확한 점유를 구하세요.

해설. Q의 두 행은(−2,2),(1,−1)로 합이0입니다. alpha−(alpha+beta)p=0에서 정상 점유2/3을 얻습니다. 초기 편차가−2/3이므로 해는2(1−exp(−3))/3, 약0.633475입니다. 초기값과 정상 극한 사이에 있습니다. 생성자 항2는 초당 전이율이지 확률 자체가 아닙니다.

2. 빠진 복귀 경로를 찾자

양쪽 단위 전이율에서 시간1까지0을 한 번도 떠나지 않을 확률과, 시간1에0에 있을 확률을 비교하세요.

해설. 첫 이탈 생존 확률은 exp(−1)입니다. 커널에서는 K_1(0,0)=(1+exp(−2))/2입니다. 복귀 경로가 약0.199788을 더합니다. 이완율은2이지만 초기 이탈율은1입니다. 두 지수 인자를 혼동하면 계산하는 사건이 달라집니다.

3. 안정하지만 물리적이지 않은 Euler 단계를 찾자

alpha=4,beta=1,h=0.35에서 행 합·양수성·선형 수축을 확인하고0에서 시작하세요.

해설. Euler 행렬의 행은(−0.4,1.4),(0.35,0.65)로 둘 다 합이1입니다. 편차 배율−0.75의 절댓값은1보다 작지만 첫 점유 값은1.4가 됩니다. 이를 확률이라고 부르면 안 됩니다. 선형 안정성은 확률 커널의 부호 제약을 부과하지 않습니다.

4. 이산화가 만든 주기성을 설명하자

양쪽 단위 전이율,h=1에서0으로 시작해 네 단계를 진행하고 연속시간 끝값과 비교하세요.

해설. Euler 점유는0,1,0,1,0으로 교대해 네 단계 뒤0으로 돌아갑니다. 시간4의 정확한 법칙은(1−exp(−8))/2로0.5에 가깝습니다. 주기2의 수치 커널이 연속시간 이완을 대신한 것입니다. 같은 최종 시간에서 h를 줄이는 것은 물리적 전이율이 아니라 이 근사를 바꿉니다.

5. 유리한 초기값을 진단하자

alpha=2,beta=1,T=1,N=1에서 u=2/3으로 시작하면 일정한 법칙을 얻습니다. 이것으로 Euler 커널이 올바르다고 할 수 있나요?

해설. 첫 행이(−1,2)이므로 커널은 양수성을 위반합니다. 그런데 pi Q=0이면 pi(I+hQ)=pi이므로 이 초기값만은 유지됩니다. 정확한 법칙도 정상입니다. 한 벡터에서의 일치가 다른 초기값까지 보장하지는 않습니다. u=0으로 바꾸면 잘못된 점유2가 즉시 드러납니다.

6. 크기 식별과 반올림 일치를 구별하자

정상 점유 비율만으로 두 전이율을 정할 수 없는 이유를 설명하세요. 이어 양쪽 전이율이 큰 장시간 예제에서 표시된0.5를 해석하세요.

해설. 두 전이율을 c배로 하면 alpha/(alpha+beta)는 같고 이완은 c배 빨라집니다. 시간 척도 없이 정상 비율만으로 유일한 전이율 쌍을 정하지 못합니다. 전이율5,시간10의 점유는0.5로 반올림되지만 편차는−exp(−100)/2, 전류는5exp(−100)입니다. 표시상 일치가 전이율을 식별하거나 정확한 유한 시간 정상성을 증명하지는 않습니다.

다음 master equation 읽기에서는 Poisson 사건 시계와 실제 상태 변화, 상태별 체류율이 다를 때의 시간 점유와 점프 횟수 점유를 구별합니다. 이런 확률 법칙을 준비한 뒤 Fokker–Planck, 응답과 확률열역학으로 이어갑니다.