다항함수·유리함수와 정의역

식에는 정의역도 포함된다

식을 단순화하면 허용 입력의 값은 유지해도 전체 정의역은 달라질 수 있습니다. 분모를 지운 최적화가 원래 정의되지 않았던 입력에 값을 만들어내는지 확인해야 합니다.

다항식은 음이 아닌 정수 지수의 유한 합이며 실수 전체에 정의됩니다. 유리함수는 다항식의 비로 분모가 0이 아닌 곳에 정의됩니다. 제외 조건도 함수의 일부입니다.

제거되는 한 점 손계산

약분은 x−1≠0을 사용합니다. x=0에서는 1, x=2에서는 3이지만 x=1의 원래 식은 0/0이라 값이 없습니다. 다항식 g(x)=x+1은 그 점에도 정의되므로 전체 정의역을 포함하면 다른 함수입니다.

그래프는 직선에서 (1,2)를 뺀 것입니다. 그 점에 2를 넣는 것은 유용할 수 있는 새 확장 함수이지 원래 함수값을 찾은 것이 아닙니다.

극한은 주변 입력에 대한 문장

허용된 x가 1로 다가가면 x+1은 2로 가므로 극한은 2입니다. 분모에 0을 대입해 극한을 계산한 것이 아닙니다.

연속이려면 함수값이 존재하고 극한과 같아야 합니다. 구멍은 주변 극한이 좋아도 연속을 깨뜨립니다. 엄밀한 epsilon-delta 조건은 뒤의 해석학에서 다루며 여기서는 대상부터 구분합니다.

제거되지 않는 극점과 비교

h(x)=1/(x−c)는 오른쪽에서 양으로, 왼쪽에서 음으로 크기가 제한 없이 커집니다. c에서는 정의되지 않으며 ∞를 보통의 실수 값으로 넣지 않습니다.

c=0일 때 h(0.1)=10, h(−0.1)=−10입니다. 유한한 양쪽 극한으로 이을 수 없습니다. 극점을 가로질러 선을 그리면 함수에 없는 값을 표현합니다.

0으로 가지 않는 분자를 0으로 가는 분모로 나누는 경우와 약분 가능한 0/0은 다릅니다. ‘0으로 나눔’은 잘못된 대입을 뜻할 뿐 극한 전체를 결정하지 않으므로 실제 식과 접근 방향을 보세요.

실험의 표본화 읽기

가지들을 별도 경로로 그립니다. 구멍은 x=1에서 0.02 떨어진 곳까지 그리고 빈 원으로 (1,2)를 표시합니다. 극점은 0.08 간격을 둡니다. 무한값처럼 보이게 출력을 잘라내거나 틈을 가로질러 잇지 않습니다.

그림 간격이 수학 함수의 추가 제외 영역은 아닙니다. 정의되는 가까운 입력은 여전히 허용됩니다. 검사점은 그림 격자와 별도로 평가합니다.

다항식 모드 x²−c에는 분모 제한이 없습니다. c는 극점 위치나 다항식 이동에만 영향을 주고 고정 약분 예제에는 영향을 주지 않습니다. 실제 선택 식을 함께 표시합니다.

AI 구현과 항등식

기호 단순화·컴파일러 변형·손실 변경은 정의역과 경계를 보존해야 합니다. 노름으로 나누려면 노름이 0이 아닌지 확인합니다. 영벡터의 정규화는 규약을 밝히거나 정의되지 않는다고 해야 하며 비영 벡터의 항등식을 빌려올 수 없습니다.

부드러워 보이는 유한 그림이 전역 매끄러움을 증명하지 않습니다. 자동미분은 구현 그래프와 규약을 평가합니다. 그래프를 바꾸면 수치 거동이나 제외 입력의 처리가 달라질 수 있으므로 수학적 정의역과 유한 정밀도를 나누어 검증하세요.

연습과 근거

1. (x²−4)/(x−2)를 약분하고 원래 정의역을 쓰세요. 답: x≠2에서 x+2입니다.
2. 빠진 값 추가는 원래 함수를 바꾸나요? 답: 확장 함수를 정의합니다.
3. 유한 극점 표본이 제외점의 유한 값을 주지 못하는 이유는?
4. AI 코드의 정규화에서 영분모 조건을 확인하세요.

배경은 OpenStax Algebra and Trigonometry 2e를 참고하세요. 제외점과 가지의 그리기 규칙은 이 실험에 명시한 것입니다.