Reynolds 평균과 폐쇄 결손

속도를 평균해도 속도 곱의 정보가 모두 남지는 않는다

수로를 여러 번 촬영한다고 생각해보자. 특정 높이의 평균 수평 속도는 초속1 m여도 각 사진의 속도는 다르다. 위로 움직이는 물 입자는 평균보다 빠르게 하류로 이동하는가, 느리게 이동하는가? 이 관계는 두 속도 편차의 공분산이다. 평균 속도만으로는 답할 수 없지만, 답에 따라 높이 방향으로 전달되는 수평 운동량이 달라진다.

평균 유동의 방정식을 만들 때 처음 만나는 어려움이 바로 이것이다. Navier–Stokes 방정식에는 속도들의 곱이 들어 있다. 곱의 평균은 일반적으로 평균들의 곱과 다르다. 밀도와 분자 점성을 일정하게 두어도 새로운 미지수가 생긴다. 폐쇄 모델은 추가 가정·자료·방정식을 이용해 그 미지수의 정보를 보충한다.

이 단원에서는 실제 속도·미분·공분산·외력을 모두 확인할 수 있는 작은 앙상블을 만든다. Reynolds 평균을 이해하기 위한 제조 예제다. 각 구성원은 외력을 받는 정상장이며, 난류의 시간 전개를 직접 수치 모사한 결과는 아니다. 이 범위를 분명히 하면서 평균 유동을 모델링하는 핵심 난점을 공부한다.

평균 연산과 물리량의 단위를 선언하자

채널 높이는 H, 양의 흐름 방향 파수는 k, 공간 주기는 L, 폭은 W다. 밀도 rho는 양수이고 동적 점성 mu는 비음수다. 폭 방향으로는 속도가 없고 다른 장도 변하지 않는다. W는 이 균질 방향의 적분 폭이며 새로운 점착 측벽을 도입하지 않는다. 높이를 H로 나눈 좌표를 xi로 표시한다. 위상 alpha는 앙상블 구성원을 구분하며 경과 시간이 아니다.

$$L=\frac{2\pi}{k},\qquad \xi=\frac yH,\qquad \alpha_j=\frac{2\pi j}{8},\quad \langle q\rangle=\frac18\sum_{j=0}^{7}q_j,\qquad [R_{ij}]=\mathrm{m^2/s^2}.$$

정확히8개의 균등 위상에 같은 가중치를 준다. 단일 위상 주파수로 만든 이 가족에서는 첫째·둘째 위상 모멘트가 연속 균등 위상 평균과 일치한다. 임의의 실제 난류 신호도8개 표본이면 충분하다는 뜻은 아니다. 이후 높이에 따른 공분산은 모두 이 평균 연산을 기준으로 한다.

R은 밀도를 포함하지 않는 속도 곱의 공분산이다. 비대각 성분에 음의 밀도를 곱한 값을 평균 응력의 Reynolds 전단 기여로 부른다. 문헌마다 Reynolds 응력의 정의에 밀도나 음의 부호를 포함하기도 하므로 그래프를 비교하기 전에 정의를 확인해야 한다. 밀도가 변할 때 사용하는 Favre 평균은 이 상수 밀도 평균과 다른 연산이다.

비압축성과 벽 조건을 만족하는 실제 장을 만들자

섭동에 유선함수 streamfunction을 사용하면 발산을0으로 만들 수 있다. 평균 유속 U-b와 무차원 평균 비대칭 계수 c를 선택한다. 유선함수 진폭 a,b의 단위는 제곱미터/초다. 속도 진폭이 아니므로 실제 y좌표로 미분해야 수평 속도가 된다.

$$\phi=\xi^2(1-\xi)^2,\quad \chi=\phi(2\xi-1),\quad \psi=a\phi\sin(kx+\alpha)+b\chi\cos(kx+\alpha),$$ $$U=6U_b\xi(1-\xi)[1+c(2\xi-1)],\qquad u=U+\psi_y,\quad v=-\psi_x,\quad u_x+v_y=0.$$

두 벽에서 phi,chi와 각각의 첫 y미분이 모두0이다. 따라서 모든 앙상블 구성원이 벽에서 속도0을 만족한다. 평균 속도 역시 벽에서0이고, 높이 방향 평균은 U-b다. 비관통과 점착 조건은 그림에 붙인 이름이 아니라 실제 계산장이 만족하는 조건이다. 다만 벽 속도가0이라고 벽의 전단까지0인 것은 아니다.

수평 위치와 앙상블 위상은 한 주기의 분수로 입력한다. 정확한1/4주기 입력의 사인·코사인 영점은 정확한0으로 정의한다. 여기에 별도로 입력한 작은 위치 편차는 위상과 합치는 과정에서 버리지 않는다. 일반 실수 각도의 부동소수점 근사까지 모두 기호 계산한다는 뜻은 아니다.

실제 속도 편차에서 공분산을 유도하자

u-prime을 수평 속도와 평균 U의 차로 두자. 수직 평균은0이다. 실제 위상별 속도 곱을 평균하면 다음 식을 얻는다. 아래첨자 y는 언제나 실제 길이 좌표로 한 미분이며, H의 역수 인자가 들어 있다.

$$R_{uu}=\frac12(a^2\phi_y^2+b^2\chi_y^2),\qquad R_{vv}=\frac{k^2}{2}(a^2\phi^2+b^2\chi^2),\qquad R_{uv}=-\frac{abk}{H}\phi^2.$$

R-uv의 부호는 위로 움직이는 입자가 평균보다 빠른 수평 속도를 운반하는지, 느린 속도를 운반하는지 나타낸다. b의 부호를 바꾸면 두 대각 분산은 그대로지만 교차 수송의 부호는 반대가 된다. 분산이 크다는 정보만으로 운동량 수송의 방향을 정할 수는 없다.

R은 공분산 행렬이므로 대각 성분과 행렬식은 비음수여야 한다. 아래 Gram 형태는 거의 같은 두 공분산 곱을 빼지 않고도 이 조건을 확인하게 한다.

$$\det R=\frac{k^2}{4} \left(a^2\phi\phi_y+b^2\chi\chi_y\right)^2\ge0.$$

채널 중앙에서는 phi-y와 chi가 정확히0이다. 두 속도 성분이 요동하더라도 공분산 행렬의 계수가 낮아질 수 있다. 이때의 계수 감소는 두 편차가 선형 종속이라는 뜻이지 두 분산이 모두0이라는 뜻이 아니다. 양의 준정부호 조건을 어기는 AI 출력은 이 앙상블의 공분산일 수 없다.

해라고 부르기 전에 전체 외력을 명시하자

각 정상 구성원에 대해 압력을0으로 선택하고 두 운동량 방정식을 만족하는 단위 체적당 외력을 만든다. 이 외력은 앙상블 구성원에 따라 다르다. 평균하면 흐름 방향 외력 G와 일반적으로0이 아닌 수직 외력을 얻는다.

$$\boldsymbol f=\rho(\boldsymbol u\cdot\nabla)\boldsymbol u -\mu\Delta\boldsymbol u,\qquad G=\langle f_x\rangle=\rho(R_{uv})_y-\mu U_{yy},\qquad \langle f_y\rangle=\rho(R_{vv})_y.$$

수직 성분을 생략하면 압력0을 선택한 이 장은 전체 정상 Navier–Stokes 방정식의 해가 되지 못한다. 외력이 전혀 없는 채널이나 지정한 일정 압력 기울기만 받는 채널은 다른 물리 문제다. 선언한 외력이 있어야 우리가 정한 속도장이 가능하다.

평균 흐름 방향 응력은 분자 전단과 공분산 기여의 합이다. 평균 운동량식은 외력이 이 응력의 음의 기울기와 같다고 말한다. 같은 식으로 만든 잔차는 구현 점검에 유용하지만 독립 검증은 아니다. 실제 위상별 외력을 평균해 대조하는 검사가 더 강한 근거다.

무엇이 폐쇄되지 않았는지 정확히 짚자

모델에 U만 제공했다고 하자. U-b와 c를 고정하고 a나 b를 바꾸면 평균 프로필은 같지만 공분산과 필요한 외력은 대체로 달라진다. 따라서 평균 프로필만으로는 앙상블 공분산을 식별할 수 없다. 사진을 모두 보관한 경우와 사진을 평균한 한 장만 보관한 경우에 남는 정보가 다르다.

이 예제가 완전히 같은 강제·초기·경계 조건을 가진 문제의 해가 여러 개라는 것을 증명하지는 않는다. 제조 외력을 바꾸는 순간 전체 문제의 일부도 바뀌었다. 예제의 요점은 평균으로 버린 정보이며 Navier–Stokes 유일성에 관한 정리가 아니다.

공분산의 정확한 전개 방정식을 추가한다고 자동으로 폐쇄가 끝나는 것도 아니다. 그 방정식에는 더 높은 모멘트, 압력과의 상관, 수송 항이 들어온다. 새 항들을 모델링하는 과정에서 폐쇄 질문이 다시 생긴다. 방정식을 늘려 모델을 개선할 수는 있지만 어떤 가정이 남아 있는지 계속 확인해야 한다.

일정한 비음 와점성 후보를 시험하자

자주 사용하는 전단 폐쇄 후보는 동점성 계수 nu-m으로 공분산과 평균 전단을 연결한다. 단위는 제곱미터/초이며 동적 점성 mu와 다르다. 여기서는 비대각 전단 폐쇄만 비교한다. 완전한3차원 등방성 응력 모델이나 압력 보정까지 제공하지 않는다.

$$R_{uv,m}=-\nu_m U_y,\qquad \nu_{\mathrm{inferred}}=-\frac{R_{uv}}{U_y}\quad(U_y\ne0),\qquad \delta R=R_{uv}-R_{uv,m}=R_{uv}+\nu_m U_y.$$

대칭 평균 프로필의 전단은 중앙에서 부호가 바뀌지만 R-uv는 같은 부호를 유지할 수 있다. 따라서 역산한 점성은 한쪽에서 양수, 반대쪽에서는 음수가 된다. 전단0에 공분산이 비영이면 유한한 어떤 스칼라 점성도 응력을 맞출 수 없다. 둘 다0이면 비율은 미정이며 유일한 값0을 골라주지 않는다.

공분산을 후보로 교체하면 같은 평균 프로필을 유지하는 데 필요한 외력도 교체된다. 따라서 외력 결손은 단순한 곡선 맞춤 오차를 넘어 운동량 수지에 영향을 준다. 후보가 국소 응력 일부를 맞추더라도 응력의 기울기까지 맞춘다는 보장은 없다.

$$\tau=\mu U_y-\rho R_{uv},\quad G=-\tau_y,\qquad G_m=-(\mu+\rho\nu_m)U_{yy},\qquad G-G_m=\rho(\delta R)_y.$$

에너지 전달과 분자 소산을 구분하자

평균 운동량식에 U를 곱하고 높이 방향으로 적분한다. 벽 속도가0이므로 부분 적분의 경계 항은0이다. 실제 주기 길이와 폭을 곱하면 다음 항들은 모두 와트 단위의 전력이 된다.

$$LW\int_0^H GU\,dy =LW\int_0^H\mu U_y^2\,dy +LW\int_0^H P\,dy,\qquad P=-\rho R_{uv}U_y.$$

이 부호 관례에서 P>0은 평균 운동에너지에서 요동 쪽으로 나가는 전달이다. P<0이면 평균으로 에너지가 돌아온다. 평균의 분자 손실은 비음수지만, P는 교환 항이므로 국소적으로도 전체적으로도 항상 비음수일 필요가 없다. 완전한 요동 예산에서는 반대 역할로 등장하며 전체 운동에너지를 분자가 파괴하는 항과 다르다.

현재 계산은 평균 에너지 수지와 요동 운동에너지를 제공한다. 요동 외력의 일까지 포함한 별도의 완전한 요동 예산을 검증했다고 주장하지 않는다. 정상장이라고 부호 있는 에너지 교환이 사라지는 것은 아니다. 비음 nu-m 후보는 모든 지점에서 평균→요동 전달을 비음수로 예측하므로 이 가족의 모든 국소 교환을 재현하지 못한다.

이 다항식 프로필에서 전체 셀의 평균 분자 손실 D와 전체 전달 P-total은 간단한 식으로 적분된다. 실제 프로필을 별도로 공간 적분한 값과 비교해 확인한다.

$$D=LW\frac{\mu U_b^2}{H}\left(12+\frac{36c^2}{5}\right),\qquad P_{\mathrm{total}}=LW\frac{4\rho abkU_bc}{1155H}.$$

숫자로 계산해보자

H=2 m, k=1.5/m, W=1 m, rho=1 kg/m³, mu=0.1 Pa·s, U-b=0.8 m/s, c=0.25, a=1과 b=0.7 m²/s를 선택하자. 주기 길이는 약4.18879 m다.

L과 W를 곱하기 전의 평균 분자 손실은0.3984 W/m², 전달은 약0.000363636 W/m², 외력 일은 약0.398763636 W/m²다. 실제 셀의 값은 각각 약1.6688 W,0.0015232 W,1.6703 W다. 표의 반올림 차이를 정확한 에너지 불일치로 해석하지 말자.

이제 c를0으로 바꾸자. 대칭성으로 전체 전달은0이지만 국소 양·음 전달은 남는다. 중앙에서 R-uv는−0.00205078125 m²/s²이고 평균 전단은0이다. 역산한 스칼라 점성을 언제나 유한한 재료 물성처럼 다룰 수 없다는 것을 직접 보여준다.

아주 작은 진폭이나 벽 근처 좌표를 넣으면 비영 공분산이 일반 숫자의 표현 범위보다 작아질 수 있다. 이때 실제0으로 덮지 않고 부호와 자연로그 크기를 남긴다. 반면 정확한 영 진폭·벽·선언한 삼각함수 영점은 실제0일 수 있다. 물리적으로 정의되지 않는 점성 비율과, 정의는 되지만 일반 값이 범위를 벗어나는 비율도 구분해야 한다.

난류와 AI 연구에 연결하자

분자 점성이 양수일 때 벌크 Reynolds 수는 관성과 점성 척도를 비교한다. 그러나 이 제조 앙상블의 난류 여부를 자동 분류하는 값은 아니다.

$$\mathrm{Re}_b=\frac{\rho |U_b|H}{\mu}\quad(\mu>0),\qquad K'=\frac12\rho LW\int_0^H(R_{uu}+R_{vv})\,dy.$$

실제 난류에는 상호작용하는 여러 척도가 있으며, cascade의 방향과 구조는 차원과 물리 조건에 의존한다. 이2차원 단일 위상 주파수 예제는3차원 관성 영역·난류 스펙트럼·벽 법칙의 보정을 생성하지 않는다. RANS는 선언한 평균을 예측하며 LES는 공간 구조를 필터한다. 다음 예제에서 두 연산의 다른 규칙을 살핀다.

AI 폐쇄를 연구할 때 입력이 무엇을 식별하는지 기록하자. 외력이 변하는 여러 앙상블에서 평균 속도만 학습하면 물리적으로 다른 사례가 같은 입력으로 합쳐질 수 있다. 외력·기하·벽 거리·평균 정의를 포함하면 모호성을 줄일 수 있지만 모든 유동에서 충분하다는 증명이 되지는 않는다. 공분산의 실현 가능성, 운동량 수지, 부호 있는 에너지 전달, 학습에서 제외한 조건으로의 일반화를 각각 확인해야 한다. 정의되지 않는 비율을0으로 채워 만든 점성 정답을 그대로 학습시키지 말자.

풀이가 있는 여섯 연습

1. b의 부호를 바꿔도 분산이 같은 이유는? 대각 성분은 진폭의 제곱에 의존한다. R-uv는 a와 b의 곱에 비례하므로 부호가 반대로 된다. 분산과 교차 수송은 서로 다른 정보를 담는다.
2. 평균 수직 속도가0이면 수평 운동량의 수직 수송도0인가? 아니다. v의 평균이0이어도 수평 편차와 v의 곱은 비영 평균을 가질 수 있다. 상관된 편차는 평균 후에도 남는다.
3. 전단0에 비영 응력이 있으면 스칼라 후보는 어떻게 되는가? 모든 유한 nu-m에 대해 후보 공분산이0이므로 맞출 수 없다.0으로 나눈 결과를 특수 숫자로 채운다고 물리 계수가 생기지 않는다.
4. 전체 전달0과 비영 국소 곡선이 양립하는 이유는? c=0이면 공분산은 중앙에 대해 대칭, 평균 전단은 반대칭이다. 곱을 양쪽 절반에 적분하면 크기가 같고 부호가 반대여서 상쇄된다.
5. 폭을 두 배로 바꾸면 무엇이 달라지는가? 전체 전력과 에너지는 두 배다. 국소 속도·공분산·응력·역산 동점성은 같다. 실제 기하와 국소 해석을 구분하는 검사다.
6. 평균 예산을 맞추면 보편적 폐쇄인가? 아니다. 적분하면 국소 오차가 서로 상쇄될 수 있고, 한 가족의 외력 분포만 검사했을 수도 있다. 국소 공분산·외력 기울기·특이점·다른 물리 조건을 별도 검증해야 한다.

자료와 적용 범위

평균과 점성형 폐쇄의 배경은 INL/MOOSE의 Reynolds 평균 이론을 참고한다. 응력 부호와 변밀도 정의의 대조에는 NASA CFPOST의 물리량 정의를 참고한다. 위 유선함수 앙상블·외력·계산 예산은 직접 특수화한 예제다. 참고 문헌의 일반 이론이 이 구현을 독립 인증하는 것은 아니다.