선형 해법·Newton·Bisection

선형 해법은 역행렬 기호보다 구체적이다

실험은 A=[[2,1],[1,2]], 우변 (a,1)을 partial pivoting 소거와 후진 대입으로 실제로 풉니다. 역행렬을 먼저 만들지 않습니다. 정확한 해 ((2a-1)/3,(2-a)/3)를 손으로 유도하면 구현과 독립적으로 검산할 수 있습니다. 작은 SPD 행렬에서는 문제가 잘 풀려도 일반 소거 알고리즘의 pivot 확인은 생략할 수 없습니다.

비선형 방정식은 미지수가 고정 행렬로만 나타나지 않습니다. F(z)=z²-a, a>0에는 양·음 두 실근이 있습니다. 이 단원은 양의 근을 목표로 합니다. 정의역과 branch 선택부터 문제 명세에 적어야 합니다.

Newton은 국소 선형 문제를 푼다

현재 위치에서 함수를 접선으로 바꾸고 correction을 구합니다.

선택한 양수 시작 범위에서는 반복이 정의됩니다. 단순 근 가까이에서 충분히 정확한 Newton step은 이차 수렴할 수 있지만, 모든 함수·시작값·특이한 도함수에서의 수렴을 보장하는 말은 아닙니다.

a=2, z0=1이면 첫 값은 1.5, 다음은 약 1.4166667, 그다음은 1.4142157입니다. 네 번 갱신하면 매우 정확해집니다. 그러나 이 Newton 반복 자체는 근을 둘러싼 bracket 인증을 제공하지 않습니다.

Bisection은 느린 대신 구간을 유지한다

초기 lo=0, hi=max(1,a,start)로 잡습니다. 허용 범위의 양의 근은 이 안에 있습니다. 반복 0은 초기 중점이며 부호 검사로 반을 버릴 때마다 다음 중점을 표시합니다.

a=2, 초기 hi=2에서 네 번 갱신한 bracket은 [1.375,1.5], 중점은 1.4375입니다. 오차 상한은 0.0625이며 실제 오차와 반드시 같지는 않습니다. 시작값 control은 bisection의 초기 bracket 기준에도 영향을 줍니다. 비교 실험에서는 그 조건을 기록하세요.

잔차와 해 오차를 바꾸어 읽지 않기

양수 추정값에서 z²-a=(z-sqrt(a))(z+sqrt(a))입니다. 따라서 동일한 방정식 잔차도 a의 크기에 따라 다른 해 오차를 뜻합니다. 다변수 문제에서는 역 Jacobian과 조건수가 비슷한 역할을 합니다. 잔차로 중단하려면 원하는 해 오차를 통제할 근거가 필요합니다.

직접 풀기: 반복 0도 결과다

a=1, 시작값 1, Newton 0회이면 이미 정확한 해입니다. Bisection을 고르면 초기 bracket [0,1]의 중점 0.5가 나옵니다. 두 초기 상태가 왜 모두 올바른지 설명하세요. a=2에서는 네 개 bracket을 직접 계산하여 매번 sqrt(2)를 포함하는지 확인하세요. 알고리즘을 평가할 때 초기 상태·반복 정의·중단 근거를 함께 적는 연습입니다.

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