Lyapunov 안정성·비정규 과도 증폭

안정 고유값과 단조 감소는 다르다

두 고유값이 음수인 선형계도 비정규 결합 때문에 보통의 Euclidean norm이 잠시 커질 수 있다. Lyapunov 함수는 다른 양의 정부호 metric에서 안정성을 인증한다. 두 곡선의 차이는 서로 다른 미분방정식을 푼 모순이 아니라 상태 크기를 재는 척도의 차이다.

제어 입력이 없는 연속 시간 모형을 사용한다.

고유값은 -a,-b다. 결합 k는 두 번째 상태를 첫 번째 상태로 전달하며 고유벡터가 직교 좌표계를 이루리라는 보장은 없다.

모든 상태에 대한 인증 구성

대칭 P=[[p,r],[r,s]]가 AᵀP+PA=-I를 만족하도록 풀면

첫 주 소행렬식 p가 양수이고

이므로 P는 양의 정부호다. V(x)=xᵀPx로 두면 표시한 초기 상태뿐 아니라 모든 상태에서

V는 방사상 비유계이고 원점 밖에서 엄격히 감소한다. 행렬 항등식과 양의 정부호성이 일반 인증이며 유한 궤적 그림은 그 예시다.

과도 증폭이 가능한 이유

Euclidean 제곱 크기의 미분은

a=b=1,k=4,x(0)=(1,1)이면 초기 미분은 -2+8-2=4지만 V 미분은 -2다. P=[[0.5,1],[1,4.5]], V(0)=7이다. 보통의 제곱 크기는 처음 증가해도 가중 척도는 감소한다.

lambda_min(P)||x||²≤V≤lambda_max(P)||x||²로 V의 지수 감소를 Euclidean 크기의 경계로 연결할 수 있다. 이때 보수적일 수 있는 앞 계수가 유한 시간 증폭을 허용한다. 두 에너지의 숫자 높이를 효율 순위로 비교하면 안 되는 이유다.

정확한 해와 중복 고유값

x2(t)=exp(-bt)x2(0)이고 a가 b와 다르면

a=b에서는 두 번째 항이 kt exp(-at)x2(0)이 된다. 구현은 가까운 두 지수의 차이를 그대로 빼지 않고 expm1 표현을 사용한다. 기본 예제는 x1(t)=exp(-t)(1+4t), x2(t)=exp(-t)다.

위 상태 평면의 파랑은 실제 궤적, 주황 등고선은 초기 V=V(0)이다. 주황 점은 초기 상태, 파랑 점은 끝점이다. 등고선은 선택한 수학적 척도의 경계이지 물리 자원 한계나 신뢰 타원이 아니다.

확인 문제와 풀이

k=0,a=1,b=2,x(0)=(1,1)에서 P와 두 초기 미분을 구한 뒤 결합의 역할을 비교하라.

풀이. P=diag(0.5,0.25), V(0)=0.75다. Euclidean 제곱 크기 미분은 -2-4=-6, V 미분은 -2다. 결합이 없으면 둘 다 직접 감소한다. k를 복원하면 Euclidean 미분의 부호는 바뀔 수 있지만 구성한 V 미분은 항상 -||x||²다. 초기 상태 0은 정규화한 0/0을 만들지 않고 실제 영 궤적으로 계산한다.

최적화·학습 동역학과 연결

비정규 과도 응답은 동적 모형, 순환 계산, 민감도 분석에 중요하다. 점근 안정성과 유한 응답의 증폭은 함께 존재할 수 있고 인증은 좌표와 metric에 의존한다. 지금은 a,b가 양수인 알려진 선형계다. 학습한 비선형계, 이산 적분기, 불확실한 모형, 피드백 제어기에는 각각의 안정성 논증이 필요하다. 연속 시간의 감소가 임의의 수치 갱신까지 인증하지 않는다.

원전

Russ Tedrake, Underactuated Robotics: Lyapunov Analysis. 삼각 모형, 명시적 P와 해, 손계산 예제는 직접 구성했다.