국소 결함·전역 오차·관측 차수

한 번의 실수와 누적된 오차

출발점이 조금 틀린 지도와 걸음 자체가 부정확한 지도는 다릅니다. 국소 결함은 정확한 출발 상태에서 수치 방법을 딱 한 번 실행한 차이입니다. 전역 오차는 앞선 오차를 이미 포함하는 수치 상태에서 계속 출발해 최종 시간에 도착한 차이입니다. 이 두 정의를 섞으면 수렴 차수가 하나씩 어긋나 보입니다.

이 단원은 y′=-λy, y(0)=1을 사용합니다. 정확한 지수 함수가 있으므로 다른 수치 solver를 참값으로 가정할 필요가 없습니다. 파랑은 전역 오차, 주황은 국소 결함이며 가로축은 시간 자체가 아니라 격자 간격 h입니다.

국소 결함의 convention

여기서는 dₕ를 h로 나누지 않습니다. 어떤 책은 나눈 양을 local truncation error라고 부르므로 이름보다 정의를 먼저 확인하세요. p차 방법은 충분한 매끄러움 아래 보통 dₕ=O(h^{p+1})입니다. 약 N=T/h번의 주입과 안정적인 오차 전파가 합쳐지면 Eₕ=O(h^p)를 얻습니다. 불안정한 전파에서는 단순한 누적 직관을 적용할 수 없습니다.

실제 비율에서 차수를 읽기

N, 2N, 4N으로 실제 계산을 반복하며 T와 초기값은 유지합니다. 표에 적힌 오차를 이용해 다음을 계산합니다.

Euler에서는 각각 약 1과 2, midpoint에서는 약 2와 3, RK4에서는 약 4와 5를 기대합니다. 유한 h에서는 고차항 때문에 정수가 정확히 나오지 않아도 됩니다. 오차가 0이면 비율은 정의되지 않으며, 반올림이 지배하면 관측 차수는 요동할 수 있습니다. 한 쌍보다 연속된 두 비율을 함께 보세요.

손계산과 직접 풀기

λ=T=1인 Euler는 N=2에서 E≈0.117879, N=4에서 E≈0.051473입니다. 첫 관측 차수는 log₂(0.117879/0.051473)≈1.195로 정확히 1은 아닙니다. 더 세분하면 점근 값에 접근합니다. 국소 결함은 h=1/2에서 |1/2-exp(-1/2)|≈0.106531입니다.

직접 풀기: Euler 국소 결함의 주도항을 구하세요. 풀이: exp(-λh)=1-λh+λ²h²/2+O(h³)이므로 dₕ≈λ²h²/2입니다. h를 반으로 줄이면 약 1/4이 됩니다. 전역 오차를 이 식 한 번으로 계산하면 누적 과정을 빠뜨립니다.

연구 결과에서의 오차 보고

ODE 기반 모델이나 물리 simulator를 학습할 때 같은 step 수만 비교하면 서로 다른 최종 시간을 비교하는 실수가 생길 수 있습니다. 같은 문제·같은 T·같은 norm을 고정한 뒤 실제 계산 오차와 비용을 기록하세요. 적응형 해법의 허용 오차는 h와 다른 설정이며 전역 오차의 직접 보증이라고 단정할 수 없습니다. 수렴 표는 계산 검증의 증거이고 데이터·모형 가정의 정당성까지 증명하지는 않습니다.

참고: MIT 수치 PDE 강의.