중심 조화력의 각운동량과 면적 속도

중심력이 보존하는 것은 원 그림보다 넓다

같은 중심력 법칙에서도 입자는 타원을 그리거나 방사 방향의 직선을 움직이거나 정지할 수 있습니다. 중심에 대한 토크가 0이라고 원 궤도가 선택되는 것은 아닙니다. 토크는 각운동량을 제약하고 실제 궤도는 초기 위치와 속도가 정합니다.

고정 원점을 중심으로 F=−kq가 작용하는 등방적인 평면 조화력을 사용합니다. 질량 m과 강성 k는 일정한 양수입니다. 실제 초기값 운동을 풀고 힘의 중심과 다른 고정점 D=d에서 잰 각 물리량을 비교합니다. D의 변경은 보고하는 기준점을 바꾸며 힘이나 실제 궤도를 바꾸지 않습니다.

두 공간 성분을 같은 주파수로 푼다

뉴턴 운동은 다음과 같습니다.

$$\ddot q=-\omega^2q,\qquad \omega^2=\frac{k}{m}.$$

초기 위치 q0와 속도 v0를 사용하면 다음을 얻습니다.

$$q(t)=q_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t),$$ $$v(t)=-\omega q_0\sin(\omega t)+v_0\cos(\omega t).$$

강성이 모든 방향에서 같기 때문에 두 성분의 주파수가 같습니다. 위치는 사인·코사인 단위원을 선형 변환한 것이므로 타원 또는 퇴화한 선분·점이 됩니다. 비정지 해의 주기는 2π/ω입니다. 공간 그림은 한 주기를, 시간 그림은 10초 범위를 보여 줍니다.

중심 토크와 각운동량 보존을 유도한다

힘의 중심에 대해서는 다음이 성립합니다.

$$\tau_C=(q\times(-kq))_z=0,\qquad L_C=(q\times mv)_z=m(q_0\times v_0)_z.$$

삼각함수 해를 대입하면 같은 벡터끼리의 외적이 사라지고 남은 항은 cos²+sin²=1로 합쳐집니다. 또는 LC를 미분하면 중심 토크가 0이라 보존된다고 볼 수 있습니다.

보존되는 값은 양수·음수·0 모두 가능합니다. 중심력이라는 이름이 아니라 초기 조건이 값을 정합니다. 비영 L을 가진 입자가 중심을 통과하면 q=0으로 L=0이어야 하므로, 이 특이점 없는 모형에서는 그런 통과가 불가능합니다.

에너지는 별개의 불변량이다

조화 퍼텐셜 V=k|q|²/2에서 다음이 성립합니다.

$$E=\frac12m|v|^2+\frac12k|q|^2 =\frac12m|v_0|^2+\frac12k|q_0|^2.$$

각운동량과 에너지는 서로 다른 제약입니다. 여기서 에너지는 0 이상이고 각운동량은 부호를 가집니다. 하나를 보존한다고 다른 불변량이나 궤도의 현재 위상까지 검증되는 것은 아닙니다. 실습은 두 수치 잔차를 따로 제공합니다.

초기 각운동량과 분류 조건은 입력 코드의 정확한 유리수로 계산합니다. 삼각함수 위치·속도와 조회 외적은 부동소수점 평가이므로 잔차는 수치 진단이며 정확한 유리수 등식으로 부르지 않습니다.

원운동에는 초기 조건이 더 필요하다

초기 반지름이 0이 아닐 때 원운동 조건은 다음과 같습니다.

$$q_0\cdot v_0=0,\qquad m|v_0|^2=k|q_0|^2.$$

첫 조건은 접선 속도, 둘째는 중심력이 필요한 구심 가속도를 만든다는 조건입니다. 수직이라는 조건만으로 충분하지 않습니다. 접선 속력이 다르면 타원이 됩니다. 실습은 비영 반지름 조건과 두 등식을 정확히 검사합니다.

q0×v0=0이면 초기 벡터들이 한 직선에 있어 중심을 지나는 방사 운동이 됩니다. 속력과 에너지가 커도 각운동량은 0일 수 있습니다. 두 초기 벡터가 모두 0이면 중심에 정지합니다. 방사 판정에는 이 퇴화한 경우도 포함하고 별도의 정지 판정으로 구분합니다.

쓸어간 면적을 부호 있는 적분으로 정의한다

짧은 시간 동안 반지름 벡터가 쓸어가는 유향 삼각형의 극한에서 다음을 얻습니다.

$$\frac{dA_C}{dt}=\frac12(q\times v)_z=\frac{L_C}{2m},\qquad A_C(t)=\frac{L_C}{2m}t.$$

힘의 중심에 대한 면적 속도가 일정합니다. 시계 방향은 음수이고, 방사 운동은 입자가 움직여도 면적이 0입니다. 여러 바퀴를 돌면 매번 초기화하지 않고 부호 있는 면적을 계속 누적합니다.

따라서 그림의 양은 채운 다각형의 음이 아닌 넓이나 방문한 부채꼴들의 합집합 넓이가 아닙니다. 방향과 반복 통과를 유지하는 적분입니다. 긴 시간의 누적 면적과 타원이 둘러싼 보통의 넓이를 비교할 때 이 정의가 중요합니다.

비교 기준점을 옮기면 각 물리량이 달라진다

D는 힘의 중심에서 d만큼 떨어진 고정점입니다. 실험실 운동량을 그대로 쓰면 다음을 얻습니다.

$$L_D=L_C-(d\times p)_z,\qquad \tau_D=(q-d)\times(-kq)=k(d\times q)_z.$$

중심 토크는 0이지만 비교점 토크는 보통 시간에 따라 달라집니다. 그래서 LD와 비교점 면적 속도도 달라집니다. 중심력 법칙이 틀린 것이 아니라 토크가 0인 기준점은 실제 힘의 중심이라는 뜻입니다.

두 점 모두 같은 관성계에서 고정되어 있습니다. 움직이는 기준점 문제가 아니므로 가상의 좌표 힘을 넣지 않습니다. d만 바꾸어도 실제 위치와 힘은 같습니다.

비교점 면적을 올바르게 적분한다

비교점의 순간 면적 속도는 LD/(2m)입니다. 이동 항을 적분하면 다음과 같습니다.

$$A_D(t)=A_C(t)-\frac12\left[d\times(q(t)-q_0)\right]_z.$$

위치에 따른 보정 항이 꼭 필요합니다. 비교점에도 일정한 중심 면적 속도를 그대로 쓰면 다른 기준점을 몰래 사용하는 오류입니다. 한 닫힌 궤도를 완전히 돌면 q=q0로 돌아와 두 누적 면적이 같습니다. 그렇다고 중간의 순간 변화율도 같았다는 뜻은 아닙니다.

독립 검증에서는 운동 방정식과 함께 각 면적의 자기 변화율, 비교점 토크를 수치 적분합니다. 비교점 면적을 처음부터 중심 면적과 같다고 정의하지 않습니다.

세 그림 읽기

공간 그림은 한 주기 궤도, 힘의 중심, 비교점, 조회 상태까지의 반지름을 m로 보여 줍니다. 각운동량 그림은 중심과 비교점의 L을 kg m²/s로, 면적 그림은 부호 있는 시간 적분을 m²로 비교합니다. 공간 화살표는 반지름이며 힘을 거리로 환산한 그림이 아닙니다.

타원, 방사, 기준점을 옮긴 원운동 순서로 비교하세요. 초기 접선 속도 부호를 바꾸면 방향이 뒤집힙니다. 초기 벡터를 모두 0으로 만들면 정지한 퇴화 그림을 확인할 수 있습니다. 질량이나 강성은 주파수를 바꾸고 비교점만 바꾸면 실제 운동은 유지됩니다.

풀이가 있는 여섯 연습

1. 연습: 초기 조건의 타원. m=k=1,q0=(2,0),v0=(0,1)이면? 풀이: q=(2cos t,sin t),v=(−2sin t,cos t)입니다. LC=2, 에너지 5/2J, 면적 속도 1m²/s인 타원입니다.
2. 연습: 조회 시각의 면적. 앞 예제의 1초 면적은? 풀이: AC=1m²입니다. 각도를 역산하거나 다각형으로 근사할 필요가 없습니다. 한 주기의 면적 2πm²는 두 반축 2와 1인 타원의 넓이와 같습니다.
3. 연습: 방사 운동. q0=(1,0),v0=0,m=k=1이면? 풀이: q=(cos t,0),v=(−sin t,0)입니다. L과 면적은 0이지만 입자는 움직이고 에너지는 1/2J입니다.
4. 연습: 원운동 조건. m=1,k=4,q0=(1,0)에서 필요한 접선 속도는? 풀이: m|v0|²=k|q0|²이므로 (0,2) 또는 (0,−2)입니다. 속력 1은 수직이어도 타원을 만듭니다.
5. 연습: 옮긴 기준점. m=k=1,q0=(1,0),v0=(0,1),D=(1,0)이면? 풀이: LC=1,LD=1−cos t,τD=sin t입니다. AC=t/2, AD=(t−sin t)/2로 2π초 후에는 같지만 중간에는 보통 다릅니다.
6. 연습: 시계 방향 여러 바퀴. 앞 예제의 속도를 반대로 하고 D=0에서 10초를 보세요. 풀이: LC=−1,A=−5m²입니다. 크기가 원판 넓이 π보다 큰 것은 반복해서 쓸어간 부호 있는 면적을 누적하기 때문입니다.

중심력이라는 말이 Kepler 모형 전체는 아니다

토크 0과 같은 시간의 같은 면적은 힘의 방향에서 나옵니다. 이것만으로 역제곱 법칙, 초점에 힘의 중심이 놓인 중력 타원, Kepler의 주기·크기 관계까지 나오지는 않습니다. 현재 조화력 타원의 중심은 힘의 원점이고 주파수는 진폭과 무관합니다. 다른 중심력에서는 궤도 모양이나 세차가 달라질 수 있습니다.

학습 시뮬레이터에서는 불변량 잔차와 기준점 일관성뿐 아니라 궤적 위상과 힘 법칙도 평가해야 합니다. 각운동량만 맞추어서는 동역학을 식별할 수 없습니다.

배경과 범위

중심력의 각운동량 보존은 MIT Physics8.01의 중심력 운동을 참고하세요. 조화 궤도와 부호 있는 면적은 위 모형에서 유도했습니다. 특이한 힘, 움직이는 기준점, 강체 자전은 별도 주제입니다.