공간 스펙트럼·감쇠·상관 길이

1. 같은 요동을 위치와 파동으로 읽기

유연한 표면 위에 높이 센서를 나란히 놓았다고 생각하자. 한 번 측정하면 각 위치의 높이가 나온다. 평형 상태에서 여러 번 측정하면 이웃 센서가 얼마나 함께 오르내리는지 알 수 있다. 공분산 행렬은 이 관계를 위치별로 기록하고, 공간 스펙트럼은 완만한 무늬와 빠르게 번갈아 나타나는 무늬가 각각 얼마나 흔들리는지 보여준다.

둘은 같은 확률분포를 서로 다른 좌표로 읽는 방법이다. 여기서 위치 번호는 시간이 아니고, 공간 스펙트럼은 시간 주파수 스펙트럼이 아니다. 여기에 무한히 긴 계에서 요동의 상관이 얼마나 멀리 지속되는가라는 질문을 연결한다.

가우스 장 단원의 공분산·제약 앙상블과 장의 모드 단원의 경계·Fourier 기저를 선수 내용으로 삼는다. 이번에는 실제 격자 간격, 유한 크기 효과와 연속체 근사의 조건을 추가한다.

2. 곡선을 그리기 전에 에너지를 정의하기

간격 a>0인 n개 위치에 실수 장 φ를 둔다. Boltzmann 상수를 1로 놓고 온도 T>0, 외부 원천 0에서 확률 가중치를 exp(−U/T)로 정한다.

$$U(\phi)=\frac{a m^2}{2}\sum_j\phi_j^2 +\frac{c^2}{2a}\sum_{(i,j)\in E}(\phi_j-\phi_i)^2, \qquad K=M I+\kappa L,\quad M=a m^2,\quad\kappa=c^2/a.$$

입력 m²와 c²는 이미 제곱된 계수이므로 다시 제곱하지 않는다. 첫 항은 높이가 커지는 것을, 둘째 항은 이웃 높이가 달라지는 것을 억제한다. 공간 적분을 합으로 바꾸면 a가 붙고, 기울기의 차분 근사에는 1/a²이 붙는다. 따라서 간격을 바꾸면 K의 두 계수가 함께 바뀐다.

전체 공간에서 K가 양의 정부호이면 평균은 0이고 C=⟨φφᵀ⟩=T K⁻¹이다. C는 장의 제곱 단위를 가진 공분산이며 Pearson 상관계수가 아니다. C₀₀가 크다는 사실만으로 상관이 멀리 지속된다고 결론 내릴 수 없다.

3. 경계 조건은 다른 실험을 만든다

경계	간선과 외부 조건	위치 좌표	상자 길이
주기	사슬에 마지막–첫 위치 간선 추가	j a	n a
열린 경계	사슬의 n−1개 간선만 사용	(j+1/2)a	n a
외부 0 고정	열린 사슬 양끝을 외부 0에 연결	(j+1)a	(n+1)a

고리, 양끝이 자유로운 줄, 바깥 양끝이 고정된 줄을 각각 그려 보자. 외부 고정점은 함께 적분하는 요동 변수가 아니다. 열린 Laplacian의 끝 대각 성분은 1이며 다른 두 경우는 2다. 이웃 성분은 −1이고, 고리에서만 마지막–첫 위치가 연결된다.

고리에서는 모든 원점이 동등하다. 열린 사슬이나 고정 사슬에서는 관측 원점을 끝으로 옮기면 공분산 모양이 달라질 수 있다. 이때 하나의 거리 곡선이 행렬의 모든 행을 대표하지 않는다.

4. 영모드를 없애려면 앙상블을 명시하기

m²=0인 열린 사슬과 고리에서 모든 높이를 똑같이 올려도 에너지가 바뀌지 않는다. 이 방향의 적분은 발산한다. c²>0인 외부 0 고정 경계는 이 자유도를 없앤다. 다른 방법은 모든 배치의 높이 합을 0으로 제한하는 것이다.

총합 0 공간에서는 열벡터가 eᵢ−eₙ₋₁인 B를 써서 φ=Bz로 놓는다.

$$G=B(B^TKB)^{-1}B^T,\qquad C=T G, \qquad P=I-\frac{\mathbf1\mathbf1^T}{n},\qquad PC=C,\quad PKC=TP.$$

이는 작은 대각 보정으로 특이행렬을 숨기는 방법이 아니라 다른 확률모형이다. 제약이 없으면 B=P=I를 쓴다. 어느 경우든 축소 정밀도 행렬이 양의 정부호여야 한다. 두 계수가 모두 0이면 제약을 걸어도 거부한다. 유리수 LDLᵀ 분해의 양의 피벗과 정확한 투영 잔차로 유한 계산을 확인한다.

5. Green 함수에서 간격 인자를 유지하기

m²−c²∂²을 근사하는 이산 미분 연산자는 A=K/a이다. 전체 공간에서 공분산 방정식은 다음과 같다.

$$A C=\frac{T}{a}I.$$

1/a는 격자에서 공간 적분이 1인 델타 원천을 표현한다. 이를 빼면 원천 정규화가 달라진다. 에너지에 −Jᵀφ를 넣으면 감수율은 C/T이고, 밀도 원천을 −a hᵀφ로 결합하면 a C/T이다. 제약 공간에서는 대응하는 방정식에 투영이 들어간다.

이 계산의 원천은 0으로 유지한다. 응답 관계는 정규화의 의미를 설명하며, 별도의 원천 입력 기능이나 관측 상관만으로 얻은 인과 추론을 뜻하지 않는다.

6. 공분산 전체를 Fourier 변환하기

단위성을 갖는 이산 Fourier 변환을 사용한다.

$$F_{\ell j}=\frac{1}{\sqrt n}e^{-2\pi i\ell j/n},\qquad \widetilde C=FCF^*,\qquad \widetilde K=FKF^*.$$

낮은 공간 파수는 위치를 따라 완만하게 변하고 높은 파수는 빠르게 교대한다. Fourier 좌표는 세 경계 모두에서 완전한 기저다. 그러나 이 정밀도 행렬의 고유기저가 되는 것은 주기 고리이며, 열린·고정 사슬에서는 일반적으로 그렇지 않다. C̃의 비대각 성분은 Fourier 좌표 사이의 공분산이므로 이 경우 남겨 두어야 한다.

C가 실수 대칭이므로 C̃는 Hermitian이다. 대각 성분은 실수이며 음이 아니다. 기저를 바꿔도 trace는 같아서 Fourier 파워의 합은 위치별 분산의 합과 같다. 그럴듯한 그림 외에도 확인할 수 있는 독립적인 관계들이다.

7. 주기 스펙트럼 유도하기

고리 Laplacian을 Fourier 파동에 적용하면 2−2cos(2πℓ/n)=4sin²(πℓ/n)이 나온다. 따라서

$$\lambda_\ell=a m^2+\frac{4c^2}{a}\sin^2(\pi\ell/n), \qquad S_\ell=\widetilde C_{\ell\ell}=\frac{T}{\lambda_\ell}.$$

총합 0 앙상블에서는 상수 Fourier 좌표가 제외되므로 S₀은 T/λ₀가 아니라 0이다. 나머지 주기 모드의 값은 전체 공간과 같다. 질량 계수가 작아지면 제약 없는 상수 모드의 분산이 커진다. a,m²,T를 고정하고 c²를 늘리면 비상수 모드가 더 억제되지만 상수 모드는 바뀌지 않는다.

비주기 경계에서는 FCF*를 직접 계산한다. 주기 공식을 그대로 적용하면 경계로 인한 모드 혼합을 지우고 다른 앙상블의 답을 얻게 된다.

8. 네 위치 손계산으로 확인하기

n=4, a=m²=c²=T=1인 제약 없는 고리를 잡자. 정밀도 행렬의 대각은 3이고 이웃 성분은 −1이다. Fourier 고유값은 1,3,5,3이며 그 역수로부터 다음을 얻는다.

$$C_{0,:}=\left(\frac7{15},\frac15,\frac2{15},\frac15\right), \qquad S=\left(1,\frac13,\frac15,\frac13\right).$$

역변환의 첫 성분은 (1+1/3+1/5+1/3)/4=7/15이다. 맞은편 위치는 2/15, 양옆은 1/5이다. 고리 순방향 거리를 사용하므로 맞은편을 지난 뒤 곡선이 다시 올라간다.

trace는 4·7/15=28/15로 파워 합과 같다. 총합 0을 강제하면 모든 공분산 성분에서 1/4을 빼고 S₀을 없앤다. 그러면 이웃 공분산은 −1/20이 된다. 양의 이웃 결합이 있어도 제약 때문에 음의 공분산이 생기며, 이를 반강자성 상호작용의 증거로 읽으면 안 된다.

9. 모드 번호와 물리적 파수 구별하기

배열 번호 ℓ에 대해 2ℓ≤n이면 q=ℓ, 아니면 q=ℓ−n을 쓴다. 물리적 파수는 k=2πq/(n a)이다. 켤레 짝의 번호는 ℓ과 (n−ℓ)의 n에 대한 나머지다. 짝수 n의 Nyquist 모드는 양의 q=n/2로 표기하며 자기 자신과 짝을 이룬다.

n=8의 번호 7은 q=−1이다. 번호 1보다 일곱 배 빠른 물리 파동이 아니다. 길이를 고정하고 n=16으로 정련하면 같은 음의 파동은 번호 15로 이동한다. 번호 7을 그대로 두면 다른 물리 파동을 비교하게 된다.

이 번호들은 공간 위상의 변화를 나타낸다. 온도는 공분산을 바꾸지만 파수나 공간 기하를 바꾸지 않는다.

10. 같은 정규화로 스펙트럼 비교하기

단위 Fourier 좌표의 원래 파워는 Sℓ이다. 연속체 연산자와 비교할 양은 a Sℓ이다.

$$a S_\ell=\frac{T}{m^2+(4c^2/a^2)\sin^2(ka/2)} \longrightarrow\frac{T}{m^2+c^2 k^2}\quad(ka\to0).$$

독립 위치에서 m²=T=1, a=1/2이면 K=I/2이므로 Sℓ=2지만 a Sℓ=1이다. 원래 파워가 두 배라는 사실은 여기서 정규화 변화이지 연속체 요동 스펙트럼이 두 배가 되었다는 뜻이 아니다.

근사는 간격을 줄이면서 물리적 저파수를 고정할 때 성립한다. 위치 수가 많아져도 Nyquist 근처 모드는 작은 ka를 만족하지 않는다. a를 고정하고 n만 늘리는 것은 연속체 극한이 아니라 상자를 키우는 실험이다.

11. 무한 사슬 방정식에서 감쇠 구하기

m²,c²>0인 무한 사슬에서는 병진 불변성 때문에 원천 밖에서 일정한 점화식이 성립한다. 0<r<1인 C∞(d)=A∞r^|d|을 대입하고 원점의 원천 방정식을 적용하면

$$u=\frac{a^2m^2}{c^2},\qquad r=\frac{2}{2+u+\sqrt{u(u+4)}},\qquad A_\infty=\frac{T}{\sqrt{M(M+4\kappa)}}.$$

근은 κr²−(M+2κ)r+κ=0을 만족한다. 원점의 (M+2κ)A∞−2κA∞r=T가 진폭을 결정한다. r의 역수 형태는 질량이 작을 때 거의 같은 두 수를 빼는 수치 손실을 피한다.

공간 감쇠 길이는 다음과 같다.

$$\xi=-\frac{a}{\log r} =\frac{a}{\operatorname{acosh}(1+u/2)},\qquad \xi_{\mathrm{cont}}=\sqrt{\frac{c^2}{m^2}}.$$

a=m²=c²=1이면 ξ는 약 1.039이고 연속체 근사는 1이다. 계수를 고정하면 온도는 A∞만 바꾸고 두 길이는 바꾸지 않는다. 이 모형에는 물질 계수가 온도에 따라 변하는 효과가 들어 있지 않다.

12. 유한 고리는 주기 복제의 영향을 받는다

무한 공분산을 모든 주기 복제 위치에 대해 더하면 제약 없는 유한 고리의 답이 된다.

$$C_n(d)=A_\infty\frac{r^d+r^{n-d}}{1-r^n},\qquad d=0,\ldots,n-1.$$

고리에는 두 방향의 경로가 있다. 맞은편에서는 두 경로의 기여가 비슷해지므로 하나의 지수감쇠가 아니다. 질량이 양수인 총합 0 고리에서는 제거한 상수 모드의 기여 T/(nM)을 뺀다.

이 복제 합은 주기 기하에 해당하며 열린 사슬이나 외부 0 고정 사슬의 공분산이 아니다. 곡선을 무한계 결과로 해석하기 전에 정확한 유한 행렬과 비교하자. 고리가 국소적인 무한계 모양을 근사하려면 둘레가 감쇠 길이보다 충분히 크고 관측 구간에서 되감김 영향이 작아야 한다.

13. 질량 0의 유한 장과 무한 정상 장은 다르다

m²=0,c²>0인 총합 0 고리의 정확한 공분산은

$$C_n(d)=\frac{T}{\kappa} \left[\frac{n^2-1}{12n}-\frac{d(n-d)}{2n}\right].$$

n=8,a=c²=T=1에서 처음 세 값은 21/32,7/32,−3/32이다. 각 행의 합이 0이어야 하므로 가까운 곳의 양의 공분산이 음수로 넘어간다. 분산은 상자 크기와 함께 커지며, 이 계열은 점 분산이 유한한 정상 무한 장으로 수렴하지 않는다.

고정 경계의 질량 0 사슬도 유한 공분산을 가질 수 있다. 두 경우 모두 유한계의 존재만으로 무한 정상 공분산이 존재한다고 할 수 없다. 따라서 이 경우 무한 공분산과 유한 감쇠 길이는 정의하지 않는다. 가우스 극한에서 길이가 발산한다는 사실로 일반 상호작용계의 임계 지수까지 확정하지도 않는다.

14. 결합이 없어도 전역 제약은 남는다

c²=0,m²>0인 전체 공간에서는 C=(T/M)I이다. 서로 다른 위치는 독립이며 무한 기준의 길이는 ξ=0이다. 총합 0을 조건으로 걸면

$$C=\frac{T}{M}\left(I-\frac{\mathbf1\mathbf1^T}{n}\right).$$

n=8,M=T=1에서 대각은 7/8, 비대각은 −1/8이다. 한 위치가 올라가면 나머지가 합쳐서 보상해야 한다. 양의 가중치를 가진 상호작용 간선이 없어도 앙상블에는 의존성이 생긴다.

학습 데이터를 중심화하거나 보존 조건을 강제할 때도 전처리와 제약이 상관을 만들 수 있다. 고정 경계의 질량 있는 사슬에서는 공분산의 행 합이 일정하지 않아, 각 표본의 평균을 빼는 것과 총합 0으로 조건화하는 것이 일반적으로 다르다.

15. 국소 비율은 진단값이다

인접한 공분산 x,y가 모두 양수이고 x>y일 때 a/log(x/y)를 만들 수 있다. 해당 간격에서 정확히 하나의 지수함수라면 ξ와 같다. 그러나 주기 복제와 상수 모드 감산은 이 가정을 깨뜨린다.

질량 0인 여덟 위치 예제에서도 첫 진단값은 1/log(3)으로 양수다. 그럼에도 무한 정상 장 공분산은 존재하지 않는다. 이후 값은 부호가 바뀌어 로그를 적용할 수 없다. 같은 양수나 증가하는 양수에도 이 규칙으로 양의 감쇠 추정치를 붙이지 않는다.

주기 곡선은 (origin+d)의 n에 대한 나머지 위치를 순방향 거리 d a에서 읽는다. 비주기 곡선은 부호 있는 변위 (j−origin)a와 실제 원점을 유지한다. 경계에 따라 달라지는 비율을 무한계 감쇠 길이로 승격하지 않는다.

16. 물리적 질문을 고정하고 격자 정련하기

네 수준에서 nℓ=n·2^ℓ, aℓ=a/2^ℓ로 놓는다. 상자 길이 n a, 부호 있는 q, 온도와 물리 계수를 고정한다. λ/a를 m²+c²k²과, a S를 T/(m²+c²k²)과 비교한다.

$$\frac{4}{a^2}\sin^2(ka/2) =k^2-\frac{a^2 k^4}{12}+O(a^4) \quad\text{at fixed }k.$$

고정된 비영 물리 모드에서 연산자 차이는 간격의 이차 크기로 줄어든다. 상수 모드는 차이가 0이며, 제약된 상수 모드는 제외되므로 0인 고유값으로 나누지 않는다. 정련 비교는 주기 연산자의 symbol 비교이며 더 큰 공분산 행렬을 새로 역산하는 실험이 아니다.

유한 계산기의 위치 수는 3–16개이고 네 symbol 수준에서는 최대 128개에 해당하는 값을 비교한다. 해상도에 따른 수식 비교와 큰 계의 직접 계산을 구별하자.

17. Python으로 네 위치 결과 재현하기

NumPy가 있는 Python 환경에서 실행한다. 간선 에너지로 행렬을 만든 다음 역행렬과 Fourier 변환을 계산하는 작은 독립 실습이다.

import numpy as np

n = 4
a, mass2, speed2, temperature = 1.0, 1.0, 1.0, 1.0
incidence = np.zeros((n, n))
for j in range(n):
    incidence[j, j] = -1
    incidence[j, (j + 1) % n] = 1
K = a * mass2 * np.eye(n) + speed2 / a * incidence.T @ incidence
C = temperature * np.linalg.solve(K, np.eye(n))
indices = np.arange(n)
F = np.exp(-2j * np.pi * np.outer(indices, indices) / n) / np.sqrt(n)
spectrum = F @ C @ F.conj().T
assert np.allclose(C[0], np.array([7, 3, 2, 3]) / 15)
assert np.allclose(np.diag(spectrum).real, [1, 1/3, 1/5, 1/3])
assert np.allclose(spectrum, np.diag(np.diag(spectrum)))
assert np.allclose(K @ C, temperature * np.eye(n))
print(C[0], np.trace(C), a * np.diag(spectrum).real)

제약 실습에서는 역행렬을 B(BᵀKB)⁻¹Bᵀ로 바꾸고 PKC=TP를 확인하자. 특이한 질량 0 고리에서 전체 공간 역산을 실행하면 안 된다. 이 실습의 부동소수점 허용 오차는 방정식의 확인용이며 엄밀한 오차 구간이 아니다.

18. 예측을 먼저 쓰는 여섯 비교 실험

비교	계산 전 예측	계산 후 확인
T=1과 T=2	공분산·파워는 두 배, ξ는 유지	공분산, 파워, 무한 진폭과 길이
주기·열린·고정	비주기 경계에서 DFT 모드 혼합	대각뿐 아니라 변환 공분산 전체
전체·총합 0 고리	상수 파워 제거	행 합과 공분산의 상수 감산
양의 질량·질량 0	유한 제약 장은 남을 수 있음	부호 변화와 무한 장 상태
c²=0에서 제약 유무	제약이 없을 때만 독립	0 또는 음의 비대각 공분산
길이 고정 정련에서 q=−1	k는 같지만 배열 번호 이동	alias 대응, 연산자 차이, a배 파워

각 비교마다 예측 한 문장, 정확한 값 또는 구간 하나, 예상과 다른 이유를 기록하자. 그림의 회전이나 재생은 앙상블을 확인한 뒤 사용한다. 표시 애니메이션 자체가 새로운 평형 배치를 계산하는 것은 아니다.

19. 가정을 분리하는 예제 선택

예제 ID	분리해서 볼 조건
massive-ring, four-site-hand-check, sixteen-site-ring	기준, 손계산, 유한 둘레
hotter, soft-mass, stiff-gradient	온도, 연한 상수 모드, 기울기 억제
independent-sites, independent-constrained	국소 독립과 전역 조건화
open-chain, pinned-chain, massless-pinned	경계 기하와 정규화 가능성
massless-ring-constrained, massive-ring-constrained, massless-pinned-constrained	서로 다른 세 제약 상황
fixed-box-refined, odd-ring, shifted-origin	간격, 홀짝, 관측 원점
negative-alias, nyquist	부호 있는 파수와 자기 켤레 모드
equivalent-spelling, maximum-coprime	같은 유리수의 다른 표기와 큰 정확한 출력

계수는 분자·분모 각각 최대 12자리인 비음수 정수·분수로 입력한다. 계수 상한은 16이고 간격은 1/16부터 16까지, 온도는 양수다. 원점과 선택 모드는 유효한 위치 번호여야 한다. 이는 계산기의 허용 범위이지 물리 법칙의 보편 범위를 뜻하지 않는다.

20. 수치 증거가 말해 주는 범위

유한 행렬·공분산·축소 LDLᵀ 피벗·투영 잔차는 정확한 유리수로 계산한다. 일반 Fourier 위상, 제곱근과 로그는 바깥 방향 구간으로 계산한다. 수치 엔진은 작업 스케일 768비트와 출력 양자화 512비트를 사용하며 근호 helper는 512비트다. 이는 산술 설정이지 임의로 작은 값에도 상대적으로 512비트가 정확하다는 주장이 아니다.

독립 참조는 별도의 발생 행렬과 확장 역행렬을 만들고, 전체 복소 Fourier 변환을 십진 300자리로 계산한다. 30개 입력의 점 참조와 대조한 결과는 구현을 뒷받침하지만 참조 점 자체의 오차가 엄밀히 보증되었다는 증명은 아니다. trace, Hermitian 대칭과 역변환은 각각 다른 일관성을 검사한다.

보기 좋은 그림보다 검산된 행렬이 더 강한 근거다. 유한 예제는 모든 크기에 대한 정리가 아니다. AI 연구에 사용하려면 가우스 가정, 경계, 제약, 원천 정규화와 관측 잡음을 명시하자. 비가우스 장은 같은 공분산을 가지면서 고차 연결량은 다를 수 있다.

21. 해설 문제

1. 연속체 비교에서 원래 Fourier 파워에 왜 간격을 곱하는가? K=a A이므로 T/λ는 단위 이산 좌표의 분산이고 a T/λ가 미분 연산자 고유값의 역수에 T를 곱한 값이다. a=1/2,m²=T=1,c²=0에서 두 값은 각각 2와 1이다.

2. 역행렬 없이 네 위치 분산을 확인하라. 고유값 역수의 평균 (1+1/3+1/5+1/3)/4=7/15이다. 네 배인 trace 28/15는 파워의 합과 같다.

3. 음의 공분산은 음의 국소 결합을 증명하는가? 아니다. 독립인 여덟 위치를 총합 0으로 조건화하면 M=T=1에서 i≠j인 Cᵢⱼ=−1/8이다. c²=0이어도 전역 제약이 의존성을 만든다.

4. 고정 사슬에도 주기 고유값 공식을 쓸 수 있는가? 일반적으로 안 된다. Fourier 기저는 완전하지만 고정 정밀도를 대각화하지 않는다. 전체 FCF*를 계산하거나 실제 경계 고유기저를 써야 한다.

5. 21/7이라는 양의 비율은 질량 0에서 유한 감쇠 길이를 증명하는가? 아니다. 국소값 1/log(3)을 줄 뿐이며 이후 공분산은 음수가 된다. 유한 총합 0 앙상블은 존재하지만 점 분산이 유한한 무한 정상 장은 존재하지 않는다.

6. 여덟 위치의 음의 모드 번호 7은 열여섯 위치 정련에서 어디로 이동하는가? 부호 있는 파수가 −1이므로 번호 15가 된다. 번호 7을 유지하면 물리적 파수를 바꾸게 된다.

7. 온도를 두 배로 하면 상관 길이도 두 배인가? 아니다. 계수가 고정되면 C,S,A∞는 두 배지만 r,ξ는 그대로다. 점화식과 원점 진폭 방정식에서 직접 확인할 수 있다.

8. 유한 고리의 반로그 기울기는 ξ의 정확한 측정인가? 일반적으로 아니다. 공분산에는 두 주기 경로와 경우에 따라 상수 감산이 들어 있다. 무한 사슬 방정식으로 ξ를 정의하고 유한 크기 보정을 평가한 뒤 자료를 맞춰야 한다.

22. 연구 연결과 더 읽을 자료

세 상관함수 단원은 상태 공간과 원천의 글자가 다르다. 미분하기 전에 에너지에 어떻게 결합하는지 확인하자. 첫 단원의 보조 원천 h는 스핀 단원의 물리 원천 h, 이 단원의 밀도 원천 h와 같은 변수가 아니다.

처리	상태 공간과 측도	원천 규약	T를 바꿀 때 무엇을 고정하는가?
유한 가우스 장	실수 위치 값, Lebesgue 또는 초평면 유도 측도	에너지 원천 −Jᵀφ, 보조 h는 무차원	K,J 고정 시 평균은 같고 C는 T에 비례
비가우스 스핀	이진 배치의 셈 측도	에너지 원천 −hᵀs, 무차원 인자 pᵢ=exp(hᵢ/T)와 보조 t	q,r,p 고정은 물리 에너지 재척도이며 분포는 같다. 고정 에너지 가열에서는 인자를 바꾼다
물리 간격을 가진 가우스 사슬	간격 a의 실수 값, 선언한 경계·제약	계산기의 원천은0이다. 에너지 원천 J의 응답은 C/T, −a hᵀφ로 결합한 밀도 원천의 응답은 a C/T	a,m²,c² 고정 시 C는 T에 비례하며 무한 길이가 존재하면 ξ는 같다

다음 네 연결 예제로 구분을 확인하자.

• 계수를 변환한 뒤 계산기를 비교한다. a=1/2,m²=2,c²=1이면 첫 가우스 계산기에는 M=1,κ=2를 넣는다. 질량 입력을2로 유지하면 다른 정밀도 행렬을 비교한다. 단위 밀도 원천은 노드 원천 J₀=1/2에 대응하며 평균 응답은 a Cᵢ₀/T다. 공간 계산기 자체의 원천은0으로 유지한다.
• 공분산만 아니라 분포 가설을 대조한다. 평균0,C=I에서 독립 가우스의 같은 위치 사차 모멘트는3, 독립 대칭 스핀은1이다. 양의 확률을 가진 사체 스핀 분포의 서로 다른 위치 사차 누적량은3/5일 수도 있다. 같은 공분산이 같은 원천 의존 분포족을 뜻하지 않는다.
• 총합을 제거하는 연산을 선언한다. 세 위치 질량0 고정 가우스 장의 조건부 분산은3/10, 표본 중심화 분산은11/36이며 차이는1/180이다. 음의 교차 공분산은 음의 국소 강성 없이도 총합 제약으로 생길 수 있다.
• 길이를 맞추기 전에 극한을 정한다. 유한 질량0 고리의 처음21/32,7/32에는 양의 국소 비율이 있지만 정상 무한 장 공분산은 없다. 고정 길이 정련에서도 같은 배열 번호가 아니라 부호 있는 물리 q를 유지한다. 잘 맞는 국소 곡선이나 같은 배열 번호가 빠진 극한을 대신하지 않는다.

이 예제는 국소 이차 정규화와 비국소 가우스 커널, Fourier 전처리, 격자 일관성과 역문제의 제약을 연결한다. 연구로 확장할 때는 공분산 그림만으로 물리 기작을 추론하기보다 연산자 전체와 잡음 모형을 비교하자. 상호작용, 높은 차원과 실제 임계현상에는 이 가우스 사슬을 넘어서는 분석이 필요하다.

연속체 가우스 Green 함수와 상관 길이는 David Tong의 Statistical Field Theory 2.2.1–2.2.3절을 함께 읽자. 위의 유한 간격 인자, 제약 예제와 수치 규약은 이 단원에서 선언한 모형에 대해 유도했다. 연속체 공식을 모든 유한 경계에 그대로 옮긴 것이 아니다.