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고정 대상의 오차와 모든 입력의 오차
ℓ2에서 Pₙ은 첫 N개 좌표를 남기는 직교 투영입니다. 고정한 x에 대해 제곱 꼬리가 0으로 가므로 Pₙx→x입니다. 이를 strong 수렴이라고 합니다. 하지만 연산자 노름은 입력을 먼저 고정하지 않고 모든 단위 입력의 최악 오차를 구합니다.
각 N마다 eₙ₊₁을 택하면 전체를 잘라 오차가 1입니다. 반례 입력이 N과 함께 바뀌므로 각 고정 x에 대한 수렴과 모순되지 않습니다. supremum과 극한의 순서를 바꾸는 데에는 추가 조건이 필요합니다.
정확한 꼬리 계산
실습의 고정 대상은 xₖ=1/k입니다. Basel 합을 사용하면 전체 제곱 노름은 π²/6이고 절단 오차는 다음과 같습니다.
적분 비교로 이 값은 1/(N+1) 이상, 1/N 이하입니다. 따라서 고정 대상 오차는 줄지만 파란 곡선 위의 모든 점이 주황의 연산자 노름 1을 낮추지는 않습니다. N=4에서 e5를 선택하면 witness 오차 1, e2를 선택하면 0입니다. 선택 witness 하나가 0이어도 supremum이 0은 아닙니다.
Compact 사상의 근사는 더 강할 수 있다
T=diag(1/k)는 compact이고 ‖T−PₙT‖=1/(N+1)로 노름 수렴합니다. 유한 rank Pₙ이 strong 수렴한다는 사실만으로 모든 연산자에 같은 노름 수렴이 생기는 것은 아니며, 이 예제에서는 T의 감쇠 구조가 중요합니다.
Tₙ의 역은 첫 N개 좌표 공간에서 정의합니다. 모두 invertible이어도 역 노름이 커져 작은 고주파 잡음이 증폭됩니다. 원래 T는 ℓ2 전체로의 bounded 역을 갖지 않습니다. 해상도를 올리는 것과 역문제의 안정성을 높이는 것은 같은 일이 아닙니다.
Galerkin 수렴에는 근사와 안정성이 함께 필요하다
실수 Hilbert 공간 V의 bounded coercive bilinear form a에 대해 |a(u,v)|≤M‖u‖‖v‖, a(v,v)≥α‖v‖², α>0을 가정하면 conforming Galerkin 근사의 Céa 경계는 다음과 같습니다.
현재 실습은 이 PDE 해법을 구현한 것이 아니라 수렴 방식의 차이를 계산합니다. 연구에서 작은 이산 잔차만으로 연속 문제의 정확도·안정성을 주장하지 말고 일관성, 공간의 조밀성, 경계조건과 해상도 독립 상수를 확인하세요.
확인 문제와 해설
- N=16에서 witness e17의 오차는? 1입니다. 여전히 완전히 생략합니다.
- xₖ=1/k의 오차가 줄면 모든 단위 벡터에 같은 N이 충분한가요? 아니요. N 뒤의 기저가 반례입니다.
- Tₙ의 작은 전방 오차가 역의 안정성도 보장하나요? 아니요. 전방 꼬리 노름은 줄지만 역 노름은 N으로 증가합니다.
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