비직교 Ritz 공간·좌표·잔차

1. 공간을 근사한 다음 그 안에서 탐색한다

시험 공간은 매우 크거나 무한한 상태 공간을 다루기 쉬운 벡터들의 선형결합으로 바꾼다. Rayleigh–Ritz 방법은 그 공간 안에서 에너지가 정류하는 방향을 찾는다. 기저 벡터들은 직교할 필요가 없다. 국소 함수, 학습한 특징, Krylov 벡터, 물리적으로 설계한 상태를 사용할 수 있지만, 그 대신 좌표에 내적의 metric이 드러난다.

3차원 물리 공간 속 평면을 상상하자. 평면의 격자선을 다시 그리면 좌표가 달라진다. 평면을 기울이거나 넓히면 허용하는 상태가 달라진다. 첫 문제를 개선하는 알고리즘이 두 번째 문제의 오차까지 해결하는 것은 아니다. 정확한 행렬, 손계산 예제와 평면 밖으로 향하는 잔차를 통해 이 차이를 계속 확인한다.

변화	물리적 의미	적절한 비교
같은 공간 안의 가역 기저 변경	다른 좌표 격자	동일한 상태·사영·Ritz 값
독립적인 시험 방향 추가	허용 공간 확대	포함된 공간들의 에너지 상한
포함 관계가 없는 공간 변경	다른 근사 선택	자동적인 단조 순서 없음

수치 실험에서는 유한 Hermitian H와 독립 열을 가진 일반 복소 행렬 B를 가정한다. 에너지 단위는 H에서 물려받는다. 시간 좌표나 운동 궤적은 지정하지 않는다.

2. Gram 행렬은 좌표의 내적이다

k개의 시험 벡터를 n×k 행렬 B의 열로 모으자. 계수 c는 물리 상태 Bc를 나타낸다. 열들의 길이가 다르고 서로의 내적이0이 아닐 수 있으므로 상태 노름은 일반적으로 계수의 Euclidean 노름과 다르다.

$$|\psi\rangle=Bc,\qquad S=B^\dagger B,\qquad \|\psi\|^2=c^\dagger Sc,\qquad c\ne0\ \Longrightarrow\ c^\dagger Sc>0 \quad\text{when }\operatorname{rank}B=k.$$

증명은 직접적이다. 이차형식 c†Sc는 Bc의 제곱 노름이다. 열이 독립이면 비영 c에서 Bc도 비영이므로 양수다. 따라서 S는 Hermitian 양의 정부호다. 두 열이 정확히 종속하면 S가 특이해져 이 좌표로 k차원 공간을 표현할 수 없게 된다. 가까운 종속은 다른 문제다. 정확 rank는 그대로인데 수치 계산이 어려울 수 있다.

b=(1,0,1) 하나만 쓸 때 계수 c=1은 물리 제곱 노름2를 준다.1이 아니다. 이1차원 좌표의 Gram 행렬은 숫자2다. metric은 정규화의 장식이 아니라 문제 자체의 일부라는 사실을 이 작은 예제에서 볼 수 있다.

3. 정류 조건은 일반화 고유값 문제가 된다

시험 공간으로 에너지 기대값을 제한하자. 투영 에너지 행렬 A도 Hermitian이다. 모든 복소 계수 방향에 대해 몫을 미분하면 일반화 정류 방정식을 얻는다.

$$A=B^\dagger HB,\qquad E(c)=\frac{c^\dagger Ac}{c^\dagger Sc},\qquad Ac=ESc,\qquad C=S^{-1}A,\qquad SC=C^\dagger S.$$

C는 S 내적에 대해 자기수반이므로 고유값이 실수다. 그러나 일반적인 Euclidean 내적에서는 Hermitian이 아닐 수 있다. 따라서 C를 보통의 Hermitian 행렬 전용 고유값 함수에 곧바로 넘기는 것은 정당화되지 않은 지름길이다.

가능한 수치 경로 하나는 S=LL†를 사용한다. A를 L⁻¹AL⁻†로 바꾸어 Hermitian 문제를 풀고 좌표를 되돌린다. 독립 기준 계산은 이 경로를 사용한다. 정확한 생산 계산기는 C의 실수 특성 다항식을 구성하고 근을 분리한다. 서로 다른 계산 경로를 비교하는 것은 같은 고유값 함수를 두 번 호출하는 것보다 강한 검산이다.

4. 물리 시험 공간으로 사영한다

B의 열 공간을 향하는 직교 사영에는 Gram 역행렬이 들어간다. 그 인자를 빼고 BB†만 사용하면 보통 벡터를 사영하는 대신 크기를 바꾸거나 섞게 된다.

$$P_V=BS^{-1}B^\dagger,\qquad P_V^\dagger=P_V,\qquad P_V^2=P_V,\qquad P_VB=B,\qquad \operatorname{tr}P_V=k.$$

멱등성을 확인하려면 곱의 가운데에 B†B=S를 넣으면 된다. Hermitian 성질에는 S⁻¹도 Hermitian이라는 사실을 쓴다. 사영은 물리 공간에 의존하며, 그 공간 안에 그은 독립 좌표 격자의 선택에는 의존하지 않는다. 배열 모습이 매우 다른 두 표현을 비교할 때 유용한 대상이다.

공간 내부에서 압축 Hamiltonian은 상태를 PᵥHψ로 보낸다. 그 물리 스펙트럼 사영의 합은 더 큰 주변 공간의 항등행렬이 아니라 Pᵥ다. 반복된 Ritz 값에는 전체 고유공간이 대응한다. 그 안의 수치 기저를 선택하면 비유일한 관례를 추가하게 된다. 준비한 계산기는 대신 공간 사영을 반환한다.

5. 포함 관계와 min–max에서 상한을 얻는다

전체 고유값 lambda를 중복도까지 포함해 오름차순으로 나열하고 k개의 Ritz 값 mu도 같은 방식으로 나열하자. 허용 방향을 제한하면 최솟값이 전체 바닥 에너지보다 낮아질 수 없다. 더 일반적으로 min–max 원리는 각 순서의 값을 비교한다.

$$\lambda_j\le\mu_j\le\lambda_{j+n-k},\qquad j=0,\ldots,k-1,\qquad V\subseteq W\ \Longrightarrow\ \min_{\psi\in W\setminus\{0\}}E(\psi) \le\min_{\psi\in V\setminus\{0\}}E(\psi).$$

아래쪽 부등식에서는 V 내부의 후보 부분공간만 고를 수 있어 전체 min–max 문제보다 선택지가 줄어든다. 위쪽 부등식에는 V와, j+n-k번까지의 낮은 에너지 전체 고유벡터들이 만드는 공간을 교차시킨다. 차원 부등식에 의해 그 교차 공간은 적어도 j+1차원이다. 그 안의 모든 벡터가 해당 전체 고유값 이하의 몫을 가지므로 비교할 수 있는 부분공간을 얻는다.

실제 독립 방향을 추가하면 최소 에너지는 감소하거나 유지된다. 파라미터 수만 늘리거나 다른 큰 차원 공간을 선택했다고 포함 관계가 생기지는 않는다. 같은 H, 같은 물리 내적, 일관된 제약 아래에서 비교해야 한다. 경계 조건이나 대칭 영역을 바꾸면 비교하는 문제 자체가 달라진다.

6. Ritz 잔차는 시험 공간 밖을 향할 수 있다

V 안에서 선택한 상태의 전체 고유값 잔차를 공간 안과 밖의 두 성분으로 나누자. 두 성분은 직교한다. 계수 정류는 안쪽 성분이0이라는 뜻이고, 전체 공간의 고유상태는 두 성분이 모두0이어야 한다.

$$r=(H-E)\psi,\qquad r_V=P_Vr,\qquad r_\perp=(I-P_V)r,\qquad B^\dagger r=Ac-ESc,\qquad \operatorname{Var}(H)=\frac{\|r_V\|^2+\|r_\perp\|^2}{\|\psi\|^2}.$$

c가 일반화 고유값 방정식을 만족하면 B†r=0이다. 이것이 Galerkin 직교 조건이다. 시험 공간의 모든 검사 방향에 잔차가 보이지 않는다는 의미이지, 전체 공간에서 잔차가 작다는 의미는 아니다. 계수 gradient가 작아도 큰 물리 근사 오차가 함께 남을 수 있다.

압축 이차 모멘트인 PᵥHψ의 제곱 노름을 상태 노름으로 나눈 값과, H²를 사용하는 전체 이차 모멘트도 구별하자. 압축은 Hψ가 V 밖으로 나가는 부분을 버릴 수 있다. 압축 문제의 영분산은 H의 에너지 분산이0이라는 뜻이 아니다. 숫자를 해석하기 전에 상태 평면과 그 법선 방향을 그려보자.

7. 비직교 평면을 직접 계산한다

H=diag(0,1,3), 시험 벡터 b0=(1,0,1), b1=(0,1,1)를 사용하자. 이들이 만드는 평면에서는 세 번째 좌표가 앞 두 좌표의 합이다. 정확한 전체 바닥 벡터(1,0,0)는 그 평면에 없다.

$$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad S=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}3&3\\3&4\end{pmatrix},\qquad \det(A-\mu S)=3\mu^2-8\mu+3.$$

각 원소는 내적으로 확인할 수 있다. 예를 들어 H가 b0를(0,0,3)으로 보내므로 첫 에너지 원소는3이다. 비대각 에너지 원소도3이다. Gram 분모를 유지하는 것이 핵심이다. 이차방정식을 풀면 두 Ritz 에너지를 얻는다.

$$\mu_\pm=\frac{4\pm\sqrt7}{3},\qquad \mu_-\approx0.45141623,\qquad \mu_+\approx2.21525044,\qquad 0\le\mu_-\le1\le\mu_+\le3.$$

b0만 사용할 때 에너지 몫은 언제나3/2다. b1을 추가하면 최솟값이 mu minus로 낮아지지만, 전체 바닥 방향을 여전히 사용할 수 없어0에 도달하지 못한다. 세 번째 독립 벡터(0,0,1)를 추가하면 전체 공간을 만들고 정확한 최솟값0을 얻는다. 실제 포함 관계와 에너지 개선을 기하학적으로 설명하는 예제다.

8. 최적 상태에 남는 오차를 따라간다

각 Ritz 근에 대해 c0=1로 두고 일반화 방정식의 첫 행에서 c1=rho를 구하자. 작은 근은 평면 안의 최소 방향을 준다. 일반 계산기는 수치 Ritz 고유벡터를 반환하지 않지만, 이 작은 예제의 벡터는 해석적으로 유도할 수 있다.

$$\rho=\frac{2\mu-3}{3-\mu}=-\frac{\mu}{1-\mu},\qquad \psi=\begin{pmatrix}1\\\rho\\1+\rho\end{pmatrix},\qquad (H-\mu)\psi=\mu\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix},\qquad \operatorname{Var}(H)=\frac{3\mu^2}{2(1+\rho+\rho^2)}.$$

잔차 방향은 두 시험 벡터에 모두 수직이다. 이 Ritz 상태에서 평면 내부의 어떤 일차 방향으로도 에너지를 더 내릴 수 없지만, 평면 밖의 비영 잔차는 빠진 방향을 드러낸다. 투영 잔차와 바깥 잔차를 별개의 화살표로 그리고 같은 에너지 관례로 크기를 비교하면 이해하기 쉽다.

잔차 노름은 공간 확대의 필요성을 판단하는 데 유용하지만, 수렴 속도를 말하려면 가정이 더 필요하다. 이 예제에서는 전체 바닥 에너지를 알아서 초과 에너지를 직접 검산할 수 있다. 연구 문제의 미지인 바닥 에너지를 현재의 시험 최솟값으로 바꾸고 근사 오차가0이라고 선언해서는 안 된다.

9. 상태를 유지하면서 좌표를 바꾼다

가역 복소 행렬 M으로 기저와 계수를 함께 바꾸자. Gram 행렬과 에너지 행렬은 일반적인 similarity가 아닌 congruence로 변환한다. 두 행렬의 조합인 S⁻¹A는 similarity로 변하므로 Ritz 값은 유지된다.

$$B'=BM,\quad c'=M^{-1}c,\quad S'=M^\dagger SM,\quad A'=M^\dagger AM,\quad B'c'=Bc,\quad S'^{-1}A'=M^{-1}(S^{-1}A)M.$$

손계산 평면에 scale과 복소 shear를 적용하자. 새 좌표 격자의 기울기와 길이는 달라지지만, 물리 평면과 변환한 계수로 표현하는 상태는 그대로다.

$$M=\begin{pmatrix}2&1+i\\0&1\end{pmatrix},\qquad S'=\begin{pmatrix}8&6+4i\\6-4i&8\end{pmatrix},\qquad A'=\begin{pmatrix}12&12+6i\\12-6i&16\end{pmatrix}.$$

상태 b0의 양	원래 좌표	바꾼 좌표
계수 벡터	(1,0)	(1/2,0)
Euclidean 계수 제곱 노름	1	1/4
물리 제곱 노름과 에너지	2와3/2	2와3/2

새 Gram 행렬식은3이 아니라12다. 일반화 pencil의 행렬식에는4배 인자가 생기지만 근은 같다. 이 기저 변경 뒤에 계수의 Euclidean 길이만으로 다시 정규화하면 보통 물리 상태가 달라진다. 정규화한 상태가 필요할 때는 metric을 사용해야 한다.

10. 정확한 독립성과 좋은 조건은 다르다

행이(M,M-1), (M-1,M-2)인 실수2×2 기저를 보자. 행렬식은 모든 M에서-1이므로 rank를 잃지 않는다. 그런데 M이 크면 열이 거의 평행해져 보통의 유한 정밀도에서 Gram metric을 계산하기 어렵다.

$$\det B=-1,\qquad \det S=1,\qquad T=\operatorname{tr}S=4M^2-8M+6,\qquad \lambda_{\min}(S)=\frac{2}{T+\sqrt{T^2-4}},\qquad \kappa_2(S)\sim T^2.$$

M=백만이면 Gram 조건수는 약16×10²⁴이다. 작은 고유값은 여전히 양수다. 고정된 부동소수점 허용 오차로 열 하나를 버리면 수학적으로 독립인 방향을 없애 시험 공간을 바꾸게 된다. 연구 알고리즘이 의도적으로 작은 특이값을 제거한다면 기준, 바뀐 공간과 관측량에 미치는 영향을 기록한다.

Gram 조건수는 B의2-노름 조건수의 제곱이다. 좌표 표현의 성질이지 바닥 상태 오차 자체가 아니다. 직교화는 물리 방향을 추가하지 않고 좌표를 개선할 수 있다. 반대로 유용한 방향을 추가해 근사는 좋아졌어도, 나쁜 기저 선택 때문에 좌표의 조건은 더 나빠질 수 있다.

11. 연속 연산자로 확장하려면 가정이 더 필요하다

미분 연산자에서는 시험 함수가 적절한 연산자 또는 이차형식 정의역에 속하고 의도한 경계 조건을 만족해야 한다. 행렬 원소도 동일한 물리 내적과 형식을 표현해야 한다. 적절한 자기수반·하한 조건을 가진 문제의 conforming 유한 제한에는 변분 논리를 적용할 수 있다. 순서대로 나열한 이산 고유값의 존재와 공간 열의 수렴에는 스펙트럼 가정이 더 필요하다.

유한요소법에서는 에너지 또는 stiffness 행렬과 overlap 또는 mass 행렬이 일반화 고유값 문제를 이룬다. 부정확한 수치 적분, 일관되지 않은 경계 처리, nonconforming 공간은 단순한 상한 해석을 깨뜨릴 수 있다. 행렬 그림을 정교하게 그린다고 이 모델링 가정이 자동으로 검사되는 것은 아니다.

적절한 조건 아래 조밀한 허용 시험 공간의 열로 수렴을 증명할 수 있지만, 잔차 그림 하나가 보편적인 수렴률을 주지는 않는다. 비선형 ansatz, Hartree–Fock 상태와 텐서 네트워크 제약은 다른 최적화 구조를 추가한다. 모두 변분이라는 단어를 쓴다는 이유만으로 정류 조건을 제한 없는 선형 Ritz 방정식이라고 바꾸어 부르면 안 된다.

12. Metric을 AI와 연구 실무에 연결한다

Krylov와 부분공간 고유값 방법은 Hamiltonian을 반복 적용한 벡터 등으로 공간을 만든다. Davidson 유형의 보정과 잔차 확장은 빠진 방향의 정보를 사용한다. 신경망 특징이나 이미 학습한 상태도 시험 기저가 될 수 있다. 어떤 경우든 물리 공간의 선택, 수치 좌표, 공간 안의 최적화 또는 고유값 풀이를 구별해야 한다.

기저가 외부 매개변수에 의존하면 overlap 행렬의 미분이 중요하다. S metric으로 계수를 정규화하고, 미분 가능한 고립된 Ritz 가지를 따라 일반화 방정식을 미분하면 metric을 반영한 에너지 미분을 얻는다.

$$Ac=ESc,\qquad c^\dagger Sc=1,\qquad \frac{dE}{dq}=c^\dagger\left(\frac{dA}{dq}-E\frac{dS}{dq}\right)c.$$

계수 미분을 포함한 항은 정류와 정규화 조건으로 소거된다. 좌표 기저가 움직일 때 S의 미분을 빼먹으면 일반적으로 틀린다. 축퇴점에서는 임의로 고른 벡터 하나에 공식을 붙이는 대신 축퇴 공간 안에서 미분을 해석해야 한다. 준비한 고정 입력 실험은 움직이는 기저의 매개변수 미분을 계산하는 기능이 아니다. 연구 연결로서 별도 유도하고 검산할 내용이다.

구체적인 검산으로 움직이는 한 열 B(q)=(1,q), H=diag(0,2)를 보자. S=1+q², A=2q²이다. q=1에서 올바른 에너지 미분은1이지만 overlap 미분을 빼먹으면2가 나온다. 누락한 metric 항의 영향을 작은 예제에서 직접 확인할 수 있다.

재현 가능한 연구에는 기저 생성, rank 결정, 조건수, H와 overlap 관례, 에너지와 전체 잔차, 공간 확대에 따른 변화를 기록한다. 학습한 surrogate가 에너지를 예측한다면 같은 surrogate의 출력끼리 비교하는 데 그치지 말고, 물리 상태와 독립 행렬 기대값으로 확인한다.

부분공간·Galerkin 관점은 MIT 수치 방법 강의, 양의 metric 일반화 고유값 문제는 Cornell 행렬 계산 강의와 대조할 수 있다. 이 장의 구체적인 평면·좌표 변환과 검산은 직접 유도했다.

13. 해설이 있는 연습문제

1. 분모가 필요한 이유. H=diag(0,1,3)에서 b0=(1,0,1)만 사용하라. 에너지 행렬, Gram 행렬과 에너지는 무엇인가?

해설. A는 숫자3인1×1 행렬, S는 숫자2인1×1 행렬이다. 몫은3/2다. 계수 c=1을 정규화된 물리 벡터로 취급하면 에너지3이라는 잘못된 값을 얻는다. 비직교 기저에서는 열이 하나여도 정규화가 달라진다.

2. 두 Ritz 값을 구하기. 손계산 평면에서 A−mu S의 행렬식을 전개하고 전체 스펙트럼과 비교하라.

해설. (3-2mu)(4-2mu)에서 (3-mu)²를 빼면3mu²−8mu+3이다. 근은(4±sqrt(7))/3이며, 각각 interlacing 구간[0,1]과[1,3]에 속한다. 전체 에너지0,1,3과 일관된다.

3. 정류하지만 전체 고유상태는 아닌 상태. H=diag(0,2,4), b0=(1,0,1), b1=(0,1,0), 계수(1,1)에서 두 잔차 성분을 구하라.

해설. 상태는(1,1,1), 제곱 노름3, 에너지2다. 전체 잔차(-2,0,2)는 두 시험 열에 수직이다. 투영 잔차는0이지만 바깥 분산은8/3이다. 여기서는 A=2S여서 전체2차원 시험 공간이 하나의 축퇴 Ritz 공간이다. 그 상태들이 모두 전체 H의 고유상태일 필요는 없다.

4. 복소 좌표 shear 되돌리기. 9절의 M과 원래 계수(1,0)를 사용하라. 물리적으로 무엇이 변하는가?

해설. 바꾼 계수는(1/2,0)다. 새 첫 열과 곱하면 원래 상태를 정확히 복원한다. 계수 제곱 노름은1에서1/4로 바뀌지만 물리 제곱 노름2와 에너지3/2는 그대로다. 두 일반화 특성 다항식은 비영 행렬식 인자를 제거하면 같은 근을 갖는다.

5. 거의 평행하지만 독립인 열. 10절 기저의 행렬식과 Gram 행렬식을 구하라. 고정된 허용 오차로 rank1이라고 판정해야 하는가?

해설. M(M-2)−(M-1)²=-1이고 Gram 행렬식은 그 절댓값의 제곱인1이다. M=백만이어도 열은 정확히 독립이다. Gram 고유값들이 크게 다른 것은 조건의 문제다. 수치 rank 절단을 선택하면 근사가 달라지므로 그 선택을 정당화하고 보고해야 한다.

6. 포함되지 않은 큰 차원. H=diag(0,1,3)에서 V는 전체 바닥 벡터가 만드는 직선, W는 두 번째와 세 번째 좌표 벡터의 평면이다. 최소 에너지가 반드시 내려가는가?

해설. V는1차원이고 최솟값0, W는2차원이고 최솟값1이다. W가 V를 포함하지 않으므로 포함 공간의 단조성과 모순되지 않는다. 큰 차원이라는 사실만으로는 빠진 가정을 채우지 못한다. 평면 밖의 직선을 그려 포함 관계의 실패를 직접 확인한다.

14. 준비한 실험과 한계를 읽는다

수치 가족은 전체 차원1…4와 그 안의 독립 열1…n을 모두 받는다.63개 소유 유계 정수, 정확 복소 유리수 Gram·잔차 계산,4096비트 square-free/Sturm 근 분리,2048비트 방향성 작업 연산과 바깥512비트 출력을 쓴다. 부동소수점 임계값으로 rank를 고르지 않는다. 확률은 증명된 범위와 교집합을 취하고, 기저나 상태 벡터를 몰래 보정하지 않는다.

손계산 평면, 전체 공간과 조건이 나쁜 좌표 격자를 비교하자. 잔차 분해를 보기 전에 선택한 상태가 Ritz 정류인지, 전체 고유상태인지 예측한다. 전체 잔차 Frobenius 값은 스펙트럼 부분공간의 진단이며 반환하지 않은 특정 고유벡터 하나의 잔차가 아니다. 포함 공간은 실제 열 prefix이고, 내장 좌표 비교는 비영 scale과 복소 shear를 사용한다. 자유롭게 입력하는 기저 자체는 일반 복소 기저다.

고정 비교, 안내 예측, 저장 가능한 입력과 퀴즈로 metric 계산과 근사 품질을 연결하자. 실수 3차원 사례에는 카메라를 조작하는 공간 그림과 두 직교 투영을 제공하고, 복소 사례에는 전체 성분 그림과 행렬을 유지한다. 진입은 도서 → Interactive Book이다. 연속 수렴 이론, 다체 근사와 연구 깊이에는 추가 장과 독립 근거가 필요하다. 이 유한 실험으로 그 범위를 완료하지 않는다.