스펙트럼과 Schrödinger 시간 진화

1. 측정하지 않아도 상태는 변할 수 있다

앞에서는 준비한 상태를 ray로 나타내고 측정을 사영 연산자와 연결했다. 이제 물리적인 시계를 도입한다. 외부와 상호작용하지 않는 닫힌계에서, 준비와 마지막 측정 사이에 상태가 어떻게 변하는지 묻는다. 여러 시점의 그래프는 같은 초기 상태로 각각 준비한 실험들을 비교한다는 뜻이다. 하나의 실험 도중에 측정을 반복해서 끼워 넣는다는 뜻이 아니다.

상태 공간은 C²다. 두 좌표는 공간의 두 지점이 아니라 두 에너지 준위 같은 내부 대안을 나타낼 수 있다. 비영 원시 벡터 z를 초기 정규화 대표 ψ(0)=z/||z||로 바꾸고, Hermitian 행렬 H를 시간 진화의 생성자로 선택한다. H의 고유값은 에너지 단위를 가진다. H는 전이 확률표가 아니며 성분이 모두 양수일 필요도 없다.

2. 미분방정식에서 전파 연산자로

Schrödinger 방정식은 상태와 그 시간 미분을 연결한다. 전파 연산자 U는 처음 벡터를 나중 벡터로 보낸다. 유한 차원의 시간 독립 Hermitian H에서는 행렬 exponential이 이 초기값 문제를 푼다.

$$i\hbar\frac{d\psi}{dt}=H\psi,\qquad \psi(t)=U(t)\psi(0),\qquad U(t)=\exp(-itH/\hbar).$$

부호를 외우기 전에 iℏ로 나누어보자. 미분의 생성자는 −iH/ℏ가 된다. exponential 급수를 미분하면 H가 자신의 모든 거듭제곱과 가환하므로 도함수는 (−iH/ℏ)U이며, t=0에서는 I다. 이것은 진폭의 선형 진화다. 이차 목적함수를 낮추는 실수 gradient flow dψ/dt=−Hψ와는 다르다.

직관적으로는 평면의 회전을 떠올릴 수 있다. 점의 방향은 바뀌지만 길이는 유지된다. 양자 진화는 이 구조를 복소 내적 공간으로 확장한다. 전체 길이는 그대로여도, 특정 측정 기저에 대한 확률은 달라질 수 있다.

3. norm과 내적을 보존하는 이유

Hermitian 조건 때문에 U†=exp(+itH/ℏ)다. 여기서는 두 생성자가 가환하므로 exponential을 곱해 항등행렬을 얻는다. 그 결과 초기 norm뿐 아니라 임의의 두 벡터 사이의 내적도 보존된다.

$$U(t)^\dagger U(t)=I,\qquad \langle U(t)\phi,U(t)\psi\rangle=\langle\phi,\psi\rangle,\qquad U(s)U(t)=U(s+t),\quad U(-t)=U(t)^\dagger.$$

시간을 더하는 법칙은 전 구간에서 같은 상수 H를 사용할 때의 식이다. 중간에 Hamiltonian을 바꾸는 실험에 조건 없이 옮겨 쓰면 안 된다. norm 보존은 수치 계산에서도 확인해야 할 예측이다. 계산한 벡터를 매번 자신의 현재 norm으로 나누면, 전파가 실제로 길이를 보존했는지 알아보기 어렵다.

4. 에너지 기저에서는 위상만 회전한다

비영 원시 방향 v에서 rank1 사영 P를 만들고 Q=I−P로 둔다. 실수 중심 a와 부호 있는 간격 b로 H를 구성하면 스펙트럼 분해와 전파를 직접 쓸 수 있다.

$$P=\frac{vv^\dagger}{v^\dagger v},\quad Q=I-P,\quad K=2P-I,\quad H=aI+bK=(a+b)P+(a-b)Q,$$ $$U(t)=e^{-i(a+b)t/\hbar}P+e^{-i(a-b)t/\hbar}Q =e^{-iat/\hbar}\bigl(\cos\theta\,I-i\sin\theta\,K\bigr),\qquad \theta=bt/\hbar.$$

P와 Q가 직교하므로 각각으로 사영한 두 부분은 길이를 유지하면서 복소 위상만 회전한다. b가 음수이면 어느 에너지가 낮은지가 바뀌지만 고유값에 붙은 사영을 서로 바꾸면 안 된다. b=0이면 H는 scalar 행렬이고 서로 다른 에너지는 하나다. 같은 숫자를 가진 두 개의 측정 결과를 따로 만드는 방식으로 해석하지 않는다.

연결된 그림에서는 두 복소 위상 화살표와 두 에너지 확률 막대를 구별해서 보아야 한다. 화살표가 돌아가도 에너지 측정 막대는 고정된다. 스펙트럼을 이용한 진화의 핵심 직관이다.

5. 속도를 비교하기 전에 단위를 복원하자

exponential의 지수는 무차원이어야 한다. 에너지와 시간을 곱하고 작용 단위인 ℏ로 나누면 된다. 계산에서는 에너지 단위 E0와 시간 단위 T0를 선언한다. H=E0 H̃, t=T0 t̃, ℏ=E0T0 ℏ̃이면 수치 방정식에는 H̃·t̃·ℏ̃를 사용한다. 수치 ℏ̃=1은 단위를 맞추어 선택했다는 뜻이며, 물리 상수에 단위가 없다는 뜻이 아니다.

예를 들어 b=E0, ℏ=E0T0일 때 T0만큼 기다리면 θ=1 radian이다. 에너지와 시간의 수치를 그대로 두고 ℏ 수치를 절반으로 바꾸면 θ는 두 배다. 이는 모형 매개변수의 비교이며 실제 자연의 상수를 조작하는 실험 장치가 아니다. 단위만 일관되게 바꾸면 무차원 위상과 모든 예측 확률은 그대로다.

6. 공통 에너지 이동과 상대 위상의 차이

H에 cI를 더하면 진화한 모든 성분에 exp(−ict/ℏ)가 공통으로 곱해진다. Born 확률과 ray는 바뀌지 않는다. 반면 두 에너지 성분의 차이가 만드는 상대 위상은 −2bt/ℏ다. 에너지 고유공간을 섞어 보는 측정에서는 이 상대 위상이 결과를 바꿀 수 있다.

H=Z=diag(1,−1), ℏ=1, 초기 상태 +X=(1,1)/√2를 대입하면 차이가 분명하다.

$$\psi(t)=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^{-it}\\e^{it}\end{pmatrix},\qquad p_Z(+1)=p_Z(-1)=\tfrac12,\qquad |\langle\psi(0),\psi(t)\rangle|^2=\cos^2t.$$

Z histogram은 고정되어 있지만 ray는 일반적으로 움직인다. t=π/2에서는 초기 +X ray와 직교하며, t=π에서는 대표 벡터가 −1배가 되어 같은 ray로 돌아온다. 정확한 π 시점은 해석적인 기준점이다. 제한된 유리수 시간 입력으로 그 시점을 정확히 지정할 수 있다는 뜻은 아니다. 돌아오는 시점 근처에서 fidelity가 화면에1로 반올림되어도 정확한 같음의 증명으로 삼지 않는다.

7. 에너지 보존이 모든 통계를 고정하지는 않는다

H와 U가 가환하고 각 에너지 사영도 U와 가환하므로, 에너지 확률·평균·2차 모멘트는 시간에 무관하다. 이 가족에서는 w=||Pψ(0)||²로 두면 평균과 분산을 간단히 쓸 수 있다.

$$\langle H\rangle=a+b(2w-1),\qquad \langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2=4b^2w(1-w).$$

b가0이 아닐 때 분산0은 초기 상태가 하나의 에너지 고유공간 안에 있다는 뜻이다. 따라서 공통 위상만 바뀌고 ray는 정지해 있다. b=0이면 모든 ray가 정지한다. 두 준위에서 분산이 양수이면 상대 위상의 진화가 가능하지만, 선택한 측정이 그 변화를 감지하지 못할 수는 있다.

초기 상태와 H, ℏ=1	에너지 통계	ray의 진화
첫 기저 상태와 Z	평균1, 분산0	대표에 exp(−it)가 곱해지고 ray는 고정
+X와 Z	평균0, 분산1	일반적으로 움직이지만 Z 확률은 각각1/2
+X와 Z+3I	평균3, 분산1	Z일 때와 같은 ray 궤적
임의의 정규화 상태와2I	평균2, 분산0	모든 준비에서 ray가 고정

8. 전진 Euler는 unitary한 한 걸음이 아니다

가장 간단한 ODE 근사는 ψₖ₊₁=(I−iΔtH/ℏ)ψₖ다. 에너지 E인 성분에는 1−iEΔt/ℏ가 곱해진다. EΔt가0이 아니면 이 복소수의 크기는1보다 크다. 하나의 고정 격자로 n번 진행했을 때 norm 제곱은 정확한 대수식으로 확인할 수 있다.

$$\|\psi_n^{\mathrm{Euler}}\|^2 =\sum_j w_j\left(1+\frac{E_j^2\Delta t^2}{\hbar^2}\right)^n,\qquad \Delta t=T/n.$$

H=Z, 초기 +X, ℏ=1, T=1이면 한 걸음의 norm 제곱은2다. 두 걸음은25/16이고 네 걸음은(17/16)⁴다. 최종 시간을 고정한 채 격자를 촘촘하게 하면 정확한 norm1에 가까워지지만, 유한한 비영 간격에서는 길이가 증가한다. 두 걸음 뒤 벡터는 (3/4−i,3/4+i)/√2다. 나중에 이를 정규화하면 지금 진단하려던 계산 자체를 바꾸게 된다.

Euler의 증가는 이산화 오차이지 물리적인 증폭·소산이나 새로운 Born 확률 분포가 아니다. 공통 에너지 이동도 정확한 ray에는 영향을 주지 않지만 Euler 오차에는 영향을 줄 수 있다. 합이1보다 큰 비정규화 성분 제곱을 그대로 확률표라고 부르면 안 된다.

9. 실험을 읽는 순서

먼저 +X와 Z를 선택하고 마지막 물리 시간을 바꿔보자. 어떤 막대가 고정될지 예측한 뒤 진폭과 fidelity를 비교한다. 다음에는 첫 에너지 고유상태로 바꾼다. 복소 대표는 움직여도 ray와 모든 측정 분포는 그대로다. 마지막으로 scalar 중심을 더해 어떤 값이 이동하고 어떤 값이 유지되는지 구별한다.

수치 오차를 비교할 때는 H와 최종 시간을 고정하고 Euler 단계 수만 바꾼다. 관측 격자는 화면에 나타낼 시간만 선택한다. 추가 측정의 연속이 아니다. 모든 표시값이 같은 적분 격자에 속하도록 Euler 단계 수는 관측 구간 수로 나누어떨어져야 한다. 서로 다른 최종 시간에서 서로 다른 간격을 비교하면 시간 변화와 근사 오차가 섞인다.

향후 Interactive Book 화면에서는 시간·에너지·위상·norm·확률을 각각 표시해야 한다. 모션은 계산된 표본을 살펴보는 수단이며 두 공간 점 사이의 고전적인 입자 경로를 입증하지 않는다. 정지·한 단계 이동에서도 같은 수치 결과를 읽을 수 있어야 한다.

10. 수치 계산이 확인하는 것

입력은 원시 좌표·유리수 매개변수·개수를 표현하는18개 제한된 정수 필드다. Hamiltonian·에너지 무게와 모멘트·물리 시간 격자·Euler 반복은 정확한 복소 유리수로 계산한다. 진화 exponential은 일반적으로 유리수가 아니므로 진폭과 확률에는 방향성768bit 작업 연산과 바깥으로 반올림한512bit 관측 구간을 사용한다.

삼각함수는 작은 각의 Taylor 급수·명시적 나머지·반복 배각으로 둘러싼다. 그림에 사용하는 Number 좌표가 인증 구간 자체는 아니다. 잔차 구간이0을 포함한다는 사실과 구조적으로 정확히0이라는 사실도 구별한다. 아주 작은 미해결 구간에서는 공개값을 null로 유지할 수 있다. 결과 norm을 보정하거나 epsilon을 넣어서 불확실성을 확실한 값으로 바꾸지 않는다.

독립 기호 스펙트럼·고정밀 일반 행렬 exponential·별도 ODE 적분으로 이 제한된 가족을 대조한다. ODE와 허용 오차 안에서 일치했다는 사실은 적분기의 전역 오차를 증명한 정리가 아니다. 큰 Euler 증가는 정확 분수나 크기 정보로 남기며 확률로 다시 이름 붙이지 않는다.

11. 해설과 함께 풀어보기

1. 양의 에너지에서 exp(−Et/ℏ)가 아니라 exp(−iEt/ℏ)인 이유는?

해설. Schrödinger 식을 iℏ로 나누면 미분의 계수는 −iE/ℏ다. 위상을 회전시킨다. 실수 음의 계수를 쓰면 지수 감쇠가 생겨 일반적으로 norm을 보존하지 않는다.

2. Z histogram이 고정이면 +X 상태도 정지해 있을까?

해설. 아니다. 두 확률은1/2이지만 초기 상태와 겹침의 제곱은 cos²t다. 에너지 성분을 섞어 보는 기저에서는 변하는 상대 위상을 감지할 수 있다.

3. Z에3I를 더하면 평균과 분산은 어떻게 될까?

해설. 모든 에너지와 평균은3만큼 증가한다. 평균에서의 편차와 분산은 그대로다. 정확한 대표에 공통 위상이 곱해지지만 ray 궤적은 바뀌지 않는다.

4. 예제에서 Euler 두 걸음의 norm과 에너지는?

해설. norm 제곱은1이 아니라25/16이다. Z의 직접 이차형식은 대칭성 때문에 여전히0이지만, 이 우연이 갱신을 unitary하게 만들지는 않는다. 보존된 것처럼 보이는 숫자 하나만으로 적분기를 검증할 수 없다.

5. b=0이면 특별한 초기 고유벡터를 골라야 할까?

해설. 아니다. H=aI는 모든 벡터에 같은 에너지로 작용한다. 모든 초기 ray가 정지하며 서로 다른 에너지 측정 결과는 a 하나다.

6. U(−t)는 같은 방향으로 두 번째 양의 pulse를 주는 것일까?

해설. 아니다. 작용의 부호가 반대인 역전파다. 같은 상수 H에서 U(−t)U(t)=I다. 다음 단원에서는 이를 두 양의 지속 시간 pulse의 순서를 바꾸는 것과 구별한다.

12. AI 연구와 다음 질문

이 예제는 스펙트럼 함수·복소 임베딩·norm 보존 층·수치 ODE 안정성을 연결한다. unitary 행렬을 쓰는 층은 모든 벡터 쌍의 내적을 보존한다. 개별 출력을 정규화하는 것보다 강한 조건이다. 실제 시간 Schrödinger 진화와 저에너지 성분을 강조하는 허수 시간 방법도 다르며, 후자는 별도의 해석과 정규화 분석이 필요하다.

다음 실험에서는 구간 사이에서 H를 바꾼다. 무한 차원 연산자 정의역·파동함수 PDE 경계조건·열린계·측정의 역작용은 별도 주제로 남긴다. 이 유한 모형이 그 존재성이나 안정성을 증명하지 않는다. 교재는 도서 → Interactive Book에서 연다.

배경은 Preskill §2.1, Axiom4의 닫힌계 unitary 진화와 NIST DLMF §4.19의 삼각함수 급수에서 확인했다. 위 스펙트럼 가족의 유도·Euler 예제·구간 계약은 이 교재를 위해 전개했다.