이진 양자 상태 판별

두 양자 상태를 얼마나 잘 구별할 수 있을까?

두 연구실이 서로 다른 양자 상태를 준비한다고 합시다. 상태의 후보는 알고 있지만, 지금 받은 계가 어느 연구실에서 온 것인지는 모릅니다. 계 하나를 측정해서 출처를 맞히려면 어떤 측정을 선택해야 할까요?

이 문제를 풀면 행렬 사이의 거리가 분류 성능으로 연결되는 과정을 볼 수 있습니다. 동시에 라벨을 맞힐 확률, 얻은 고전 정보의 양, 상태를 추정하는 tomography가 서로 다른 문제라는 사실도 분명해집니다.

먼저 밀도행렬과 Bloch ball, 측정 효과와 상태 교란을 복습하세요. 확률과 거리는 무차원이며, 이 단원에서 정보량을 언급할 때에는 bit를 사용합니다.

1. 거리보다 먼저 실험 조건을 정하기

숨은 라벨을 $X\in\{0,1\}$이라고 하겠습니다. 준비 장치는 확률 $\pi$로 상태 $\rho_0$을, 확률 $1-\pi$로 상태 $\rho_1$을 보냅니다. 두 상태와 사전확률은 알려져 있고, 관찰자는 준비된 계의 복사본 하나만 받습니다.

두 결과를 갖는 POVM의 효과를 $M_0,M_1$이라고 쓰면

$$M_0\succeq0,\qquad M_1\succeq0,\qquad M_0+M_1=I$$

입니다. 결과 $j$가 나왔을 때 라벨을 $j$로 추측하면 평균 성공 확률은

$$P_{\rm succ}=\pi\operatorname{Tr}(M_0\rho_0) +(1-\pi)\operatorname{Tr}(M_1\rho_1)$$

입니다. 좋은 측정은 이 값을 크게 만드는 측정입니다.

측정하지 않아도 기준 성능이 있습니다. 더 자주 준비되는 라벨만 계속 말하면 $\max(\pi,1-\pi)$의 확률로 맞힙니다. 따라서 사전확률이 $0.99$인 문제에서 성공률 $0.9$를 얻었다면, 복잡한 측정을 사용했더라도 좋은 판정이라고 할 수 없습니다.

이 문제에서는 후보 상태를 이미 압니다. 여러 복사본으로 미지의 상태 자체를 추정하는 tomography와 목적이 다릅니다. 실험에서 복사본 수와 허용한 측정도 함께 명시해야 합니다.

2. 가중 차이 행렬에서 최적 측정 얻기

다음 Hermitian 행렬을 정의합니다.

$$\Delta=\pi\rho_0-(1-\pi)\rho_1.$$

$M_1=I-M_0$을 성공 확률에 대입하면

$$P_{\rm succ}=1-\pi+\operatorname{Tr}(M_0\Delta)$$

가 됩니다. 즉 $0\preceq M_0\preceq I$라는 조건 아래에서 마지막 항을 최대화하면 됩니다.

$\Delta=\sum_i\lambda_i|i\rangle\langle i|$로 대각화해봅시다.

$$\operatorname{Tr}(M_0\Delta)=\sum_i\lambda_i\langle i|M_0|i\rangle.$$

POVM 조건 때문에 각각의 $\langle i|M_0|i\rangle$는 0과 1 사이에 있습니다. 양의 고유값에는 1을 곱하고, 음의 고유값에는 0을 곱하는 것이 유리합니다. 양의 고유공간으로의 사영 연산자를 $M_0$으로 선택하면 이 상한을 실제로 달성합니다.

고유값이 0인 공간에서는 선택이 목적함수를 바꾸지 않습니다. 따라서 최적 측정이 항상 유일한 것은 아닙니다.

여기에 $\operatorname{Tr}\Delta=2\pi-1$을 사용하면

$$P_{\rm opt}=\frac{1+\|\Delta\|_1}{2},\qquad \|\Delta\|_1=\sum_i|\lambda_i|$$

를 얻습니다. 이진 최소오류 판별의 Holevo–Helstrom 공식입니다. 정리와 측정 구성은 Watrous §3.1.1에서 확인할 수 있습니다.

여기서 사용한 것은 trace norm입니다. 고유값 제곱의 합에 제곱근을 씌우는 Frobenius norm으로 바꾸면 다른 값을 계산하게 됩니다. 행렬 원소별 차이가 작아 보인다는 인상만으로 성공 확률을 판단해서도 안 됩니다.

3. 큐비트에서는 Bloch 벡터로 풀기

큐비트 상태를 $\rho_j=(I+r_j\cdot\sigma)/2$로 씁니다. $r_j$는 실수 벡터이고 $|r_j|\le1$이어야 합니다. 구 밖의 벡터를 길이 1로 보정해 입력 오류를 숨기지 마세요.

다음을 정의하면

$$t=2\pi-1,\qquad v=\pi r_0-(1-\pi)r_1,$$

차이 행렬과 고유값은

$$\Delta=\frac{tI+v\cdot\sigma}{2},\qquad \lambda_\pm=\frac{t\pm|v|}{2}$$

가 됩니다. 두 고유값의 절댓값을 더하면

$$\|\Delta\|_1=\max(|t|,|v|)$$

입니다. 따라서 경우를 나누어야 합니다.

조건	가능한 최적 규칙	해석
$	v	>
$t\ge	v	$,$t>0$
$t\le-	v	$,$t<0$
$t=0$, $v=0$	임의의 유효한 효과	어느 측정으로도 성공률 $1/2$를 개선하지 못함

경계 $|v|=|t|$에서는 영 고유공간 때문에 최적 효과에 자유도가 생깁니다. 계산기가 대표 효과 하나를 택할 수는 있지만, 그 선택이 수학적으로 유일하다고 말하면 안 됩니다.

또한 $v$는 판정 연산자의 계수입니다. $\Delta$에는 음의 고유값이 있을 수 있으므로, 이를 정규화된 물리 상태로 취급해 Bloch 상태 그림에 넣어서는 안 됩니다. 상태의 기하와 판정 연산자의 기하를 구별하세요.

4. 손으로 확인하는 비직교 상태 예제

사전확률을 각각 $1/2$로 놓고

$$|\psi_0\rangle=|0\rangle,\qquad |\psi_1\rangle=\frac35|0\rangle+\frac45|1\rangle$$

를 구별해봅시다. 두 번째 벡터의 노름은 1이고, 두 상태의 내적은 $3/5$입니다. 상태가 직교하지 않으므로 복사본 하나로 완벽하게 구별할 수는 없습니다.

밀도행렬과 가중 차이는

$$\rho_0=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad \rho_1=\begin{pmatrix}9/25&12/25\\12/25&16/25\end{pmatrix},\quad \Delta=\begin{pmatrix}8/25&-6/25\\-6/25&-8/25\end{pmatrix}$$

입니다. $\Delta$의 고유값은 $2/5,-2/5$이므로 trace norm은 $4/5$, 최적 성공 확률은 $9/10$입니다.

최적 효과 하나는

$$M_0=\begin{pmatrix}9/10&-3/10\\-3/10&1/10\end{pmatrix},\qquad M_1=I-M_0$$

입니다. 원소가 분수라고 해서 불완전한 사영인 것은 아닙니다. 직접 곱하면 $M_0^2=M_0$이고, trace는 1이며 고유값은 0과 1입니다.

실제 준비 상태	결과 0	결과 1
$\rho_0$	$9/10$	$1/10$
$\rho_1$	$1/10$	$9/10$

사전확률로 가중한 성공 확률은 $9/10$입니다. 반면 계산 기저로 측정하고 결과를 그대로 라벨로 해석하면

$$P_Z=\frac12\cdot1+\frac12\cdot\frac{16}{25}=\frac{41}{50}$$

에 그칩니다. 최적 측정은 이 특정 측정보다 $2/25$만큼, 아무 정보 없이 찍는 규칙보다 $2/5$만큼 개선됩니다. 어느 기준과 비교했는지를 명확히 말해야 합니다.

5. 서로 다른 상태인데도 측정의 이득이 없을 수 있다

이번에는 혼합 상태 $r_0=(0,0,1/5)$, $r_1=(0,0,-1/5)$와 사전확률 $\pi=9/10$을 사용합시다.

$$t=4/5,\quad v=(0,0,1/5),\quad \lambda_+=1/2,\quad\lambda_-=3/10.$$

고유값이 모두 양수입니다. 따라서 $M_0=I$, 즉 항상 라벨 0을 말하는 규칙이 최적이고 성공 확률은 $9/10$입니다. 상태가 다르다는 사실만으로 측정의 이득이 반드시 양수가 되는 것은 아닙니다.

$Z$를 측정하고 두 결과를 기계적으로 두 라벨에 대응시키면 성공 확률은 $3/5$가 됩니다. 그렇다고 측정 자체가 최적 성능을 반드시 떨어뜨린다는 뜻은 아닙니다. 결과를 무시하고 항상 0을 말하면 여전히 $9/10$을 얻습니다. 잘못 선택한 것은 측정 이후의 판정 규칙입니다.

사전확률을 $\pi=3/5$로 바꾸면 $\Delta=\operatorname{diag}(1/5,0)$입니다. $M_0=\operatorname{diag}(1,u)$에서 $0\le u\le1$인 모든 선택이 최적입니다. 이 경계 근처의 작은 비영 고유값을 허용오차로 0으로 바꾸면 서로 다른 판정 문제를 같은 문제로 오인할 수 있습니다.

6. Trace distance를 분류 성능으로 읽기

정규화된 두 상태의 trace distance는

$$D(\rho_0,\rho_1)=\frac12\|\rho_0-\rho_1\|_1$$

입니다. 동일한 사전확률일 때만

$$P_{\rm opt}=\frac{1+D(\rho_0,\rho_1)}2$$

로 바로 연결됩니다. 큐비트에서는 $D=|r_0-r_1|/2$입니다. 같은 상태의 거리는 0이고, 지지가 직교하는 상태의 거리는 1입니다. 서로 다른 사전확률을 사용한다면 반드시 가중 차이 $\Delta$로 돌아가야 합니다.

물리적 채널은 trace distance를 증가시키지 않습니다. 채널 이후의 POVM 효과 $M_j$를 원래 계로 가져오면 $\Phi^\dagger(M_j)$가 됩니다. CP·TP 채널의 수반은 양성을 보존하고 $\Phi^\dagger(I)=I$이므로 이것 역시 유효한 POVM입니다. 채널을 지난 뒤 가능한 판정을, 채널을 포함한 측정 장치로 원래 계에 수행할 수도 있다는 뜻입니다.

비직교 예제를 $Z$ 기저로 완전히 탈위상시키면 비대각 원소가 사라집니다. 남은 trace distance는 $16/25$이고, 최적 성공 확률은 $41/50$입니다. 앞의 coherent 측정이 이용했던 구별 가능성이 채널에 의해 줄어든 것입니다.

복소 위상의 중요성도 확인해봅시다. $|+i\rangle=(|0\rangle+i|1\rangle)/\sqrt2$와 $|-i\rangle$를 $Z$로 측정하면 동일한 분포가 나옵니다. 그러나 $Y$로 측정하면 완벽하게 구별됩니다. 특정 측정의 분포가 같다는 사실은 양자 상태 자체가 같다는 증명이 아닙니다.

7. Fidelity의 제곱 여부를 먼저 확인하기

이 교재에서는 제곱 Uhlmann fidelity를 사용합니다.

$$F_2(\rho,\sigma)=\left(\operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt\rho\,\sigma\sqrt\rho}\right)^2.$$

두 큐비트에 대해서는

$$F_2=\operatorname{Tr}(\rho\sigma)+2\sqrt{\det\rho\det\sigma} =\frac{1+r\cdot s+\sqrt{(1-|r|^2)(1-|s|^2)}}2$$

입니다. 순수 상태끼리는 내적 절댓값의 제곱입니다. Watrous §3.2는 제곱하지 않은 fidelity를 사용하므로, 문헌의 부등식을 가져올 때에는 관례를 변환해야 합니다.

이 교재의 기호로 Fuchs–van de Graaf 부등식을 쓰면

$$1-\sqrt{F_2}\le D\le\sqrt{1-F_2}$$

입니다. 예제에서는 $F_2=9/25$, 제곱근이 $3/5$, trace distance가 $4/5$입니다. 따라서 $2/5\le4/5\le4/5$가 됩니다. Fidelity는 유사도, trace distance는 구별 가능성에 해당하며, 일반적인 불균등 사전확률 문제의 성공 확률과 같지 않습니다.

원시 진폭을 사용했다면 먼저 $\rho=|\psi\rangle\langle\psi|/\langle\psi|\psi\rangle$로 상태를 정의해야 합니다. 0이 아닌 배수를 곱해도 물리적 상태와 위 거리들은 변하지 않습니다. 정규화 상태에 대한 식에 원시 진폭을 그대로 대입하지 마세요.

8. 성공 확률과 정보량을 구별하기

비직교 예제의 최적 이진 판정은 오류 확률 $1/10$인 대칭 고전 채널을 만듭니다. 이 특정 측정의 입출력 상호정보는

$$I(X:Y)=1-h_2(1/10)\approx0.5310044\text{ bits},$$ $$h_2(p)=-p\log_2p-(1-p)\log_2(1-p)$$

입니다. 성공 확률이 $0.9$라는 말은 $0.9$bit를 얻었다는 말이 아닙니다.

평균 입력 상태의 고유값은 $4/5,1/5$이고 엔트로피는 약 $0.7219281$bit입니다. 이 값과 라벨의 정보, 접근 가능한 정보, Holevo 상한의 관계에는 별도의 논증이 필요합니다. 성공 확률을 구했다고 해서 접근 가능한 정보의 최적화나 채널 용량까지 구한 것은 아닙니다.

9. 해설이 있는 연습

1. 같은 상태와 편향된 사전확률. $\rho_0=\rho_1$, $\pi=3/4$이면 최적 성능은 무엇일까요? 해설: $\Delta=(1/2)\rho_0$의 trace norm은 $1/2$입니다. 항상 0을 추측하면 $3/4$를 달성합니다. 상태가 같아서 사라지는 것은 측정 정보이지 사전 정보가 아닙니다.

2. 분수 원소를 가진 사영. 예제의 $M_0$을 제곱해보세요. 해설: 왼쪽 위 원소는 $81/100+9/100=9/10$, 비대각 원소는 $-27/100-3/100=-3/10$입니다. 나머지도 원래 행렬과 같아 $M_0^2=M_0$임을 확인합니다. 효과의 원소가 모두 0 또는 1이어야 사영이라는 생각은 기저에 의존하는 오해입니다.

3. 경계에서의 비유일성. 혼합 상태 예제에서 $\pi=3/5$를 대입하세요. 해설: $\Delta=\operatorname{diag}(1/5,0)$이므로 목적함수는 $M_0$의 첫 번째 대각 원소에만 의존합니다. 영 고유공간에서 판정을 어떻게 선택했는지와 최적 성능을 구분해야 합니다.

4. 위상을 놓치는 측정. 두 $Y$ 고유상태를 $Z$로 측정하면 어떤가요? 해설: 양쪽 분포가 $(1/2,1/2)$로 같습니다. 이는 그 측정의 한계이며, 최적 측정의 성공 확률은 여전히 1입니다.

5. 반올림 아래의 차이. $r_0=(0,0,1)$과 $r_1=(0,0,1-10^{-30})$를 동일 사전확률로 비교하세요. 해설: $D=1/(2\cdot10^{30})$이고, 성공 확률의 기준 대비 이득은 $1/(4\cdot10^{30})$입니다. 표시값이 둘 다 $0.5$로 보이더라도 정확한 양의 이득은 남아 있습니다. 표시값의 일치가 상태의 일치를 증명하지 않습니다.

6. 복사본 수를 바꾸면? 복사본 두 개의 최적 판별도 하나일 때와 같은가요? 해설: 후보가 $\rho_0^{\otimes2},\rho_1^{\otimes2}$로 바뀌고, 별도 제한이 없다면 결합 측정도 사용할 수 있습니다. 더 큰 행렬에 대한 문제를 다시 풀어야 합니다. 한 복사본의 수치 예제로 점근 오류 지수까지 주장할 수는 없습니다.

10. AI와 연구 문제로 연결하기

가중 차이 연산자는 이진 분류의 가능도 비교와 연결해서 생각할 수 있습니다. 다만 양자 문제에서는 관찰 가능한 특징을 측정의 물리 조건이 제한합니다. 사전확률·손실 함수·복사본 수·허용한 결합 측정을 바꾸면 다른 학습 과제가 됩니다.

유한한 큐비트 실험은 최적 효과, 실제 성공 확률, 편향된 사전확률의 경계를 검산하는 데 유용합니다. 다중 가설 판별, 참조계를 사용한 채널 판별, 적응적 측정, 여러 복사본의 점근 판별에는 추가적인 수학과 검증이 필요합니다. 작은 실험을 이 모든 문제의 해결로 확대하지 마세요.

다음 내용으로 넘어가기 전에, 내적이 $3/5$인 상태를 성공 확률 $9/10$으로 구별하면서도 완벽하게 구별할 수는 없는 이유를 설명해보세요. 그리고 그 성공 확률이 bit 단위의 정보량과 다른 이유를 자신의 말로 정리해보세요.