파동함수·L² 사영·완비성

1. 밀도 곡선은 점 확률의 목록과 다르다

연속 위치의 기술에서는 구간에 확률을 배정한다. 어떤 좌표의 밀도가 높다는 것은 그 점 하나의 확률이 크다는 뜻이 아니다. 폭이 매우 좁은 구간이 거의 모든 확률을 담아도 성긴 그림의 샘플은 대부분0일 수 있다.

이 단원은 정확히 적분할 수 있는 함수를 사용해 상태, 그림의 샘플, 구간 확률, 유한 기저 근사를 구분한다. 그림을 촘촘하게 그리는 것과 적분 정확도를 높이는 것을 혼동하지 않고 근사를 살펴보려는 것이다.

2. 공간과 동치 관계를 지정하기

물리 길이가 L인 유한 구간에서 복소 Hilbert 공간 L²([0,L],dx)를 사용한다. 그 원소는 거의 모든 곳에서 같은 가측 함수들을 묶은 동치류다. 한 점의 값을 임의로 다르게 정했다는 이유로 서로 다른 원소가 되지 않는다.

$$\mathcal H=L^2([0,L],dx),\qquad \langle\psi,\phi\rangle=\int_0^L\overline{\psi(x)}\phi(x)\,dx,\qquad \|\psi\|_2^2=\int_0^L|\psi(x)|^2\,dx.$$

유한 차원 단원과 같이 첫 인자에는 켤레 선형성을 쓴다. 영이 아닌 원소를 정규화하면 순수 상태를 나타낼 수 있다. L²에는 점프를 가진 함수도 들어 있다. 이 공간에 속한다는 사실만으로 Hamiltonian, 경계조건, 유한한 운동에너지 기댓값을 지정하지는 않는다. 수학적 배경은 MIT 함수해석 강의 노트를 참고한다. 이 수학 노트는 첫 인자를 선형으로 두지만, 여기서는 첫 인자에 켤레를 취하는 물리 약속을 유지한다. norm과 완비성은 그에 맞게 표기를 바꾸어도 같다.

3. 물리적 적분 측도로 정규화하기

u=x/L로 두고 무차원 복소 구간별 affine 준비 g(u)를 고른다. 지정한 분할점 좌우에서 상수와 기울기를 각각 다르게 둘 수 있다. 무차원 norm의 제곱을 Z라고 하자.

$$Z=\int_0^1|g(u)|^2\,du>0,\qquad \psi(x)=\frac{g(x/L)}{\sqrt{LZ}},\qquad \int_0^L|\psi(x)|^2dx=1.$$

L은 dx=Ldu에서 나온다. x가 길이 단위라면 ψ는 길이의−1/2승 단위이고 |ψ|²는 길이의 역수 단위다. 정규화에서 L을 빼면 물리적인 확률이 틀린다. norm이0인 준비는 거부하며 작은 인공 분모로 나누어 새 상태를 만들지 않는다.

4. 샘플을 그리기 전에 bin을 적분하기

각 구간에서 |g|²는 실수 이차 다항식이다. 분할점이 bin 안에 있어도 이 다항식을 정확히 적분해 bin 확률을 얻는다. 생산 계산은 관련된 두 부분 구간을 적분하고 질량을 더한다.

g가[0,1/2)에서1이고 나머지에서0이면 Z=1/2다. 정규화한 밀도는[0,L/2)에서2/L이고 나머지에서0이다. 왼쪽 절반의 확률은1이다. 지지가 u=10⁻⁶까지만 이어진다면 그곳 밀도는10⁶/L이다. u=0,1/8,…,1만 찍으면 거의 모든 폭을 놓치지만 정확한 bin 적분은 첫 bin에 질량1을 배정한다. 샘플 수는 표시를 바꾸며 정규화나 적분을 바꾸지 않는다.

5. 완비성은 norm 극한에 관한 조건이다

Cauchy 조건은 수열의 충분히 뒤쪽 항들 사이의 차이를 제한한다.

$$\forall\varepsilon>0\;\exists N\;\forall m,n\ge N:\quad\|\psi_m-\psi_n\|_2<\varepsilon.$$

완비성은 이런 수열의 L² 극한이 공간 안에 존재한다는 뜻이다. 모든 점의 함수값 수렴이나 균등 수렴을 요구하지 않는다. 따라서 수렴을 논하기 전에 norm과 그 norm에서의 동치 관계를 정해야 한다.

무한 정규직교 Hilbert 기저에서는 norm으로 수렴하는 급수로 원소를 나타낸다. 유한 선형 결합을 사용하는 Hamel 기저와 구분하자. 유한 계수 배열은 부분공간 근사이며 무한 차원 Hilbert 공간의 정의를 대신하지 않는다.

6. 구체적인 직교 다항식 가족 만들기

shifted Legendre 다항식 P̃n(u)=Pn(2u−1)을 사용한다. P̃₀=1,P̃₁=2u−1에서 시작해 점화식으로 다음 다항식을 만든다.

$$(n+1)\widetilde P_{n+1}=(2n+1)(2u-1)\widetilde P_n-n\widetilde P_{n-1},\qquad \int_0^1\widetilde P_m\widetilde P_n\,du=\frac{\delta_{mn}}{2n+1}.$$

오른쪽 norm은1이 아니다. 이 인자를 잊으면 계수와 포착 확률이 달라진다. 정규화 약속은 NIST 직교 다항식 정의를 기준으로 확인한다. 생산 계산의 점화식과 독립 참조의 이항 계수 전개는 같은 다항식을 만드는 서로 다른 방법이다.

7. 원시 전개 계수와 정규직교 좌표 구분하기

g에서 P̃n에 곱해지는 원시 계수를 aₙ이라고 하자. 물리적인 정규직교 기저에는 다항식 norm과 물리 길이 인자가 모두 들어간다.

$$a_n=(2n+1)\int_0^1\widetilde P_n(u)g(u)\,du,\qquad e_n(x)=\sqrt{\frac{2n+1}{L}}\widetilde P_n(x/L),\qquad c_n=\langle e_n,\psi\rangle=\frac{a_n}{\sqrt{(2n+1)Z}}.$$

aₙ은 복소수일 수 있다. 정규직교 좌표에 대응하는 확률 무게는 |aₙ|²가 아니라 |cₙ|²다. 같은 g에서 L만 바꾸면 이 무차원 계수 무게는 같다. 반면 물리적인 파동함수와 공간 밀도의 크기는 바뀐다.

8. 직교 사영은 포착한 norm을 유지한다

ψ를0차부터N차까지의 부분공간으로 사영하자. 잔차가 그 부분공간에 수직이므로 Pythagoras 항등식을 얻는다.

$$\Pi_N\psi=\sum_{n=0}^Nc_ne_n,\qquad C_N=\|\Pi_N\psi\|_2^2=\sum_{n=0}^N|c_n|^2,\qquad \|\psi-\Pi_N\psi\|_2^2=1-C_N.$$

포착 질량은0 이상1 이하이며 차수를 높일 때 감소하지 않는다. 따라서 L² 오차 제곱은 증가하지 않는다. 계산은 오차를 뺄셈으로 정의하기만 하지 않고 |g−gN|²를 직접 적분해 두 식을 정확하게 비교한다. 이 성질이 그림의 모든 좌표에서 점별 오차도 줄어든다는 뜻은 아니다.

9. 재정규화는 별도의 근사다

잘린 사영의 norm은 일반적으로1보다 작다. 그 적분이 포착 질량이라는 것은 잘못된 계산이어서 몰래 고쳐야 한다는 뜻이 아니다. norm이1인 근사 상태가 필요하면 이를 명시적으로 정규화하고 결과를 따로 이름 붙인다.

$$\widehat\psi_N=\frac{\Pi_N\psi}{\sqrt{C_N}}\quad(C_N>0),\qquad |\langle\psi,\widehat\psi_N\rangle|^2=C_N.$$

정규화한 근사의 bin 확률 합은1이지만, 정규화하지 않은 사영의 bin 질량 합은 Cₙ이다. Cₙ=0이면 정규화한 근사와 그 fidelity는 미제공이다. 모든 확률을0으로 반환하거나 임의의 상태를 고르면 선택한 부분공간이 아무 성분도 포착하지 않았다는 사실을 숨긴다.

10. 불연속이지만 정규화 가능한 상태 계산하기

왼쪽 절반의 계단 함수 g에서는 처음 계수를 간단하게 계산할 수 있다.

$$a_0=\frac12,\qquad a_1=-\frac34,\qquad a_2=0,\qquad a_3=\frac7{16},\qquad Z=\frac12.$$

홀수 계수가 불연속을 담으며0차보다 높은 짝수 계수는 대칭성 때문에 사라진다. 아래 값은 수치 적분 추정이 아니라 정확한 값이다.

최대 차수 N	포착 질량 Cₙ	L² 사영 오차 제곱	사영 재정규화 가능?
0	1/2	1/2	예
1	7/8	1/8	예
2	7/8	1/8	예
3	119/128	9/128	예

N=0의 물리적 사영 파동함수는1/√(2L)이고 norm의 제곱은1/2다. 재정규화하면 균등 파동함수1/√L이 된다. 두 근사는 구간 질량도 서로 다르며 어느 쪽도 원래 계단 상태와 같지 않다.

11. 점별 모양과 확률 측도는 다르다

선택한 대표에서는 g(1/2)=0이다. 그러나 이 계단 함수의 모든 유한 Legendre 사영은 u=1/2에서1/2다. 홀수 다항식은 그 점에서0이고 높은 짝수 계수는0이기 때문이다. 한 점에서 계속 남는 이 오차는 L² 수렴과 양립한다. 그 점의 g값을 바꾸어도 적분과 L² 상태는 바뀌지 않는다.

길이를 바꾸면 또 다른 비교를 할 수 있다.

물리 길이	왼쪽 절반의 목표 밀도	왼쪽 절반 확률	같은 무차원 계수 무게?
1 길이 단위	길이 단위당2	1	예
2 길이 단위	길이 단위당1	1	예
3 길이 단위	길이 단위당2/3	1	예

밀도는 길이에 반비례하지만 확률은 무차원으로 유지된다. 밀도가1보다 크다고 확률 범위를 위반하지 않는다. 정규화된 상태에서0과1 사이여야 하는 것은 지정한 가측 집합에 대해 적분한 확률이다.

12. 정규화만으로 연산자 정의역을 결론 내리지 않기

정의역이 진부분공간인 비유계 연산자에서는 Hilbert 공간에 속한다고 그 정의역에도 속하는 것은 아니다.

$$D(H)\subsetneq\mathcal H,\qquad \psi\in\mathcal H\;\not\Rightarrow\;\psi\in D(H).$$

예를 들어 유한 구간의 정규화한 상수 함수는 L² 상태지만 Dirichlet Laplacian 연산자 정의역의 양 끝점 조건을 만족하지 않는다. 그렇다고 영 상태가 되거나 Hilbert 벡터로서 무효인 것은 아니다. 연산자를 작용시킬 수 있는지, 강한 미분이 존재하는지, 에너지 기댓값이 유한한지는 추가 가정에 달려 있다.

이번 실험은 Hamiltonian이나 벽 경계조건을 지정하지 않는다. 델타 정규화한 위치 표지나 전체 실수축의 평면파도 보통의 정규화 가능한 L² 벡터와 구분한다. 일반화 상태의 기술은 스펙트럼·정의역을 다룰 때 이어간다.

13. 여섯 가지 풀이로 확인하기

1. 계단 함수를 정규화하라. g가[0,1/2)에서1이면 Z=1/2다. 따라서 ψ는[0,L/2)에서√(2/L)이고 밀도를 적분하면1이다. 분할점 하나의 값은 이 결과를 바꾸지 않는다.

2. 길이를3으로 바꾸어라. 밀도는2/3이고 지지의 길이는3/2가 되어 곱은1이다. u=x/L과 올바른 측도로 계산한 계수 확률·사영 오차는 그대로다.

3. 0차와1차를 남겨라. 원시 계수 질량은1/4과3/16으로 합은7/16이다. Z=1/2로 나누면 C₁=7/8이고 오차 제곱은1/8이다. 잔차를 직접 적분해도 같다.

4. 영 사영을 찾아라. g가 왼쪽 절반에서1, 오른쪽에서−1이면 적분은0이고 Z=1이다. 상수 부분공간으로의 사영은 정확히0이며 오차 제곱은1이다. 이 사영으로 정규화된 상수 근사를 정의할 수 없다.

5. 끝점 하나의 값을 바꾸어라. 거의 모든 곳에서 g=1이지만 u=1에서999를 배정하자. 모든 계수와 구간 확률은 그대로다. 화면의 끝점 표식은 달라져도 L² 상태는 같다.

6. g=1+iu를 전개하라. Z=4/3,a₀=1+i/2,a₁=i/2다. 0차 포착량은(5/4)/(4/3)=15/16이므로 오차 제곱은1/16이다. 1차까지 남기면 affine 함수를 정확히 재구성한다. 계수 무게에는 다항식 norm 인자1/(2n+1)이 필요하다.

14. 전체 기저의 완비성과 남은 연구

완비성의 근거는 유한 계산의 관측이 아니라 수학적 논증이다. 연속 함수는 콤팩트 구간의 L²에서 조밀하다. 연속 함수는 다항식으로 균등 근사할 수 있고 Legendre 다항식은 각 유한 차수의 다항식 공간을 생성한다. 두 근사를 결합하면 다음을 얻는다.

$$\|\psi-p\|_2\le\|\psi-f\|_2+\sqrt L\,\|f-p\|_\infty<\varepsilon,$$

여기서 연속 함수 f와 다항식 p는 원하는 허용 오차에 맞추어 고른다. 따라서 닫힌 생성 공간은 L²다. 이 norm 극한의 주장이 모든 점에서의 수렴·미분 가능성·유한 에너지를 보장하지는 않는다.

연구나 AI 근사를 비교할 때는 측도·정규화·부분공간·포착 질량·오차 norm을 먼저 명시하자. 유한 모드 절단, 신경망 표현, 샘플 격자 표시는 서로 다른 근사 선택이다. 일반 함수 공간·비유계 연산자·스펙트럼 측도·rigged Hilbert 공간·정량적 근사율도 후속 범위다. 이번 유한 실험이 그 전체 연구 범위의 완료를 뜻하지는 않는다.