암묵함수·역함수 정리

식으로 주어진 곡선에서 함수 찾기

x²+y²=1은 원을 정의하지만 전체 원을 하나의 y=f(x)로 표현할 수는 없습니다. 같은 x에 두 y가 대응할 수 있기 때문입니다. 점 (0.6,0.8) 근처에서는 양의 가지 y=√(1−x²)를 미분 가능한 함수로 쓸 수 있습니다.

F가 충분히 연속 미분 가능하고 F(x₀,y₀)=0,F_y(x₀,y₀)≠0이면 근처에서 유일한 미분 가능 y(x)를 얻습니다. 이는 국소 정리입니다. 원 전체에서 가지 하나가 존재한다거나 해가 전역 유일하다고 주장하지 않습니다.

암묵 미분의 도출

F(x,y(x))=0을 연쇄법칙으로 미분하면 Fₓ+Fᵧy′=0입니다.

기준점에서는 −0.6/0.8=−0.75입니다. x=1,y=0에서는 분모가 0이므로 정리를 쓸 수 없고 양의 가지의 유한 도함수도 없습니다. 그림은 이 수직 접선을 0 기울기로 바꾸지 않습니다.

여러 종속 변수 y에서 Fᵧ는 정방 Jacobian이고 조건은 가역성입니다. 도함수는 −(Fᵧ)⁻¹Fₓ입니다. 실제 계산에서는 역행렬을 명시적으로 만드는 대신 선형계를 푸는 것이 적절할 수 있습니다.

역함수 정리는 충분조건을 준다

C¹ 사상 f:Rⁿ→Rⁿ의 Jacobian이 한 점에서 가역이면 근처에서 C¹ 역함수가 있고

이 조건은 미분 가능한 국소 역에 대한 충분조건입니다. 단순히 역함수가 존재하는 데 필요한 조건이라고 뒤집으면 틀립니다. 스칼라 f(x)=x³은 전역 일대일이고 실수 세제곱근 역을 갖지만 f′(0)=0입니다. 역함수는 원점에서 유한 도함수가 없습니다.

특이점에서 무엇이 실패하는가

원의 끝점은 x의 함수로 쓰는 정칙성이 실패하지만, 해당 점에서 x를 y의 함수로 쓰는 것은 가능합니다. 어느 변수를 종속으로 선택하는지에 따라 Jacobian 블록이 달라집니다. 원래 곡선 자체가 사라졌다는 뜻이 아닙니다.

정리의 가정 실패는 결론의 자동 부정과 다릅니다. 정칙 조건이 없으면 해당 정리가 보장하지 못한다는 뜻이며 실제 존재 여부는 별도 분석해야 합니다.

AI 연결과 수치 검산

최적화 문제의 정지 조건 G(θ,z)=0에서 θ를 해로 두고 데이터 z에 대한 민감도를 계산하는 암묵 미분에 이 원리가 쓰입니다. 해의 존재·선택·Jacobian 가역성·안정성을 확인해야 합니다. 신경망의 반복 실행을 길게 펼쳐 미분하는 방식과 암묵 함수 미분은 필요한 조건과 계산 방식이 다릅니다.

실습의 모드 0은 양의 원 가지, 모드 1은 세제곱과 역함수입니다. 두 축의 단위 길이는 같습니다. 도함수가 —인 경우를 함수값 부재와 구분하세요.

확인 문제와 답

1. (0,1)에서 원의 y′는? 0입니다.
2. x³의 x=1에서 역함수 도함수는? 1/3입니다.
3. 가역 Jacobian이면 전역 역함수가 보장되나요? 국소 역만 보장됩니다.

추가 읽기: MIT 공식 강좌 안내. 강좌 범위를 확인해 보충 자료로 연결하며, 아래의 작은 예제와 논증은 직접 구성했습니다.