주파수 응답·위상·전력 공진

무엇의 공진인지 먼저 묻는다

‘공진 주파수’라는 표현은 관측량을 지정해야 완전해진다. 변위 진폭의 최댓값, 자유 감쇠 운동의 진동수, 흡수 전력의 최댓값은 일반적으로 서로 다른 주파수에서 나타난다. 센서를 식별하거나 필터를 설계하고 학습한 물리 모델을 검증할 때 중요한 차이다.

$m\ddot x+c\dot x+kx=F_0\cos(\Omega t)$에서 $m,k>0$, $c\ge0$, $F_0\ge0$를 가정한다. 앞의 과도 응답 단원을 먼저 읽자. 주기 특수해는 힘을 켠 직후의 임의 초기 운동을 곧바로 설명하지 않는다. 여기의 주파수 곡선은 힘 진폭을 유지하면서 구동 주파수를 바꾼 여러 실험을 비교한다.

각주파수와 물리 단위를 표시한다

질량은 kg, 감쇠계수는 N s/m, 강성은 N/m, 힘은 N, 변위는 m, 각주파수는 rad/s다. 초당 진동 횟수인 주파수는 $f=\Omega/(2\pi)$다. 대역폭도 rad/s에서 Hz로 바꾸려면 $2\pi$로 나눠야 한다.

주파수를 훑는 동안 힘 진폭을 고정한다. 대신 변위·가속도·공급 전력을 고정하면 다른 실험이며 응답 곡선도 달라질 수 있다. 여기서는 점성 감쇠와 이상적인 힘 공급원을 가정한다. 구동 장치의 출력 한계와 비선형 포화는 포함하지 않는다.

복소 감수율을 유도한다

$e^{+i\Omega t}$의 실수부를 물리량으로 사용한다. $x_p=\operatorname{Re}(F_0\chi e^{i\Omega t})$를 대입하면

$$\chi(\Omega)=\frac{1}{k-m\Omega^2+ic\Omega} =\frac{k-m\Omega^2-ic\Omega}{D},\qquad D=(k-m\Omega^2)^2+c^2\Omega^2$$

이다. 감수율의 단위는 m/N이고, 이 복소 지수 관례에서는 허수부가 양수가 아니다. $e^{-i\Omega t}$를 사용하면 복소 표현이 켤레로 바뀐다. 모든 부호를 일관되게 바꾸면 실제 운동과 양의 위상 지연은 달라지지 않는다.

이득과 위상은 서로 다른 정보를 준다

전달함수가 특이하지 않을 때

$$G=|\chi|=D^{-1/2},\qquad A=F_0G,\qquad \phi=\operatorname{atan2}(c\Omega,k-m\Omega^2),\qquad x_p=A\cos(\Omega t-\phi)$$

이다. 고유 각주파수보다 느리게 구동하면 용수철 항의 영향이 커서 변위가 힘을 대체로 따라간다. 훨씬 빠르게 구동하면 관성이 지배하고 이득은 $1/(m\Omega^2)$처럼 작아지며 변위는 힘과 거의 반대 위상이다. $c>0$, $\Omega=\omega_0=\sqrt{k/m}$에서는 위상 지연이 $\pi/2$다.

$F_0=0$이면 위상을 측정할 구동 변위가 없다. 그렇더라도 계 자체의 전달함수는 정의할 수 있다. 따라서 모델은 내재적 전달 위상과 실제 응답의 측정 위상을 구분하고, 영입력과 DC에서는 후자를 미정으로 둔다. DC의 내재적 값은 전달 위상의 극한을 뜻한다.

변위 진폭의 최댓값을 찾는다

0이 아닌 힘 진폭을 고정하면 $A$의 최대화는 $D$의 최소화다. 미분하면

$$\frac{dD}{d\Omega}=2\Omega\left(2m^2\Omega^2+c^2-2mk\right)$$

이다. $c>0$일 때 양의 내부 주파수에서 최댓값을 가지는 조건과 위치는

$$c^2<2mk,\qquad \Omega_x=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{c^2}{2m^2}}$$

이다. 경계 $c^2=2mk$부터는 음이 아닌 주파수 전체의 최댓값이 DC에 있다. 부족감쇠 조건 $c^2<4mk$와 다르다. 자유 운동은 진동하면서도 변위 주파수 곡선에는 양의 내부 봉우리가 없는 구간이 존재한다.

$c=0$이면 $\omega_0$에서 전달함수가 특이하다. 이를 유한한 진폭 최댓값이라고 부르면 유계 주기 응답이 없다는 사실을 감추게 된다.

실수 힘과 실수 속도로 전력을 계산한다

속도는 $v_p=A\Omega\sin(\phi-\Omega t)$다. 실제 힘과 곱한 뒤 $\Omega>0$에서 한 주기 $T=2\pi/\Omega$에 대해 평균하면

$$\langle P\rangle=\frac{1}{T}\int_0^T F_0\cos(\Omega t)v_p(t)\,dt =\frac{F_0A\Omega}{2}\sin\phi =\frac{F_0^2c\Omega^2}{2D}$$

를 얻는다. 계수 $1/2$는 정현파 곱의 평균에서 나온다. 복소 신호 두 개를 실수부·켤레 규칙 없이 곱하면 부호나 이 계수를 틀릴 수 있다. 따로 계산한 평균 열 발생률은 $c\langle v_p^2\rangle=cA^2\Omega^2/2$이므로 평균 입력 전력과 같다.

전력은 왜 고유 각주파수에서 최대인가

$c>0$, $F_0>0$, $\Omega>0$일 때 평균 전력을 다음처럼 바꿔 쓴다.

$$\langle P\rangle=\frac{F_0^2c}{2\{(k/\Omega-m\Omega)^2+c^2\}}.$$

분모의 제곱 항은 $\Omega=\omega_0$에서 0이다. 따라서 최대 전력은 $F_0^2/(2c)$ W다. 속도 진폭 역시 이 주파수에서 최대다. 이 결론은 강한 감쇠를 포함해 주어진 힘 구동 선형 모델에서 정확하지만, 변위 최대 주파수의 식은 아니다.

이 주파수에서는 속도가 힘과 같은 위상이다. 변위만 크다고 에너지 전달도 큰 것은 아니다. 속도의 크기와 힘에 대한 타이밍이 함께 중요하다.

정확한 반전력 주파수를 유도한다

최대 전력의 절반이 되려면 $|k/\Omega-m\Omega|=c$여야 한다. 양의 두 근은

$$\Omega_- =\frac{\sqrt{c^2+4mk}-c}{2m},\qquad \Omega_+ =\frac{\sqrt{c^2+4mk}+c}{2m}$$

이다. 따라서 폭 $\Delta\Omega=\Omega_+-\Omega_-=c/m$은 정확하다. 두 근의 곱은 $k/m=\omega_0^2$이므로 고유 각주파수는 기하평균이다. 산술평균은 일반적으로 $\omega_0$보다 크다. 선형 주파수 축에서 두 반전력 주파수가 고유 각주파수를 중심으로 대칭인 것은 아니다.

구현에서는 가까운 수의 뺄셈을 피하려고 낮은 근을 $2k/(\sqrt{c^2+4mk}+c)$로 계산한다. 이 폭은 힘 진폭을 고정한 전력 곡선의 반전력 폭이다. 모든 변위 관측량이나 전달함수에 그대로 적용할 수 있는 일반 공식이 아니다.

품질계수와 주기당 에너지

$c>0$에서 $Q=m\omega_0/c=\omega_0/\Delta\Omega$로 정의한다. 강한 감쇠로 변위의 내부 봉우리가 없어져도 이 매개변수는 정의된다. 감쇠가 0이면 모델은 무한대를 수치로 직렬화하는 대신 유한한 품질계수가 없음을 표시한다.

$\Omega>0$에서 평균 역학적 에너지와 주기당 열은

$$\langle E\rangle=\frac{m\Omega^2+k}{4}A^2, \qquad E_{\rm heat,cycle}=\frac{2\pi}{\Omega}\langle P\rangle$$

이다. 공진에서는 $2\pi\langle E\rangle/E_{\rm heat,cycle}=Q$다. 공진이 아닌 곳에서는 이 에너지 비율이 일반적으로 다른 값을 가진다. 특정 구동 주파수에서만 성립하는 항등식을 모든 주파수의 정의처럼 사용하지 말자.

DC·무감쇠·영입력을 다르게 표시한다

$\Omega=0$의 특수해는 정적 변위 $F_0/k$다. 유한한 주기가 없으므로 주기·주기당 열·주기 평균 저장 에너지는 미정으로 둔다. 실제 정적 에너지는 $F_0^2/(2k)$다. 정현파 제곱의 평균 계수 $1/2$를 그대로 쓰면 DC 값을 틀리게 된다. 점근적 전력은 0이다.

$c=0$이고 공진을 벗어나면 주기 특수해가 존재하며 평균 입력 전력은 0이지만, 초기 자유 운동은 사라지지 않는다. 정확한 공진에서 힘이 0이 아니면 유계 주기 응답이 없다. 힘도 0이면 구동 진폭은 0이지만 계의 전달함수는 여전히 특이하다. 이 영입력 실험에서도 초기조건에 의한 자유 진동은 남을 수 있다. 주기 미리보기에서는 내재적 이득을 유한하다고 정하지 않고도 영 특수해를 선택할 수 있다. 영입력에서는 모든 주파수의 전력이0이므로 구별되는 반전력 폭은 미정이다. 양의 감쇠에서 내재적 품질계수 매개변수는 여전히 정의된다.

계산 예제: 서로 다른 세 주파수

SI 단위에서 $m=k=c=F_0=1$이라 하자. 고유 각주파수와 전력 최대 주파수는 1 rad/s다. 자유 감쇠 주파수는 $\sqrt3/2\approx0.866$ rad/s, 변위 최대 주파수는 $1/\sqrt2\approx0.707$ rad/s다.

변위 최대점에서는 $A=2/\sqrt3\approx1.155$ m이고 평균 전력은 $1/3$ W다. 전력 최대점에서는 $A=1$ m, 평균 전력은 $1/2$ W다. 변위가 더 작아도 평균 에너지 전달은 더 클 수 있다. 반전력 주파수는 $(\sqrt5-1)/2\approx0.618$, $(\sqrt5+1)/2\approx1.618$ rad/s이며 폭은 1 rad/s다.

계산 예제: 진동하며 감쇠하지만 변위 봉우리는 없다

SI 단위에서 $m=1$, $k=2$, $c=2$, $F_0=1$로 두자. $c^2=4<4mk=8$이므로 동차 운동은 부족감쇠이며 $\omega_d=1$ rad/s다. 그러나 $c^2=2mk$여서 변위 이득은 DC에서 최대이며 양의 내부 봉우리가 없다. 전력 곡선은 여전히 $\sqrt2$ rad/s에서 최대다.

이 예제는 질량을 놓은 뒤의 운동에 관한 명제와, 서로 다른 주파수로 구동한 여러 실험의 비교에 관한 명제를 구분해 준다.

주파수 응답 시각화를 설계한다

인터랙티브 화면은 가로축을 공유하는 이득 패널과 평균 전력 패널을 제공한다. 변위와 전력 비교 예제를 선택하고 봉우리 표식을 표와 대조해 보자. $\omega_d$, 존재할 때의 $\Omega_x$, $\omega_0$, 반전력 주파수 두 개를 표시한다. 존재하지 않는 표식을 0으로 옮기는 대신 미정 사유를 글로 보여 준다. 위상 패널에는 rad 단위와 복소 지수 관례를 표시한다.

선택 주파수는 이 실험군 중 하나다. 주파수 사이를 연결한 곡선은 질량 하나의 시간 궤적이 아니다. 시작 과정을 설명할 때에는 실제 시간 응답을 함께 제시한다. 기존 홈페이지의 색상을 유지하되 곡선은 색뿐 아니라 이름으로도 구분한다.

해설이 있는 연습문제 여섯 개

1. 관측량 선택: $m=k=c=1$에서 변위가 최대인 주파수는? 해설: $1/\sqrt2$ rad/s다. 1 rad/s는 평균 흡수 전력을 최대화한다.
2. 위상 사분면: $m=k=c=1$, $\Omega=2$에서 $\chi$를 계산하라. 해설: $\chi=(-3-2i)/13$ m/N이다. 지연은 $\operatorname{atan2}(2,-3)>\pi/2$다. 음의 일인자 역탄젠트 값은 잘못된 사분면을 고른다.
3. 대역폭 환산: $c/m=1$ s⁻¹이면 반전력 폭은 몇 Hz인가? 해설: $1/(2\pi)\approx0.159$ Hz다. 1 rad/s를 1 Hz라고 쓰면 안 된다.
4. 반전력 검사: $m=k=c=F_0=1$에서 정확한 반전력 근의 전력은? 해설: 최대 $1/2$ W의 절반인 $1/4$ W다. 두 주파수의 차는 1 rad/s, 곱은 1 (rad/s)²다.
5. DC 에너지: $F_0=k=1$일 때 정적 저장 에너지는? 해설: $1/2$ J다. $kA^2/4$는 주파수가 0이 아닌 정현파의 평균식이므로 여기 쓰면 $1/4$ J라는 잘못된 값을 얻는다.
6. 힘이 0인 경우: 측정 구동 진폭이 0이면 내재적 이득도 0인가? 해설: 아니다. 유한한 이득에 0인 힘을 곱해 진폭이 0일 수 있고, 초기조건의 자유 운동은 남을 수 있다. 무감쇠 공진에서는 입력이 0이어도 전달함수는 특이하다.

시스템 식별과 학습 동역학으로 연결한다

시스템 식별에서는 통제한 입력과 측정한 출력을 기록한다. 변위 봉우리만 학습한 신경망은 감쇠와 관측 배율을 혼동하거나 전력 예측에 필요한 위상을 놓칠 수 있다. 복소 응답, 유한 시간 시작 과정, 에너지 전달을 각각 검증하자.

독립 기준값은 SciPy 수치 적분으로 실수 힘과 실수 속도의 곱을 평균하고, 따로 평균한 소산과 비교한다. 해석적 최대점 항등식·극한·초기값 검사도 수치 일치와 함께 사용한다. 진동자 벤치마크를 통과했다고 비선형·결합·잡음 계의 성능까지 입증되는 것은 아니다.

참고 자료와 다음 주제

조건부 변위 최대점은 MIT 18.03SC 주파수 응답, 1–2쪽을 따른다. 실수 전력 평균과 반전력 폭은 MIT 8.03SC 교재 2장 2.2–2.3절을 참고한다. 복소 지수 관례는 위에서 명시했다. 다음 주제는 결합 진동과 정상모드다. 여러 좌표와 각 모드의 참여가 하나의 응답 채널을 대신한다.