이 단원 목차
입력의 결합 법칙과 측정 함수를 명시하기
불확실성 전파는 입력 물리량의 불확실성이 정의한 출력 물리량에 어떻게 전달되는지 묻습니다. 답은 측정 함수뿐 아니라 입력들의 의존성을 포함한 결합 법칙에 달려 있습니다. 두 주변 표준편차만 아는 것으로는 일반적으로 충분하지 않습니다.
이 단원에서는 cm 단위의 부호 있는 길이 좌표 X,Z가 공동 가우스 법칙을 따른다고 가정합니다. 평균은 μ_X, μ_Z, 표준불확실성은 u_X, u_Z, 공분산은 c입니다. 음수도 허용하는 모형입니다. 곱은 면적 단위를 가진 대수적 부호 있는 양이며 실제 직사각형의 양의 넓이라고 자동 해석하지 않습니다. 측정 함수는 합, 차, 곱 가운데 선택합니다.
경계에서도 유효한 공분산 구성하기
U,V를 독립 표준 가우스 변수로 두고 다음과 같이 입력을 구성할 수 있습니다.
공분산은 c=ρu_Xu_Z입니다. 이 구성은 특이한 경우까지 양의 준정부호 공분산을 만듭니다. 기하적 기준 곡선을 그리기 위해 표준불확실성으로 나눌 필요가 없으므로 0인 경우도 처리할 수 있습니다.
두 표준불확실성이 모두 양수일 때 ρ는 Pearson 상관과 같습니다. 하나라도 0이면 Pearson 상관은 정의되지 않습니다. 잠재 결합 계수 조작값은 구성법을 지정하지만 화면의 관측 상관은 미정으로 표시합니다. 임의로 상관 0이라고 보고하지 않습니다. 두 불확실성이 모두 0이면 공분산 rank는 0, 하나의 불확실 방향만 있으면 1, 비특이 공분산이면 2입니다.
합과 차의 분산을 직접 전개하기
입력에서 평균을 뺀 뒤 합과 차의 제곱을 전개하면 교차 항의 부호가 달라집니다.
이 두 항등식에는 유한한 이차 모멘트가 필요하며 선형 함수에 대해 정확합니다. Taylor 근사를 사용하지 않습니다. 가우스 가정은 실습의 나머지 결합 법칙을 지정하지만 이 두 분산 항등식 자체에 꼭 필요한 조건은 아닙니다.
평균을 2와 3, 표준불확실성을 1과 1, ρ를 1로 두세요. 합의 평균은 5이고 분산은 4입니다. 차는 항상 −1이며 분산은 0입니다. 입력 각각은 불확실해도 완전히 공유된 성분은 차에서 상쇄됩니다. 정확한 상쇄에는 동일한 진폭과 완전한 공유라는 조건이 필요합니다. 거의 같은 오차가 항상 완전히 없어지는 것은 아닙니다.
곱에서 일차 근사가 들어오는 위치
곱 함수 f(X,Z)=XZ의 입력 평균에서 구한 기울기는 (μ_Z, μ_X)입니다. 일차 분산은 다음과 같습니다.
이는 선형화한 측정 함수를 통한 전파입니다. 실제 함수가 선형이면 정확하지만 곱에서는 정확하지 않을 수 있습니다. 평균이 둘 다 0이면 두 민감도가 0이므로 일차 결과도 0입니다. 그러나 실제 입력에는 상당한 불확실성이 남아 있을 수 있습니다. 한 점의 기울기가 0이라고 비선형 출력이 상수임을 증명하지는 않습니다.
곱의 평균 보정을 유도하기
평균을 뺀 입력을 ξ, ζ라고 쓰고 곱을 전개합니다.
따라서 평균 입력을 함수에 대입한 값은 출력 평균 자체를 놓칠 수도 있습니다. 이 예제에서는 양의 공분산이 양의 보정을, 음의 공분산이 음의 보정을 줍니다. 이 평균식은 공분산의 정의와 유한한 이차 모멘트에서 나오며 가우스에만 성립하는 정리가 아닙니다.
실습은 정확 모형의 출력 평균과 일차 평균을 나란히 보여줍니다. 입력 평균을 고정하고 ρ만 바꾸어도 출력 평균이 움직일 수 있습니다. 주변 요약만으로 출력의 성질을 정할 수 없다는 점을 다시 확인할 수 있습니다.
공동 가우스에서 빠진 분산 항 유도하기
중심화한 공동 가우스 입력의 삼차 모멘트는 0입니다. 그러므로 앞 전개의 선형 부분과 중심화한 곱 항은 무상관입니다. 잠재 구성을 독립 표준 정규 변수로 전개하면 다음 모멘트를 구할 수 있습니다.
표준 정규 변수의 이차 모멘트 1, 사차 모멘트 3, 홀수 모멘트 0을 사용하면 직접 확인됩니다. 곱의 평균 제곱 c²을 빼서 ξζ의 분산을 구하고 선형 부분의 분산을 더하면 다음 결과입니다.
끝의 두 항이 일차 민감도 계산에서 빠진 고차 분산입니다. 여기에서는 가우스 가정이 중요합니다. 다른 결합 법칙은 삼차 모멘트가 0이 아닐 수도 있고 사차 모멘트도 다를 수 있습니다. 공분산 행렬만 같다고 임의의 분포에 이 정확 비선형 분산식을 적용할 수 없습니다.
평균이 원점인 반례 계산하기
평균을 모두 0, 표준불확실성을 모두 1cm, ρ를 0으로 두세요. 일차 분산은 0이지만 정확 모형의 곱 분산은 1cm⁴입니다. 출력 표준불확실성은 1cm²입니다. 불확실한 두 입력을 곱했다고 변동이 없어진 것이 아니라 일차 근사가 중요한 항을 버린 것입니다.
이제 ρ를 1로 바꾸면 곱의 평균은 1cm², 분산은 2cm⁴가 됩니다. 일차 분산은 여전히 0입니다. 입력 평균을 바꾸지 않고도 평균 보정과 고차 분산의 영향을 확인할 수 있습니다.
가우스 입력 두 개의 곱은 일반적으로 가우스가 아닙니다. 표준불확실성은 정한 법칙의 표준편차이며 출력에 정규 95% 구간을 붙여도 된다는 자동 허가가 아닙니다. 포함률에는 별도의 분포 계산이나 정당화된 다른 방법이 필요합니다.
윤곽에 잘못된 포함 확률을 붙이지 않기
두 번째 그림은 잠재 U,V 좌표의 단위 원을 X,Z 평면으로 옮깁니다. 의존성과 상대적 입력 척도를 설명하는 기하적 기준입니다. 공분산이 특이하면 선분이나 점이 됩니다. 축은 cm 단위와 같은 기하적 배율을 유지합니다.
이 단위 원 이미지에는 68%나 95% 확률 영역이라는 이름을 붙이지 않습니다. 이차원에서 반지름 1인 가우스 윤곽과 일차원에서 평균±표준편차 구간의 포함 확률은 같지 않습니다. 특이한 경우에는 해석이 다시 달라집니다. 이 실습은 그 윤곽에 포함 확률을 주장하지 않습니다.
분산 그래프는 별도로 잠재 계수를 −1부터 1까지 바꿉니다. 파랑은 정확 모형의 분산, 주황은 일차 결과입니다. 합과 차에서는 겹치고 곱에서는 간격이 빠진 항을 나타냅니다. 이 그래프는 무작위 표본 구름이나 Monte Carlo 결과가 아닙니다.
단위와 정확한 지원 입력 비교
합과 차의 출력 단위는 cm이고 분산은 cm²입니다. 곱의 출력 단위는 cm²이고 분산은 cm⁴입니다. 두 입력 사이 공분산의 단위는 cm²이며 정의되는 경우의 상관은 무차원입니다. 표준불확실성은 항상 해당 출력 자체와 같은 단위를 갖습니다.
조작기는 정수 평균, 0.1 단위 표준불확실성, 0.01 단위 잠재 계수를 사용합니다. 따라서 지원 모멘트 식을 정확한 정수 분자로 나타낼 수 있습니다. 분산의 공통 분모는 1억, 평균의 공통 분모는 1만입니다. 작은 음수를 임의로 잘라 0으로 만드는 대신 정수로 비음성과 특이성을 검사합니다. 화면의 나눗셈, 제곱근, 곡선 좌표는 수치 근사입니다.
풀이가 있는 연습 문제
- 문제: 두 표준불확실성이 1이고 공분산이 1이면 합의 분산은? 해설: 1+1+2=4입니다. 공분산을 빼면 잘못된 값 2를 얻습니다.
- 문제: 같은 입력의 차 분산은? 해설: 1+1−2=0입니다. 중심화한 두 오차가 같아서 정확히 상쇄됩니다.
- 문제: 민감도가 0인데 곱의 불확실성이 남는 이유는? 해설: 평균 0에서 선형 부분은 사라져도 이차 변동 ξζ는 무작위로 남습니다.
- 문제: 입력 평균이 0이고 공분산이 −1이면 곱 평균은? 해설: −1cm²입니다. 평균의 곱 0이 아니라 공분산 보정이 전체 평균을 정합니다.
- 문제: u_X=0이면 Pearson 상관을 0으로 표시하나요? 해설: 표준편차의 곱으로 나누는 정의가 성립하지 않아 미정입니다. 공분산 0과 상관 미정은 다릅니다.
- 문제: 같은 공분산을 가진 모든 분포에 가우스 곱 분산식을 쓰나요? 해설: 아닙니다. 비선형 부분은 가우스 삼차·사차 모멘트를 사용하므로 다른 법칙에서는 다시 유도해야 합니다.
출처와 AI 연구 연결
JCGM의 결합 불확실성과 상관 입력 설명은 측정 함수와 일차 전파의 배경입니다. 잠재 가우스 구성과 정확 곱 모멘트, 수치 반례는 본문에서 직접 유도했습니다. AI 연구에서 자동 미분으로 Jacobian을 얻으면 일차 전파에 사용할 수 있습니다. 그러나 미분값만으로 입력 법칙이나 측정 편향을 정하거나 정상점 근처의 비선형 불확실성을 무시할 수는 없습니다.
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