시간 게이지와 Hamiltonian·물리적 에너지

같은 운동의 다른 정준 표현

자유 입자가 일정한 속도로 움직여도 정준 운동량은 바뀔 수 있다. 복원 진동자가 기계적 에너지를 보존해도 올바른 Hamiltonian의 부호는 바뀔 수 있다. 라그랑지안에 시간 전미분을 더하고 운동량 변수를 일관되게 바꾸면 두 현상을 구체적으로 확인할 수 있다.

질량 m>0,강성 k≥0인 일차원 입자를 사용한다. 물리적 힘은 계속 −kx다. 아래 매개변수는 그 힘이 아니라 정준 표현을 바꾼다. 식의 항 하나만 보고 에너지나 힘의 변화를 추측하기보다 완전한 방정식을 유도한다.

자연 라그랑지안과 게이지 함수

다음과 같이 두자.

$$L_0(x,v)=\frac m2v^2-\frac k2x^2, \qquad F(x,t)=\frac\gamma2t x^2.$$

F의 단위는 작용 Js이고 γ의 단위는 강성과 같은 kg/s²다. 앞의 시간 비의존 경계 게이지 예제의 계수 kg/s와 다르다. 시간 인자가 추가되면 차원도 다시 확인해야 한다.

전미분에는 두 항이 모두 필요하다.

$$\frac{dF}{dt}=\frac{\partial F}{\partial t} +\frac{\partial F}{\partial x}v =\frac\gamma2x^2+\gamma t x v.$$

Lγ=L₀+dF/dt로 정의한다. 두 추가 항은 모두 J 단위다. 속도에 선형인 항만 남기면 원래 의도한 동등 라그랑지안이 아니라 다른 힘의 법칙을 얻게 된다.

동등성의 경계 조건

끝점 위치와 끝점 시각이 고정되어 있으면

$$S_\gamma[x]-S_0[x]=F(x(T),T)-F(x(0),0).$$

이는 같은 경계 조건을 가진 모든 허용 경로에 같은 값이다. 내부 Euler–Lagrange 방정식은 유지된다. 끝점 위치나 시각을 자유롭게 바꾸는 문제에서는 경계항도 함께 검토해야 하며 모든 변분 문제가 같다고 주장하지 않는다.

내부 상쇄를 직접 확인할 수도 있다. 속도 미분은 mv+γtx이고 그 시간 전미분은 m acceleration+γx+γtv다. 위치 미분은 −kx+γtv+γx다. 둘을 빼면 m acceleration+kx=0만 남는다.

새로운 정준 운동량

이번 라그랑지안에서

$$P=\frac{\partial L_\gamma}{\partial v}=mv+\gamma t x, \qquad p_{\mathrm{mech}}=mv.$$

두 양은 모두 kg m/s 단위지만 두 번째가 직교 기계적 운동량이다. 같은 시각의 같은 관측 위치·속도에도 γ가 다르면 P가 다르다. 학습한 정준 상태를 비교할 때에는 라그랑지안의 표현 약속을 명시해야 한다.

속도 헤시안은 여전히 m>0이다. 따라서 모든 x,t에서 Legendre 사상이 정규이며 역은 v=(P−γtx)/m이다. 이 직교 좌표 모델은 입자가 x=0을 지날 때도 정준 상태가 유효하다. 극좌표 원점 특이성은 없다.

속도를 제거한 뒤 H를 미분하기

P v−Lγ에 역속도를 대입하면

$$H_\gamma(x,P,t)=\frac{(P-\gamma t x)^2}{2m} +\frac{k-\gamma}{2}x^2.$$

독립변수는 x,P,t다. mv²/2+kx²/2−γx²/2는 대응하는 물리 상태에서의 값이지만, v를 독립변수로 취급하면 다른 편미분을 계산하게 된다.

물리적 기계 에너지는

$$E=\frac m2v^2+\frac k2x^2, \qquad H_\gamma=E-\frac\gamma2x^2=E-\frac{\partial F}{\partial t}.$$

Legendre 변환이 올바르게 정의되어도 그 값이 보존 기계 에너지와 다를 수 있다. Hγ가 음수라고 운동에너지가 음수이거나 복원력의 부호가 바뀐 것은 아니다.

올바른 뉴턴 방정식 복원

Hamilton 방정식을 적용한다.

$$\dot x=\frac{\partial H_\gamma}{\partial P} =\frac{P-\gamma t x}{m}=v,$$ $$\dot P=-\frac{\partial H_\gamma}{\partial x} =\gamma t\frac{P-\gamma t x}{m}-(k-\gamma)x.$$

P=mv+γtx를 같은 운동을 따라 미분하면 m acceleration+γx+γtv다. 두 운동량 변화율을 같게 두면 게이지 항이 상쇄되어 m acceleration=−kx가 나온다.

따라서 H의 k−γ만 물리적 용수철 강성으로 읽으면 안 된다. 운동량 이동과 명시적 시간 의존성을 함께 반영한 전체 정준 방정식이 운동을 결정한다.

시간 편미분과 전미분 구분

x,P를 고정하면

$$\frac{\partial H_\gamma}{\partial t} =-\gamma x\frac{P-\gamma t x}{m}=-\gamma x v.$$

Hamilton 방정식의 해를 따라 전미분하면 위치·운동량에 관한 항이 상쇄되어 dHγ/dt=∂Hγ/∂t다. 물리적 에너지는 dE/dt=v(m acceleration+kx)=0을 만족한다. Hγ=E−γx²/2를 물리 궤적에서 미분해도 같은 −γxv를 얻는다.

명시적 시간 의존성은 함수의 성질이다. γ가 비영이면 Hγ는 정준 인자에서 시간에 명시적으로 의존한다. 그러나 특정 정지 해에서는 xv=0이어서 Hγ가 일정할 수 있다. 한 전환점에서 미분이 0이라는 사실도 궤적 전체의 보존을 뜻하지 않는다.

예제: 자유 운동의 변하는 정준 운동량

m=1,k=0,x₀=0,v₀=1,γ=2로 두면 x=t,v=1이다. 기계적 운동량은 1 kg m/s, 물리적 힘은 0, 기계 에너지는 1/2 J로 일정하다. 하지만

$$P(t)=1+2t^2,\qquad H_\gamma(t)=\frac12-t^2.$$

t=1에서 P=3 kg m/s,Pdot=4 N,Hγ=−1/2 J,dHγ/dt=−2 W다. 정준량의 변화이며 실제 외력이나 물리적 에너지 손실을 뜻하지 않는다.

이 순간 Lγ=3.5 J이므로 P v−Lγ=−0.5 J로 Legendre 계산도 확인된다. 0~1초의 원래 누적 작용은 0.5 Js이고 끝점 F는 1 Js이므로 게이지 작용은 1.5 Js다. 순간 라그랑지안·Hamiltonian·누적 작용은 역할과 단위가 다르다.

예제: H의 부호가 바뀌는 복원 진동자

m=1,Ω=π/2,k=π²/4,x₀=1,v₀=0,γ=4로 두자. 실제 운동은 x=cos(πt/2)이고 E=π²/8 J가 일정하다. 처음에는

$$H_\gamma(0)=\frac{\pi^2}{8}-2<0.$$

1초 뒤에는 x=0,v=−π/2이므로 Hγ=π²/8>0이다. 물리적 에너지는 그대로다. 이 표현의 k−γ는 음수지만 입자는 원래의 복원 방정식을 따른다.

위 두 시각에서는 −γxv가 모두 0인데도 그 사이 H는 변한다. 한 시점의 영 미분 대신 시간 곡선 전체를 확인해야 한다.

위상 작용의 경계항 추적

정준 일형식의 항등식은

$$P\,dx-H_\gamma\,dt =p_{\mathrm{mech}}\,dx-E\,dt+dF.$$

dx 계수의 변화는 γtx=∂F/∂x이고 dt 계수의 변화는 γx²/2=∂F/∂t다. 완전한 각 항은 작용 Js 단위다. 고정 끝점 작용의 동등성과 시간 의존 Hamiltonian 이동을 함께 설명한다.

모델은 두 계수 항등식과 실제 궤적 위의 값도 검사한다. 이번 예제의 직접 계산이며, 일반 정준 변환·Poisson 괄호·심플렉틱 기하 전체는 후속 주제에서 따로 다룬다.

계산 이력의 축과 범위

조절값은 Ω=πf/4,k=mΩ²를 사용한다. 초기 위치·속도 코드는 2로, γ 코드도 2로 나누고 조회 시각은 코드/20초다. f를 유지하고 질량을 바꾸면 강성도 함께 바뀐다. γ만 바꾸면 실제 궤적은 같다.

구현은 2초 동안 자유 입자·조화진동자의 해석 궤적을 수치 평가하여 정준 변수로 바꾼다. 새로운 수치 Hamilton ODE 해법을 실행하는 것은 아니다. 위상 그림은 위치 m와 운동량 kg m/s 축으로 기계적·정준 운동량을 비교하며 위치 공간의 궤적과 구분한다.

기계 에너지와 Hγ는 J, dHγ/dt와 시간 편미분은 W 단위로 표시한다. 시간 의존 H의 고정 시각 등고선에 전체 진화 궤적이 놓일 필요는 없다. 소수 항등식 잔차와 샘플 최대값을 0으로 덮지 않으며 모든 연속 시각의 보증 상한으로 주장하지 않는다.

해설이 있는 연습 문제

1. 운동량 사상의 역을 구하자. 해설: P에서 γtx를 빼고 양의 m으로 나누면 v=(P−γtx)/m이다. ∂P/∂v=m이므로 이번 모델에서는 모든 점에서 역이 존재한다.
2. 자유 운동 예제의 t=1 상태를 계산하자. 해설: x=v=1, pmech=1, P=3, E=1/2, Hγ=−1/2다. 정준 운동량 변화율은 4 N이지만 실제 힘은 0이다.
3. Lγ에서 γx²/2를 생략하면? 해설: 남은 γtxv의 시간 미분에서 γx가 상쇄되지 않는다. 식이 m acceleration+(k+γ)x=0이 되어 물리 모델이 바뀐다.
4. γ가 비영인 모든 궤적에서 H가 변하는가? 해설: 아니다. 정지한 자유 입자는 x가 일정하고 v=0이므로 −γxv=0이다. 함수는 명시적으로 시간 의존이어도 그 선택 해 위의 값은 일정할 수 있다.
5. 에너지 공급 없이 H가 음수에서 양수로 바뀌는 이유는? 해설: Hγ=E−γx²/2에서 E는 일정하고 빼는 위치 항이 변한다. 전체 정준 방정식은 계속 m acceleration=−kx를 준다.
6. 경계 작용의 변화만으로 임의의 자유 끝점 문제도 동등한가? 해설: 끝점 위치나 시각을 바꾸면 F의 끝점 변분이 남을 수 있다. 내부 뉴턴 방정식만 유지된다고 끝점 문제까지 같아지는 것은 아니며 경계 조건도 일관되게 변환해야 한다.

연구 연결과 참고 자료

Hamiltonian을 학습하는 AI 모델에는 정준 변수와 시간 의존성의 약속이 필요하다. 선택한 H에 보존 손실을 주는 것은 관련 가정 아래에서 타당하다. 이번 예제는 물리적 E가 보존되어도 Hγ가 변할 수 있다. 스칼라 함수 값뿐 아니라 유도되는 운동과 명시한 물리 관측량을 비교한다.

David Tong의 The Hamiltonian Formalism은 Legendre 역사상·정준 운동량·Hamiltonian의 시간 전미분과 편미분 관계를 전개한다. 여기의 시간 게이지 예제는 직접 유도하고 독립 기호 제거·고정밀 미분·직접 작용 적분으로 검산했다. 유리수 자유 입자 예제는 Fraction을 이용한 정확 검산도 가능하다.