미분 가능성과 평균값정리

차분의 값과 극한

한 점 x₀ 근처의 전진 차분은 h≠0일 때 정의됩니다. 도함수는 h=0을 대입한 값이 아니라 h→0의 극한입니다.

f(x)=x²이면 분자를 전개해 차분=2x₀+h를 얻습니다. x₀=0.5,h=0.1에서는 1.1이지만 도함수는 1입니다. h=0이면 실습은 차분을 —로 표시합니다. 연속 함수의 점값과 차분 극한을 혼동하지 마세요.

미분 가능성은 연속성보다 강하다

미분 가능하면 f(x₀+h)−f(x₀)=h(f′(x₀)+o(1))이므로 연속입니다. 역은 거짓입니다. |x|는 0에서 연속이지만 왼쪽 차분은 −1, 오른쪽은 1입니다. 이때 존재하지 않는 접선을 그려서 0 기울기라고 표시하지 않습니다.

이 식은 국소 일차 근사의 의미입니다. 작은 h에서 정확한 변화와 일차 예측의 차이가 |h|보다 빠르게 작아집니다. 전역 선형성이나 임의 크기의 변화에서 정확함을 뜻하지 않습니다.

평균값정리의 정확한 가정

f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분 가능하면 어떤 c∈(a,b)가 존재하여

증명은 양 끝을 잇는 직선을 빼서 g(a)=g(b)가 되게 만든 뒤 Rolle 정리를 적용합니다. Rolle 정리는 compact 구간에서 극값이 존재하고 내부 극값의 도함수가 0이라는 사실을 이용합니다. 이 존재 정리의 가정을 생략하면 결론이 실패할 수 있습니다.

같은 평균 기울기, 다른 정리 적용

실습은 [−1,1]에서 x²와 |x|를 비교합니다. 둘 다 양 끝 값이 같아 평균 기울기는 0입니다. x²는 f′(0)=0이므로 정리의 증인이 있습니다. |x|는 내부에서 도함수가 −1 또는 1이고 0에서는 미분 불가입니다. 평균 기울기 0과 같은 도함수 값이 없으며 정리의 미분 가능성 가정이 실패했습니다.

도함수 상한에서 안정성으로

구간의 모든 점에서 |f′|≤L이면 평균값정리로 |f(x)−f(y)|≤L|x−y|를 얻습니다. 한 점에서만 도함수가 작다는 관측은 구간 전체의 Lipschitz 상한을 보장하지 않습니다. AI 손실 변화나 입력 민감도 분석에서도 어떤 영역에서 상한이 성립하는지 적어야 합니다.

차분 검산에는 h가 너무 크면 절단 오차, 너무 작으면 소거·반올림 오차가 영향을 줍니다. 작은 h 하나에서 도함수와 비슷하다고 미분 가능성을 일반적으로 증명한 것은 아닙니다.

확인 문제와 답

1. x²의 x₀=1,h=0.01 전진 차분은? 2.01입니다.
2. |x|가 [−1,1]에서 평균값정리를 만족하는 함수의 가정을 갖나요? 아니요.
3. 도함수가 구간에서 항상 0이면? 평균값정리로 함수가 상수입니다.

추가 읽기: MIT 공식 강좌 안내. 강좌 범위를 확인해 보충 자료로 연결하며, 아래의 작은 예제와 논증은 직접 구성했습니다.