상관된 AR(1) 평균의 유한 오차

관측을 반복한다고 정보도 독립적으로 반복되지는 않는다

센서가 매초 잡음이 섞인 값을 보고한다고 하자. 잡음이 여러 관측에 걸쳐 계속 높게 유지되면 열 번의 값을 평균내도 독립인 열 번의 관측만큼 잘 상쇄되지 않는다. 반대로 양·음 편차가 번갈아 나타나면 잘 지정된 한 쌍을 평균내어 잡음을 매우 효과적으로 지울 수도 있다. 저장된 값의 개수만으로 평균의 불확실성이 결정되지는 않는다.

앞 단원에서는 스핀 두 성분 사이의 공분산과 Ising 고리의 공간 위치 사이 공분산을 배웠다. 여기서는 정상 확률 준비에서 연속된 관측의 인덱스를 사용한다. 평균의 정확한 유한 분산을 계산하고, 별도의 큰 표본 근사를 유도하며, 음의 의존성과 퇴화 끝점을 검토한다. 공간 거리, 관측 인덱스, 애니메이션 프레임은 여전히 서로 다른 양이다.

선수 지식은 공분산, 유한 기하급수, 독립 변수 합의 분산이다. Geyer의 자기공분산 강의는 평균의 의존성과 불확실성에 관한 배경을 제공한다. 아래의 정상·단위 분산 AR(1) 준비, 유한 범위와 예제는 이 교재에서 별도로 명시하고 유도한다.

불확실성을 계산하기 전에 정상 준비를 고정하자

각 관측을 알 수 없는 공통 평균과 중심화된 요동의 합으로 적자. 다음과 같이 정의한다.

$$X_i=\mu+Y_i,\qquad Y_1\sim\mathcal N(0,1),\qquad Y_{i+1}=\rho Y_i+\sqrt{1-\rho^2}\,\varepsilon_i,\qquad \varepsilon_i\overset{\mathrm{iid}}\sim\mathcal N(0,1).$$

초기 요동과 모든 혁신항은 서로 독립이다. |ρ|<1에서는 이 준비가 정상이며 각 Y의 평균은 0, 분산은 1이다. 실제로 다음 분산은 ρ²+(1−ρ²)=1이다. 대신 Y1=0으로 시작하면 과도 준비가 되어 초기 공분산이 달라진다. 혁신 분산을 1로 고정해도 다른 모델이며 그 정상 주변 분산은 1/(1−ρ²)이다.

모델은 정수 표본 수 n=1부터 512까지, [−1,1] 범위의 유한 binary64 계수 ρ를 받는다. 끝점은 혁신 분산이 0인 퇴화 정상 준비로 명시적으로 포함하지만 혼합 과정으로 표시하지 않는다. 계수는 지정된 값이지 짧은 경로에서 추정한 값이 아니다. 수치 모델의 평균 기댓값 0은 중심화된 평균 오차의 기댓값이다. 불확실성은 알 수 없는 이동 μ와 무관하므로 μ를 조절하지 않아도 계산할 수 있다.

자기공분산을 추측하지 말고 유도하자

재귀를 k번 반복하면 오래된 요동에 ρ의 k승을 곱한 항과 나중 혁신항들을 얻는다. 나중 혁신항들은 오래된 요동과 독립이므로 다음이 성립한다.

$$\gamma_k=\operatorname{Cov}(Y_i,Y_{i+k})=\rho^k,\qquad \gamma_0=1,\qquad \Sigma_{ij}=\rho^{|i-j|}.$$

양의 ρ에서는 연속된 자기공분산들의 부호가 모두 양수다. 음의 ρ에서는 부호가 교대한다. 그렇다고 공분산 행렬이 음수가 되지는 않는다. 모든 이차형식은 관측의 선형결합 분산이므로 음수가 아니어야 한다. 내부 |ρ|<1에서는 독립 혁신항들로 인해 유한 Gaussian 준비가 비특이하다. 끝점에서는 모든 관측이 같은 초기 랜덤값의 배수이므로 공분산이 특이해진다.

정상성은 실제로 중요한 역할을 한다. 공분산을 절대 시작 인덱스 i가 아니라 지연 k의 함수로 만들기 때문이다. 평균이 이동하거나 잡음 척도 또는 계수가 바뀌면 이 법칙을 만족하지 않을 수 있다. 그래프가 번갈아 보인다는 사실만으로 모델 가정이 성립하는 것은 아니다. 식을 쓰기 전에 어떤 준비에서 얻은 관측인지 확인해야 한다.

유한 평균의 모든 공분산 쌍을 세자

표본 평균과 중심화된 오차를 정의하면 분산은 다음과 같다.

$$\overline X_n=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i,\qquad \operatorname{Var}(\overline X_n)=V_n=\frac1{n^2}\sum_{i,j=1}^n\rho^{|i-j|}=\frac{n+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\rho^k}{n^2}.$$

대각 쌍은 n개이며 각각 1을 기여한다. 지연 k에는 대각 위로 n−k개, 아래로도 n−k개가 있다. 이 계수가 2라는 인수와 n−k라는 경계 가중치를 설명한다. 모든 가중치를 n으로 바꾸는 것은 큰 표본 조작이지 정확한 유한 계산이 아니다.

ρ=0에서는 대각만 남아 V=1/n이다. ρ가 0이 아닐 때 주변 분산을 단순히 n으로 나누면 교차항을 버린다. 이 준비의 표본 평균은 공통 μ의 불편 추정량이므로 V는 평균제곱오차이기도 하다. 편향이나 이동이 있는 준비에서는 평균제곱오차에 별도의 편향 제곱 항이 필요하다. 분산 계산을 끝냈다고 편향 문제까지 해결된 것은 아니다.

독립인 기여들의 양의 합으로 다시 적자

교대 합은 유도에는 좋지만 수치 알고리즘으로는 불리할 수 있다. 이번에는 독립인 랜덤 입력을 모으자. a_m을 유한 기하급수 합으로 두면 다음을 얻는다.

$$a_m=\sum_{k=0}^{m-1}\rho^k,\qquad \sum_{i=1}^nY_i=a_nY_1+\sqrt{1-\rho^2}\sum_{j=1}^{n-1}a_{n-j}\varepsilon_j.$$

첫 항은 초기 준비의 기여이고 나머지는 서로 다른 관측 시각에 들어온 혁신항의 기여다. 이 입력들은 모두 분산 1로 독립이므로 다음이 성립한다.

$$V_n=\frac{a_n^2+(1-\rho^2)\sum_{m=1}^{n-1}a_m^2}{n^2}.$$

모든 기여가 음수가 아니다. 이 항등식은 ρ≈−1에서 큰 반올림 숫자 둘을 빼지 않고 작은 양의 분산을 보존한다. 끝점의 의미도 투명하다. 혁신이 사라지면 가중된 초기 요동만 남는다. 재귀 a_(m+1)=1+ρa_m으로 모든 접두 구간을 한 번의 순회에서 계산할 수 있다. ρ∈[−1,1]에서는 각 a_m이 [0,m]에 속하며 이 사실로 방향성 수치 경계를 좁힌다.

이는 공분산 이중 합과 같은 분산이지 새로운 근사가 아니다. 두 표현은 독립 검산 경로를 제공한다. 구현과 유일한 참조가 같은 양의 기여 공식을 사용하면서 그 일치를 독립 근거라고 부르면 안 된다. 특히 수치적으로 까다로운 부호 상쇄를 다른 방식으로 대조하는 것이 중요하다.

작은 양·음 예제를 손으로 풀자

n=2에서는 정확한 답이 특히 간단하다.

$$V_2=\frac{1+\rho}{2}.$$

양의 절반 상관이면 분산은 3/4, 음의 절반 상관이면 1/4다. 독립일 때는 1/2다. 지연 1 상관의 절댓값은 같아도 두 부호가 불확실성을 움직이는 방향은 반대다. 상관의 크기만 남기고 부호를 지우면 평균의 오차를 잘못 판단한다.

네 관측에서는 모든 지연 가중치를 보존하면 다음 이상적 유리수 예제를 얻는다.

ρ	정확한 V4	분산 팽창 4V4	분산 등가 수 1/V4	점근 τ/4
0	1/4	1	4	1/4
1/2	33/64	33/16	64/33	3/4
−1/2	7/64	7/16	64/7	1/12

음의 경우 분자는 4+2[3(−1/2)+2(1/4)−1/8]=7/4다. 이를 16으로 나누면 7/64다. 지연 2나 지연 3 항을 버리면 결과가 달라진다. 평균은 네 값을 모두 사용하며 불확실성에는 서로 다른 여섯 비대각 쌍이 모두 반영된다. 같은 숫자 네 개를 보관했다는 사실만으로 독립의 분모 4를 적용하면 안 된다.

분산·표준오차·물리적 척도를 구별하자

표준오차는 분산 자체가 아니라 제곱근이다.

$$\operatorname{SE}(\overline X_n)=\sqrt{V_n},\qquad \operatorname{Var}\!\left(\sum_iX_i\right)=n^2V_n,\qquad \operatorname{Var}(\mu+\sigma\overline Y_n)=\sigma^2V_n.$$

n=4인 음의 절반 상관 예제에서 분산은 7/64, 표준오차는 √7/8이다. 관측의 단위가 미터라면 분산은 제곱미터, 표준오차는 미터 단위다. 주변 표준편차의 척도 σ를 곱하면 표준오차는 그 절댓값만큼, 분산은 σ의 제곱만큼 변한다. 보고할 숫자와 단위를 함께 확인하면 분산을 오차 막대 길이로 잘못 사용하는 실수를 줄일 수 있다.

이 Gaussian 준비에서는 유한 평균 오차의 분포가 분산 V인 Gaussian이다. 여기서 정규성을 얻으려고 점근 중심극한정리를 기다릴 필요는 없다. 공분산이 같은 비Gaussian 과정에서도 유한 분산 공식은 성립하지만 평균의 분포까지 정해지는 것은 아니다. 비선형 추정량의 불확실성은 다시 별도 문제다.

큰 표본 극한의 조건을 유지하자

고정된 |ρ|<1에서는 정규화된 자기공분산이 절대 합 가능하며 다음 관례를 정의한다.

$$\tau=1+2\sum_{k=1}^{\infty}\rho^k=\frac{1+\rho}{1-\rho},\qquad nV_n\longrightarrow\tau,\qquad V_n\sim\tau/n.$$

적분 상관시간에 1/2 인수를 넣는 관례도 있다. 이 교재는 위의 명시적 합을 사용하므로 독립 관측에서 τ=1이다. 음의 ρ에서는 교대 항이 상쇄되어 τ가 1보다 작을 수 있다. 이는 이 관측량의 분산 팽창 인수이며 모든 종류의 의존성이 사라지는 단계 수가 아니다.

내부 모수에서 정확한 보정은 다음과 같다.

$$V_n=\frac{\tau}{n}-\frac{2\rho(1-\rho^n)}{n^2(1-\rho)^2}\qquad(|\rho|<1).$$

양의 ρ에서는 유한 분산이 τ/n보다 작고, 음의 ρ에서는 크다. n=2, ρ=1/2이면 τ/n=3/2로 주변 분산 1보다도 크지만 정확한 유한 분산은 3/4다. 그 짧은 준비에서 근사가 부적절하다는 사실을 바로 볼 수 있다. 점근식이라는 이름이 유한 답과의 차이를 없애지는 않는다.

고정 ρ에서 오차는 n의 −2승 차수지만 계수는 ρ가 1로 갈 때 균일하게 유계가 아니다. 어느 비혼합 끝점 근처든 유한 n이 관련 감쇠 척도에 비해 훨씬 짧을 수 있다. 이 극한 명제만으로 ρ도 끝점으로 움직이는 상황에서 공동 극한을 통제하지 않고 유한 오차를 τ/n으로 대체할 수는 없다. 먼저 어떤 모수를 고정했는지 적어야 한다.

분산 등가 표본 수의 뜻을 정확히 정하자

주변 분산이 1일 때 다음을 정의한다.

$$n_{\mathrm{eq}}=\frac{1}{V_n},\qquad R_n=nV_n,\qquad n_{\mathrm{eq}}=n/R_n.$$

이는 독립인 단위 분산 관측을 몇 개 평균내면 같은 선형 평균 분산을 얻는지 말한다. 정수일 필요도 없고 실제 n보다 클 수도 있다. ρ=−1/2, n=4에서는 64/7, 약 9.14다. 그렇다고 독립인 저장 값 아홉 개가 생기거나 모든 추정량이 그만큼의 정보를 얻는 것은 아니다.

이 수는 관측량, 준비, 비교할 주변 분산에 의존한다. 뒤의 모델이 제곱·문턱값·다른 비선형 함수를 사용하면 자기공분산이 달라질 수 있다. 데이터에서 알 수 없는 ρ를 추정하는 일도 지정 모수 계산에 포함되지 않은 진단 문제다. 유효 표본 크기라는 이름을 쓰더라도 어떤 분산 비교를 나타내는지 밝혀야 한다. 원래 데이터 개수와 분산 등가 수를 같은 항목에 덮어쓰지 말자.

상수·교대 끝점은 따로 취급하자

두 끝점에서는 혁신 분산이 0이다. 지정된 대칭 초기 Gaussian 법칙 아래 과정은 정상이지만 혼합하지 않는다. 경로에 직접 대입하면 다음을 얻는다.

$$\rho=1:\quad Y_i=Y_1,\quad V_n=1;\qquad \rho=-1:\quad Y_i=(-1)^{i-1}Y_1,\quad V_n=\begin{cases}0,&n\text{ even},\\1/n^2,&n\text{ odd}.\end{cases}$$

상수 경로는 평균내도 초기 요동이 줄지 않는다. 교대 경로의 짝수 길이 중심화 평균은 정확히 상쇄되고 홀수 길이는 Y1/n을 남긴다. 따라서 분산 등가 수는 짝수에서 무한대, 홀수에서 n의 제곱이다. 모델은 이를 끝점 성질로 표시하며 일반 혼합시간 추정값으로 부르지 않는다.

ρ=−1을 τ의 유리식 연장에 대입하면 0이지만 보통의 무한 자기공분산 급수는 교대하며 수렴하지 않는다. 따라서 모델은 양 끝점에서 보통 합으로 정의한 IAT를 보고하지 않는다. 정확한 유한 상쇄를 비퇴화 혼합 중심극한정리의 유효한 진단으로 제시해서는 안 된다.

한계는 고급 이론 없이도 보인다. 교대 경로에서는 모든 중심화 관측의 제곱이 Y1의 제곱이다. 선형 평균이 정확히 지워져도 제곱 평균은 여전히 랜덤하다. 관측 하나를 더하면 유한 평균 분산이 커질 수도 있다. n=2에서는 0, n=3에서는 1/9, n=4에서는 다시 0이다. 이 의존 패턴에 더 많은 관측은 항상 분산을 줄인다는 규칙을 적용하면 틀린다.

AI의 평균과 신중하게 연결하자

미니배치 기울기는 벡터의 평균이므로 공분산에 서로 다른 관측의 교차 공분산 행렬도 들어간다. 스칼라 AR(1) 예제는 지정된 기울기 성분 하나나 Monte Carlo 사슬의 관측량 하나를 나타낼 수 있다. 양의 직렬 의존성은 명목 배치 크기에 비해 그 평균의 효과를 줄이고, 음의 의존성은 상쇄를 통해 분산을 줄일 수 있다.

그렇다고 임의의 훈련 스트림이 정상이 되지는 않는다. 모수 갱신, 데이터 분포 변화, 배치 섞기, 적응적 샘플링이 관련 평균과 공분산을 바꿀 수 있다. 이 단원의 AR(1) 계수는 그런 스트림에서 뽑은 추정값이 아니라 모델 입력이다. 실제 분석에서는 관측량과 준비를 밝히고 정상 모델이 적절한지 검토하며, 가정한 모수 아래의 정확한 계산과 모수 추정을 구별해야 한다.

한 표본 안의 좌표 사이 공간 공분산도 표본 사이의 자기공분산과 다르다. 새 관측 과정을 정의하지 않고 앞 고리의 거리나 상관 길이를 n 또는 ρ에 대입할 수 없다. 반대로 샘플러의 실행 이력이 길다는 사실만으로 격자의 공간 상관 길이가 정해지지도 않는다. 같은 공분산이라는 말보다 인덱스가 무엇을 가리키는지가 먼저다.

경로 그림과 수치 근거를 구별하자

모델은 전달된 binary64 ρ를 정확한 입력으로 취급하며 1−ρ²를 정확한 이진 연산으로 구성한다. 양의 혁신 분해를 통해 방향성 경계를 전파한다. n까지의 모든 접두 표본 수에서 평균 분산을 계산한다. 자기공분산 거듭제곱도 정확한 이진 계수와 지수를 보존하므로 먼 지연의 작은 비영 값을 구조적 0으로 바꾸지 않는다.

표준오차는 바깥쪽으로 반올림한 정수 제곱근 경계를 사용한다. 표시된 분산에 보통 부동소수점 제곱근을 적용했다고 인증되는 것이 아니다. 해소된 비영 관측량은 부호와 2의 −48승 이하 상대 구간 폭을 갖는다. 작업 정밀도는 128비트부터 8192비트까지 높일 수 있다. 상한에서 미해결이면 사용 불가로 보고한다. 일반 크기 로그 투영은 근사이며 경계의 대체물이 아니다.

독립 참조는 실제 binary64 모수에 Python Fraction과 유한 공분산 지연 합을 사용한다. 작은 준비는 공분산 이중 합으로 추가 검산한다. Decimal 투영과 제곱근은 더 높은 정밀도에서 독립 재계산한다. 혁신 분해를 참조에 재사용하지 않는다. 이 검사는 수치 모델과 원고의 범위다. 등록된 읽기 화면에는 별도의 학습 조절부가 있으며 worker 동작·저장 복원·실제 읽기 상호작용에는 통합 근거가 필요하다.

짧게 랜덤 생성한 경로는 설명 그림이지 이론 분산의 증명이 아니다. 그 분산을 경험적으로 추정하려면 독립적으로 준비한 반복 실행이 필요하고 그 추정에도 표본 오차가 있다. 매끄럽거나 교대해 보이는 한 경로에서 정확한 불확실성을 알아냈다고 주장하지 않는다. 그림이 보여주는 것과 모델이 증명하는 것을 분리하자.

네 관측의 계산을 정확히 재현하자

다음 짧은 Python 예제는 정확한 유리수로 공분산 이차형식을 계산한다.

from fractions import Fraction

n, rho = 4, Fraction(-1, 2)
variance = sum(rho ** abs(i - j)
               for i in range(n) for j in range(n)) / n**2
print(variance)       # 7/64
print(1 / variance)   # 64/7

ρ의 부호를 바꾸면 33/64를 얻는다. 이어서 ρ=−1을 사용해 짝수와 홀수 n을 비교하자. 코드는 지정한 공분산 모델을 평가하며 모의 데이터에서 자기공분산을 추정하지 않는다. 구현의 독립 검증에서는 작은 n에 이 이중 합이 특히 유용하다. 큰 행렬을 구성하지 않으려면 지연별 쌍을 센 식을 사용하면 된다.

시각화는 공분산 창, 유한 평균 분산 곡선, 선택 가능한 τ/n 참조를 구별한다. n과 부호 있는 ρ를 조절해도 끝점 표시를 유지한다. 음의 의존성에서는 접두 길이에 따른 V가 진동할 수 있으며 단조롭게 평활화하면 결과가 바뀐다. 공분산 그림이 앞부분 창만 보여도 표에는 모든 접두 길이가 남는다.

유한 불확실성을 실제 실험과 연결하기

공분산 창은 앞부분 최대8×8만 보여주지만 계산에는 n개 관측 전체가 들어갑니다. 파랑 곡선은 모든 접두 길이의 정확한 유한 평균 분산이고 주황 점선은 선택 가능한 점근 τ/n 참조입니다. 지정한 정상 준비의 이론적 불확실성이며 생성된 경로에서 추정한 오차가 아닙니다.

비교할 준비	바꾸기 전에 예측	결과에서 읽을 것
네 독립 관측 → 양의 절반 → 음의 절반 상관	상관의 절댓값이 같으면 불확실성도 같을까요?	분산1/4,33/64,7/64를 비교하고 제곱근인 표준오차와 구분하세요.
양의 절반 상관에서 n=2 →64	짧은 평균에도 τ/n이 정확할까요?	n=2의 정확한3/4와 점근3/2가 다릅니다. n을 키우며 유한/점근 비를 보세요.
교대 끝점에서 짝수4 → 홀수5	관측을 하나 더하면 반드시 분산이 줄까요?	정확한0에서1/25로 바뀌며 끝점의 보통 합 IAT는 계속 미제공입니다.

정수 n과 ρ를 입력하고 Enter 또는 다른 칸으로 이동해 적용하세요. 분산 로그 축으로 척도를 비교하되 정확한0은 축 아래 점으로 남고 양수처럼 연결되지 않습니다. 비혼합 끝점에서는 보통 합 IAT를 제공하지 않으므로 점근 참조 표시가 비활성화됩니다. 두 페이지 표는 모든 지연과 접두 분산을 유지합니다. n보다 큰 분산 등가 수는 이 선형 평균만 설명하며 독립 관측을 만들거나 임의 훈련 스트림의 정상성을 입증하지 않습니다.

해설 문제로 이해를 확인하자

1. 지연 쌍을 세자

n=4의 전체 이중 합에서 지연 1,2,3의 공분산 항은 각각 몇 개인가?

해설. 대각 위에 각각 3,2,1개이며 아래에도 같은 개수가 있다. 따라서 6,4,2개다. 대각 네 항은 별도다. 분자는 4+2(3ρ+2ρ²+ρ³)이고 분모는 16이다. 한쪽 삼각형만 세고 전체 공분산 합이라고 부르면 절반의 교차항을 빠뜨린다.

2. 정확한 유한 분산과 근사를 구별하자

ρ=1/2, n=2에서 정확한 분산과 τ/n을 비교하자. 이 지정된 유한 준비를 설명할 때 무엇을 써야 하는가?

해설. 정확한 값은 (1+1/2)/2=3/4다. 내부 τ는 3이므로 τ/n=3/2다. 유한 준비에는 3/4를 사용한다. 큰 근사값은 모순이 아니라 큰 n의 조건에 아직 도달하지 않았음을 보여준다.

3. 제곱근의 단위를 지키자

ρ=−1/2, n=4에서 분산, 표준오차, 분산 등가 표본 수를 구하자.

해설. 각각 7/64, √7/8, 64/7이다. 첫째는 관측 단위의 제곱, 둘째는 관측 단위, 셋째는 무차원이다. 분산을 표준오차로 보고하면 원래 단위에서의 불확실성을 과소평가한다. 숫자 이름과 단위를 먼저 붙인 뒤 비교하자.

4. 완전한 반대쌍 상쇄를 해석하자

ρ=−1, n=2에서는 선형 평균 오차가 0이다. 중심화 관측의 제곱 평균도 같은 정도로 확실해지는가?

해설. 아니다. 중심화 쌍은 Y1,−Y1이므로 선형 평균은 0이지만 두 제곱은 모두 Y1²다. 그 평균은 여전히 랜덤하다. 무한대 분산 등가 수는 지정된 선형 평균만 설명하지 보편적인 정보량을 뜻하지 않는다.

5. 준비가 달라진 부분을 찾자

구현이 |ρ|<1에서 Y1=0으로 시작하면서 첫 관측부터 정상 공분산을 쓴다고 주장한다. 어떤 가정이 바뀌었는가?

해설. 초기 분산이 1이 아니라 0이다. 이후 분산은 혁신을 통해 쌓이고 시작 인덱스에 의존하므로 초기 유한 공분산은 ρ의 |i−j|승 행렬이 아니다. 정상 초기 법칙으로 준비하거나 과도 공분산을 새로 유도해 써야 한다. 초기값이 편리하다는 이유로 정상성을 얻는 것은 아니다.

6. 음의 의존성에서 표본 수 규칙을 감사하자

대시보드가 n이 늘 때마다 불확실성이 감소하도록 강제한다. 교대 끝점에서도 타당한가? 보통 합의 IAT를 0으로 표시해도 되는가?

해설. 둘 다 타당하지 않다. n=2,3,4의 유한 분산은 0,1/9,0이므로 단조 평활화는 수학을 바꾼다. ρ=−1에서는 보통 무한 자기공분산 급수가 수렴하지 않는다. 정확한 끝점 상쇄와 보통 IAT의 사용 불가를 별개로 유지해야 한다.

source별 인터랙티브 실험으로 이어가자

세 가족의 역할은 서로 보완적이다. 스핀 쌍은 source Hessian을, 고리는 공간 거리와 경계 보정을, AR(1) 준비는 관측 인덱스에 걸친 불확실성을 설명한다. 공분산이 공통이지만 관측량, source, 그래프나 인덱스는 다르다. 세 수업을 연결할 때 이 지정이 계속 보여야 한다.

연구 확장으로 과도 시작 공분산을 유도하고, 관측 함수에 따른 자기공분산을 분석하며, 경험적으로 추정한 점근 분산을 여기의 지정 모델 유한 답과 비교하자. 다변량·비정상 확장에는 추가 모델과 근거가 필요하다. Interactive Book에 등록된 세 읽기 화면은 고정 개념 단계, 시각화, 안내 실험, 해설 퀴즈, 취소 가능한 worker를 연결한다. 이 통합에는 실제 읽기 검사가 필요하며 독립 계산만으로 나머지 교육과정과 연구 확장이 끝나는 것은 아니다.