동적 수송·연속방정식과 작용

정적인 계획을 움직이는 밀도로 바꾸기

유한한 이차 모멘트의 확률밀도에서 동적 이차 수송은

을 고정 끝점 아래 최소화한다. 여기서는 1/2를 넣지 않아 최솟값이 W₂²다. 연속방정식은 가능 조건이지 최소 작용 인증 자체는 아니다. 여러 시간 속도와 우회 경로가 같은 질량과 끝점을 보존할 수 있다.

정확히 계산하는 Gaussian 경로

끝점은 N(m₀,σ₀²),N(m₁,σ₁²), 표준편차는 양수다. 진행률 s(t)에 따라 m=(1−s)m₀+sm₁, σ=(1−s)σ₀+sσ₁로 두자. 고정 표준 좌표 z의 입자 x=m+σz를 미분하면

분산이 아닌 표준편차의 보간이 단조 Gaussian 수송 map과 대응한다. 밀도는 실수 전체에서 정규화한다. 그림의 유한 창 때문에 확률 모형을 자른 것은 아니다.

밀도 변화와 flux 발산 검사

Gaussian 밀도 ρ에서

구현은 ρₓ=−(x−m)ρ/σ², vₓ=σ̇/σ로 ∂ₓ(ρv)를 따로 계산한다. 해석적으로 합은 0이지만 수치 잔차를 억지로 0으로 바꾸지 않고 표시한다.

파란 선은 밀도, 주황 선은 flux ρv다. 무차원 좌표에서도 서로 다른 양이다. 음의 flux는 왼쪽 이동을 뜻할 수 있지만 밀도는 비음수다.

시간 속도를 바꾸면 작용이 커진다

Gaussian 모멘트로 ∫ρv²dx=ṁ²+σ̇²이므로 전체 작용은

s=t의 적분은 1이라 작용이 W₂²다. s=t²에서는 4/3이다. 같은 Gaussian 가족을 지나고 연속식도 만족하지만 일정 속도가 아니어서 더 비싸다. 끝점 일치와 동적 최적성을 구별하자.

직접 풀기와 풀이

m₀=−1,m₁=1,σ₀=0.5,σ₁=1이면 끝점 제곱 거리는 4.25다. 선형 시간 t=0.5에서 m=0,σ=0.75, 순간 적분 운동 에너지도 4.25다. 비선형 시간의 전체 작용은 17/3≈5.666667이다.

x=0에서 밀도 시간 미분과 flux 공간 미분을 각각 읽고 합을 확인하자. 끝점을 같게 하면 속도·flux·작용은 0이지만 밀도는 정규화된 Gaussian으로 남는다. 학습된 속도장에서도 보존식·끝점·작용 최적화를 따로 검사해야 하는 이유를 설명하자.

더 읽기: Peyré와 Cuturi의 동적 최적수송 설명.