균일한 힘의 Hamilton-Jacobi 완전적분

하나의 함수로 운동의 가족을 정리한다

한 직선 위에서 입자가 일정한 힘을 받는다고 하자. 뉴턴 방정식을 직접 적분하면 금방 풀 수 있는 문제다. 여기서는 일부러 쉬운 운동을 골라 더 낯선 관점을 배운다. 위치·시간·매개변수의 스칼라 함수 하나에서 운동량과 궤적의 이름표를 함께 읽는 방법이 Hamilton-Jacobi 이론이다.

등고선 지도를 떠올려 보자. 높이 한 값만으로 이동 방향을 알 수 없고 기울기를 봐야 한다. 이 이론에서는 위치에 대한 기울기가 속도가 아니라 운동량이다. 매개변수에 대한 다른 기울기는 어느 궤적을 따라가는지 알려 준다. 다만 아무 함수나 미분해서 운동량이라고 부른다고 실제 운동이 되는 것은 아니다. 함수가 맞는 편미분방정식을 만족해야 한다.

이 단원에서는 유효한 생성함수를 유도하고 초기 조건을 복원한 뒤, 함수를 일부러 손상한다. 손상된 함수도 정준 변환은 만들 수 있다. 이 반례를 통해 정준성과 운동방정식의 해라는 조건을 분리한다.

먼저 역학 문제와 단위를 고정한다

위치 $q$는 m, 운동량 $p$는 kg m/s, 시간 $t$는 s다. 질량 $m>0$은 일정하고 외력 $F$는 위치·시간에 의존하지 않는다. 다음 Hamiltonian과 Lagrangian을 사용한다.

$$H(q,p)=\frac{p^2}{2m}-Fq,\qquad L(q,\dot q)=\frac m2\dot q^2+Fq.$$

퍼텐셜은 $-Fq$다. 따라서 양의 힘은 위치가 증가하는 방향으로 가속한다. Hamilton 방정식은 $\dot q=p/m$, $\dot p=F$이며 초기 위치와 초기 운동량이 모두 필요하다. 위치 함수만 올바르게 구해 놓고 표시한 운동량이 첫 방정식을 어기면 완전한 위상 공간 해가 아니다.

생성함수 $S$의 단위는 작용인 Js다. 위치 미분 $S_q$는 운동량, 시간 미분 $S_t$는 에너지 단위다. 작용과 에너지의 수치만 비교하거나 $S_q$를 질량으로 나누지 않은 채 속도로 해석하지 않는다. 이후 그림에서도 Js·J·m/s·N을 서로 다른 축으로 다룬다.

완전적분 후보를 직접 유도한다

이 문제의 Hamilton-Jacobi 방정식은

$$S_t+\frac{(S_q)^2}{2m}-Fq=0$$

이다. 힘을 적분한 운동량이 $\alpha+Ft$가 될 것이라는 점에서 $S=(\alpha+Ft)q+f(\alpha,t)$를 시도한다. 대입하면 위치 항이 상쇄되어

$$f_t=-\frac{(\alpha+Ft)^2}{2m}$$

가 된다. 시간 적분으로 얻는 함수족은

$$S_0(q,\alpha,t)=(\alpha+Ft)q -\frac{\alpha^2t}{2m}-\frac{\alpha Ft^2}{2m} -\frac{F^2t^3}{6m}+\frac{c\alpha^2}{2}$$

이다. 마지막 항은 위치·시간에 의존하지 않아 방정식에 영향을 주지 않는다. $\alpha$의 단위는 운동량이고 $c$는 s/kg이다. 여기서 아래첨자 0은 유효한 함수족을 뜻하며 시간 0에 대입했다는 표기가 아니다. 적분할 때 어떤 변수를 고정했는지부터 확인하면 이 상수 항의 의미가 분명해진다.

완전하다는 말의 국소적 의미를 확인한다

한 개의 구성 좌표에서는 독립적인 운동량 매개변수 한 개와 정칙한 혼합 미분이 필요하다. 이 예에서는

$$\frac{\partial^2S_0}{\partial q\partial\alpha}=1$$

이므로 운동량 관계를 $\alpha$에 대해 뒤집을 수 있다. 이어 매개변수 미분을 새로운 짝 좌표로 사용한다. 함수 전체에 임의의 작용 상수 하나를 더할 수 있다는 사실은 필요한 운동량 매개변수를 확보한 것과 다르다.

완전적분이라고 해서 스칼라 값 한 개만으로 초기 조건 없이 궤적이 정해지는 것은 아니다. 여전히 두 상수를 지정해야 한다. 이 예로 모든 Hamiltonian에 전역적이고 단일값인 완전적분이 있다고 결론 내릴 수도 없다. 뒤의 조화진동자 예에서는 위상 흐름이 매끄러워도 특정 독립 변수로 쓴 생성함수 좌표계가 실패한다.

두 상수로 초기 조건과 운동을 복원한다

길이 단위의 상수를 $\beta=S_{0,\alpha}$로 두자.

$$\beta=q-\frac{\alpha t}{m}-\frac{Ft^2}{2m}+c\alpha.$$

이 식을 위치에 대해 풀면

$$q(t)=q_0+\frac{\alpha t}{m}+\frac{Ft^2}{2m},\qquad p(t)=\alpha+Ft,\qquad q_0=\beta-c\alpha$$

가 된다. $\alpha=p(0)$이지만 $\beta=q(0)$은 $c=0$일 때만 성립한다. 두 함수를 시간 미분하여 Hamilton 방정식 두 개를 각각 확인하자. 작용의 덧셈 상수는 초기 위치나 초기 운동량을 대신하지 못한다.

SI 단위로 $m=1$, $F=1$, $\alpha=1$, $\beta=c=0$을 선택하면 1초의 위치는 $3/2$ m, 운동량은 2 kg m/s다. 에너지는 운동에너지 2 J에서 위치 항 $3/2$ J를 빼서 $1/2$ J다. 먼저 이 작은 예제를 손으로 계산한 다음 곡선과 정확 표를 읽으면 부호를 놓치기 어렵다.

장의 조회점과 선택한 궤적을 구분한다

$\alpha$와 시간을 고정해도 $S_0$는 여러 위치에서 평가할 수 있다. 하나의 $\beta$로 고른 궤적만이 아니라 초기 위치가 다른 운동의 가족을 담고 있기 때문이다. 실습의 조회 위치 편차는 이 차이를 드러낸다.

기준 위치에서 조회점만 1 m 옮기면 $S_{0,\alpha}$도 1 m 증가한다. 기준 궤적 자체가 바뀐 것은 아니다. 유효한 함수족이라면 옮긴 점은 다른 초기 위치를 가진 물리적 특성곡선 위에 있을 수 있다. 기준 궤적에 속하지 않는다는 말과 비물리적이라는 말을 혼동하지 않는다.

앞의 1초 예제에서 조회 위치를 $5/2$ m로 옮겨도 운동량은 2 kg m/s지만 에너지는 $-1/2$ J가 된다. 다른 초기 위치의 궤적을 조회했기 때문이다. 한 궤적 안에서 에너지가 보존되지 않은 사례가 아니다. 에너지 값을 비교하기 전에 현재 조회점이 선택 궤적 위인지 확인한다.

정준 변환을 유지하면서 방정식을 손상한다

이번에는 일부러 다음 항을 추가한다.

$$S_\lambda=S_0+\frac\lambda2tq^2,\qquad [\lambda]=\mathrm{N/m}.$$

물리적 Hamiltonian은 바꾸지 않는다. $\lambda$는 생성함수 후보의 결함이며 외력에 추가한 스프링 강성이 아니다. 이 후보의 미분은

$$p_\lambda=\alpha+Ft+\lambda tq,\qquad \beta=S_{\lambda,\alpha}=S_{0,\alpha}$$

다. 혼합 미분은 여전히 1이다. 상수 $(\beta,\alpha)$에서 표시한 $(q,p)$로 가는 Jacobian은

$$M=\begin{pmatrix} 1&t/m-c\\ \lambda t&1+\lambda t(t/m-c) \end{pmatrix},\qquad \det M=1$$

이다. 비대각 성분의 단위는 각각 s/kg와 kg/s다. 한 자유도에서는 이 정준 변환 조건이 $\lambda\ne0$에도 성립한다. 그러나 정준 변환이 있다는 것만으로 변환된 Hamiltonian이 0이라고 말할 수 없다. 운동을 단순하게 만드는 변환인지 별도로 검사해야 한다.

한 점 대신 전역 결함 계수를 계산한다

직접 미분한 Hamilton-Jacobi 잔차는

$$\mathcal R=S_{\lambda,t}+H(q,S_{\lambda,q}) =\left(\frac\lambda2+\frac{\lambda^2t^2}{2m}\right)q^2 +\frac{\lambda t(\alpha+Ft)}m q$$

이다. 위치와 시간을 독립 변수로 두었을 때 모든 계수가 사라져야 한다. 이 함수족 전체에서는 정확히 $\lambda=0$이 그 조건이다. 단항식 $q^2,t^2q^2,tq,t^2q$의 계수는 단위도 서로 다르므로 절댓값을 무조건 합친 하나의 물리적 오차 노름으로 만들지 않는다.

$q=0$에서는 매개변수와 무관하게 조회 잔차가 0이다. 그러므로 한 점에서 통과해도 전역 방정식이나 선택한 궤적의 물리성을 인증하지 않는다. $q_0=\alpha=F=0$인 특별한 선택은 잘못된 함수족 안에서도 원점에 그대로 머물 수 있다. 특수한 해 하나와 독립 상태 전체의 항등식은 다른 검증 대상이다.

상수를 잘못 고정하면 어떤 운동이 나오는지 본다

손상된 함수에서도 $\alpha,\beta$를 상수로 고정하면 위치는 기준 운동과 같지만 운동량이 달라진다. 두 Hamilton 잔차는

$$\dot q-\frac{p_\lambda}{m}=-\frac{\lambda tq}{m},\qquad \dot p_\lambda-F=\lambda(q+t\dot q)$$

다. $m=1$, $F=0$, $\alpha=1$, $\beta=c=0$, $\lambda=1$인 예의 1초를 보자. 기준 위치는 1 m, 고정 이름표에서 읽은 운동량은 2 kg m/s다. 속도 잔차는 $-1$ m/s, 힘 잔차는 2 N이다. 별도의 장 조회점을 $q=0$으로 옮기면 그 조회점의 PDE 잔차는 0이지만 기준 궤적의 이 두 잔차는 그대로다.

일반적인 생성 변환에서 새로운 Hamiltonian은 $K=\mathcal R$를 새 변수로 표현한 함수다. 올바른 새 운동은 $\dot\beta=K_\alpha$, $\dot\alpha=-K_\beta$를 따른다. 상태에 의존하는 $K$를 생략하고 새 변수를 무조건 상수라고 놓으면 물리적 운동을 바꾼다. 정준성 검사가 이 실수를 대신 잡아 주지는 않는다.

생성함수 값과 실제 작용 적분을 연결한다

물리적 기준 궤적에서 선언한 Lagrangian을 적분하면

$$I(t)=\left(\frac{\alpha^2}{2m}+Fq_0\right)t +\frac{\alpha Ft^2}{m}+\frac{F^2t^3}{3m}$$

를 얻는다. 유효한 함수족에서는

$$S_0(q(t),\alpha,t)-S_0(q_0,\alpha,0)=I(t)$$

다. 마지막 값만 읽지 말고 초기 값을 빼야 한다. 첫 예에서 $I(1)=11/6$ Js다. 같은 물리적 궤적을 유지하면서 $c=1$ s/kg, 보상한 $\beta=1$ m를 쓰면 생성함수의 초기 값은 $1/2$ Js, 마지막 값은 $7/3$ Js지만 차이는 여전히 $11/6$ Js다.

손상된 후보에서는 이 차이와 실제 적분의 차이가 $\lambda t q(t)^2/2$다. 실습은 이 결함을 표시하면서 잘못 읽은 운동량을 실제 운동량으로 바꾸어 부르지 않는다. 위치 함수가 실제 해라는 사실과 임의의 후보 미분이 그 해의 운동량이라는 주장을 분리하는 계산이다.

이름표 변경과 역학 모형 변경을 나눈다

$c\alpha^2/2$를 더하면 짝 이름표가 $c\alpha$만큼 이동한다. 이는 궤적 가족의 표기를 바꾸는 자유다. 위치 함수의 전미분을 역학적 Lagrangian에 추가하는 연산과 같지 않다. 어떤 함수에 어떤 변수를 독립적으로 넣었는지를 먼저 적어야 한다.

$c$를 바꾼 뒤 동일한 초기 상태를 비교하려면 $\beta-c\alpha$를 유지하도록 $\beta$를 조정한다. $\beta$를 고정한 채 $c$만 바꾸면 초기 위치가 달라진다. 두 생성함수의 스칼라 값이 다르다고 곧바로 다른 물리학이라고 하거나, 이름표만 다르다고 실제 초기 조건 변화까지 무시하지 않는다.

학습한 생성함수를 비교할 때도 마찬가지다. 매개변수만의 항은 표기 관습 차이일 수 있지만 위치 미분의 결함은 복원한 운동량을 바꿀 수 있다. 함수 값의 적합도와 도함수의 물리적 적합도를 서로 다른 진단으로 남긴다.

곡선의 축과 극한 사례를 읽는다

시간 곡선은 0초부터 2초까지다. 장 곡선은 조회 시간을 고정하고 기준 위치 주변의 위치를 표본화한다. 장 곡선의 가로축은 실제 위치이며 시간이거나 입력 편차 코드가 아니다. 조회 편차만 바꾸면 기준 시간 곡선과 장 곡선 자체는 바뀌지 않는다.

작용 차이는 Js, 에너지는 J, 속도 잔차는 m/s, 힘 잔차는 N이다. 각 단위에 맞는 그림을 따로 읽는다. 조회값과 다항식 계수는 약분한 유리수로 계산한다. 곡선은 해석적 함수의 표본이며 수치 ODE 적분으로 얻은 궤적이 아니다.

$F=0$이면 자유 운동으로 돌아간다. $\alpha=0$이라도 힘이 있으면 계속 정지하지 않는다. $t=0$에는 손상된 후보의 선택 잔차가 모두 0이어도 이후에 방정식을 어길 수 있다. 이런 경계와 초기 조건은 작은 epsilon으로 분모를 바꿀 문제가 아니다.

AI 연구에서 무엇을 따로 검증할지 정한다

신경망이 출력한 스칼라 함수를 미분하면 운동량 장을 만들 수 있다. 그 구성만으로 Hamilton-Jacobi 방정식, 의도한 초기 조건, 실제 특성곡선 운동이 모두 강제되지는 않는다. 각각의 요건을 실험 기록에 분리해서 적는다.

Hamiltonian과 단위, 매개변수 정의역, 초기 상태 이름표, 혼합 Hessian의 가역성, 독립 상태에서의 PDE 잔차를 확인한다. 복원한 경로에서는 두 Hamilton 방정식을 검사하고 작용 차이를 독립 Lagrangian 적분과 비교한다. 작은 표본 잔차가 전역 정리를 증명하지는 않는다.

정준 구조를 내장한 모형이라도 새 Hamiltonian이 사라지는지는 별도다. 이 유한 다항식 실험은 그 구분을 정확히 드러내지만 신경망 PDE 훈련의 수렴, 임의 제어 문제의 해, 일반적인 전역 적분 가능성까지 증명하지 않는다. 이 한계를 적는 일은 후속 연구에서 무엇을 새로 보여야 하는지 정하는 데 도움이 된다.

해설과 함께 여섯 가지를 확인한다

문제 1

첫 유효 예제의 1초 상태, 에너지, 작용 차이를 계산하라.

해설: 위치는 $1+1/2=3/2$ m, 운동량은 $1+1=2$ kg m/s다. 에너지는 $2-3/2=1/2$ J이며 작용은 $1/2+1+1/3=11/6$ Js다. 에너지가 작용 그 자체가 아니라는 점을 단위와 적분으로 확인한다.

문제 2

$c$를 0에서 1 s/kg로 바꾸되 $q_0=0$, $\alpha=1$ kg m/s를 유지하려면 $\beta$를 어떻게 바꾸는가?

해설: $\beta=c\alpha=1$ m로 보상한다. 생성함수 초기·마지막 값은 모두 $1/2$ Js 증가하지만 차이와 위치 궤적, 실제 운동량은 그대로다. $\beta$를 그대로 두면 동일 초기 상태 비교가 아니다.

문제 3

$q=0$에서 손상된 후보의 잔차가 0인 것으로 충분하지 않은 이유는 무엇인가?

해설: 잔차의 모든 항에 $q$가 곱해져 이 절단면에서만 사라질 수 있다. 독립 상태에서는 $q^2$와 $q$의 계수가 남는다. 혼합 Hessian은 여전히 1이므로 정준성 검사만 해도 이 PDE 결함을 놓친다.

문제 4

손상된 자유 예제의 1초 기준 운동량과 고정 이름표의 운동량을 비교하라.

해설: 실제 운동량은 1 kg m/s지만 손상된 함수의 미분은 기준 위치에서 2 kg m/s다. 위치의 실제 속도는 1 m/s여서 첫 잔차가 $-1$ m/s다. 손상된 운동량의 변화율은 2 N인데 원래 물리적 힘은 0이다.

문제 5

전역 방정식을 만족하지 않는 함수족에도 물리적인 선택 궤적이 포함될 수 있는가?

해설: 가능하다. $q_0=\alpha=F=0$이면 선택 위치와 운동량이 0에 머물러 $\lambda\ne0$이어도 이 선택은 실제 해다. 특별한 궤적 하나가 함수족의 독립 상태 계수를 없애지는 않는다.

문제 6

유효한 장의 옮긴 조회점에서 선택 궤적과 다른 에너지가 나와도 되는 이유를 설명하라.

해설: 위치 편차만큼 도함수 이름표 $\beta$가 바뀌어 다른 초기 위치의 특성곡선을 읽는다. 같은 시간의 운동량이 같아도 $-Fq$가 달라 에너지가 다르다. 보존은 각 물리적 궤적을 따라 성립하며 서로 다른 궤적의 임의 점들 사이에 같은 에너지를 요구하지 않는다.

읽을거리와 이 단원의 표기

정준 생성함수와 Hamilton-Jacobi의 기본 틀은 Tong의 Classical Dynamics 4.4.3·4.7절과 Sussman·Wisdom의 Structure and Interpretation of Classical Mechanics 6.1절을 참고한다. 이 단원은 $S_0,S_\lambda,\alpha,\beta$를 위에서 정의한 의미로 사용한다. 균일한 힘의 함수족·결함·이름표 보상·정확한 수치 예제는 여기서 직접 유도하고 독립 기호 미분과 작용 적분으로 검사한다.