Brownian bridge와 시간 분할의 측도

1. 경로적분은 보통의 적분에서 시작한다

시작값과 마지막 값이 알려진 센서의 흔들리는 기록을 생각해보자. 두 끝을 연결하는 중간 기록은 수없이 많다. 경로적분은 이들의 기여를 합치지만, “모든 경로를 더한다”는 말만으로 확률 법칙·적분 측도·수렴하는 연산이 정해지는 것은 아니다.

먼저 유한한 관측 시각을 선택한다. 그러면 이 장의 모든 적분은 이름이 명시된 변수에 대한 보통의 가우스 적분이다. 정규화를 확인하고 마지막 값으로 조건화하며, 다른 시간 격자를 비교한 뒤 연속 경로를 논의할 수 있다.

선수 내용은 가우스 조건화·공분산·다변수 적분, 분포와 그림의 차이다. 공간 사슬 단원과 행렬 계산은 닮았지만 여기서는 첨자가 시간을 뜻하며 양끝을 고정한다.

2. 시간 격자와 물리 단위를 선언한다

전체 시간τ>0을 N개의 같은 구간으로 나누고, 확산 상수D>0과 고정된 양끝a,b를 둔다. 위치는 N+1개지만 적분하는 내부 변수는 N−1개다.

$$t_i=i\delta,\qquad \delta=\frac{\tau}{N},\qquad x_0=a,\quad x_N=b.$$

D의 단위는 위치²/시간이다. 따라서 Dδ와 모든 공분산은 위치² 단위다. N은 내부 변수 수가 아닌 구간 수다. 계획한 계산기는 N=2…32, 양의 유리수τ,D≤16과 유리수|a|,|b|≤16을 받으며 분자·분모는 각각12자리 이내다. 이 유한 계산 한도가 수학적 연속체 극한을 정의하지는 않는다.

3. 먼저 각 증분을 정규화한다

길이δ의 제약 없는 한 걸음은 평균 증분0, 분산2Dδ를 갖는다. 밀도에는 앞의 정규화 인자가 필요하다. 지수함수만으로는 정규화된 밀도가 아니다.

$$g_\delta(y-x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi D\delta}}\exp\!\left[-\frac{(y-x)^2}{4D\delta}\right].$$

N개의 밀도를 곱하면 시작값이 주어졌을 때 중간 값들과 마지막 값의 결합 밀도가 된다. 중간 값만 적분하면 b에 대한 밀도가 남는다. 단위는 위치의 역수이며, 정확한 사건X(τ)=b에 배정한 무차원 확률이 아니다.

4. 중간 위치를 적분해 커널을 얻는다

가우스 합성곱에서는 분산이 더해진다. 이웃한 걸음을 반복해서 적분하면 N에 관계없이 같은 전체 시간의 자유 커널을 얻는다.

$$K_\tau(b,a)=\int_{\mathbb R^{N-1}}\prod_{i=1}^{N}g_\delta(x_i-x_{i-1})\,dx_1\cdots dx_{N-1} =\frac{e^{-(b-a)^2/(4D\tau)}}{\sqrt{4\pi D\tau}}.$$

이 정확한 등식은 격자를 조밀하게 했을 때 그림이 비슷해진다는 관찰보다 강하다. 정규화 상수를 포함한 가우스 적분으로 따라온다. δ 인자를 하나 빠뜨리면 가장 가능성 높은 경로의 모양이 같더라도 적분값은 달라진다.

5. 조건화가 bridge를 만든다

결합 밀도를 Kτ(b,a)로 나눈다. 그 결과는 N−1개 내부 좌표에서 적분값1인 밀도이며, 지정한 양끝의 유한 Brownian bridge 법칙이다.

$$p_N(x_1,\ldots,x_{N-1}\mid a,b)=\frac{\prod_{i=1}^{N}g_\delta(x_i-x_{i-1})}{K_\tau(b,a)}.$$

연속 변수의 마지막 값을 조건으로 삼을 때는 조건부 밀도를 사용한다. 확률0인 정확한 끝점 사건의 확률로 나누는 것이 아니다. 커널이 올바른 밀도 정규화를 제공한다. 같은 양끝의 경로를 많이 그렸다는 사실만으로 이 법칙이 정해지지는 않는다. 표본 추출 과정이 실제로 이 밀도를 재현해야 한다.

6. 시간 간선에서 정밀도 행렬을 읽는다

지수는 이웃 차이의 이차 합이다. 크기N−1의 L은 대각2, 바로 이웃−1인 행렬이다. 양끝은 선형 항에 들어가며 새로운 확률 좌표가 아니다.

$$A_N(x)=\frac{1}{4D\delta}\sum_{i=1}^{N}(x_i-x_{i-1})^2, \qquad Q=\frac{L}{2D\delta}.$$

첫·마지막 내부 위치도 양끝 간선을 포함한 두 간선에 접하므로 대각은2다. N=2이면 내부 변수 하나가 양끝 모두에 접한다. 따라서 선형 힘에 한쪽 끝만 넣지 말고 a+b를 더해야 한다. L은 모든 N≥2에서 양의 정부호다. 제거해야 할 상수 영모드는 없다.

7. 평균과 공분산을 유도한다

평균은 고정된 양끝을 가진 이산 이차 차분 방정식을 만족하므로 매 걸음 같은 크기로 변한다. L의 역행렬은 어느 첨자에 대해서도 구간별 선형이며, 양끝에서0이고 이산 기울기에 필요한 단위 도약이 있다.

$$\mu_i=a+\frac{i}{N}(b-a),\qquad C_{ij}=2D\delta\left[\min(i,j)-\frac{ij}{N}\right],\qquad 1\le i,j<N.$$

Q에 C를 곱해보면 선택한 첨자 밖에서는 항들이 상쇄되고 해당 첨자에서1이 된다. 같은 시각의 분산은 고정된 양끝에서0이고 가운데 근처에서 가장 크다. 양끝은 확정됐지만 내부 값은 일반적으로 확정되지 않았다.

8. 네 구간의 bridge를 손으로 계산한다

N=4,τ=D=1,a=0,b=1을 두자. δ=1/4, 평균은 (1/4,1/2,3/4)이며 정확한 공분산은 다음과 같다.

$$Q=\begin{pmatrix}4&-2&0\\-2&4&-2\\0&-2&4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}3/8&1/4&1/8\\1/4&1/2&1/4\\1/8&1/4&3/8\end{pmatrix}.$$

예를 들어 QC 가운데 대각은 −2(1/4)+4(1/2)−2(1/4)=1이다. 가운데 평균은1/2이지만 분산도1/2이다. 평균 곡선은 전형적인 결정론적 궤적이 아니다. 내부 위치의 양의 상관과 증분의 음의 상관은 동시에 가능하다.

9. 행렬식과 밀도 상수를 확인한다

삼중대각 행렬식은 dₖ=2dₖ₋₁−dₖ₋₂와 d₀=1,d₁=2를 만족한다. 따라서 크기N−1인 L의 행렬식은 N이다. 완전제곱으로 양끝 변위와 요동을 분리한다.

$$\det Q=\frac{N}{(2D\delta)^{N-1}},\qquad A_N(\mu)=\frac{(b-a)^2}{4D\tau},\qquad \int e^{-A_N(x)}dx=e^{-A_N(\mu)}\frac{(2\pi)^{(N-1)/2}}{\sqrt{\det Q}}.$$

여기에 N개의 증분 정규화 인자를 곱하면 Kτ를 얻는다. 네 구간 예의 detQ는32다. 지수만 남기면 행렬식을 놓쳐 전체 시간 정규화가 틀린다. 유한 유도식 검사에서는 양수 prefactor의 제곱을 유리수로 비교한다. π나 제곱근의 소수 구간까지 보증했다고 주장하지 않는다.

10. 성긴 격자는 가우스 주변화로 얻는다

N구간을2N구간으로 정련하고 짝수 시각만 남기자. 남긴 시각은 원래 시각과 정확히 같다. 공분산 식에2i,2j와δ/2를 대입하면 원래Cᵢⱼ를 얻고 평균도 같다. 두 법칙이 가우스이므로 이 일치가 유한 차원 분포 전체를 결정한다.

다른 방법으로 미세 정밀도에서 홀수 좌표를 소거할 수도 있다. 홀수 블록은 대각 행렬이며 Schur 보완은 원래Q와 같다. 이 설명은 일관성의 별도 행렬 근거다. 정밀도의 행과 열을 그냥 삭제하면 빠진 위치를 고정한 조건부 법칙이 되며, 원하는 주변 법칙이 아니다.

11. 적분 관측량은 격자와 함께 바뀐다

경로 아래 면적을 사다리꼴로 근사하면 내부 위치를 모두 사용한다. 정련에서 예전 시각의 주변분포는 정확히 같아도, 미세 격자의 이 관측량에는 새로운 확률 위치가 추가된다.

$$B_N=\delta\left[\frac{a+b}{2}+\sum_{i=1}^{N-1}x_i\right],\qquad \mathbb E B_N=\frac{\tau(a+b)}2,\qquad \operatorname{Var}(B_N)=\frac{D\tau^3}{6}\left(1-\frac1{N^2}\right).$$

N=4,τ=D=1의 분산은5/32, N=8에서는21/128이므로1/128만큼 커진다. 극한 식은1/6이며 성긴 격자 분산은1/96을 놓친다. 한 고정 시각의 공분산이 격자와 무관하다고 해서 모든 이산 관측량이 이미 정확한 것은 아니다.

12. 고정된 양끝은 증분들을 결합한다

증분의 합은 반드시 b−a다. 각 평균은 (b−a)/N이며 증분 공분산에는 음의 비대각 항이 있다.

$$\operatorname{Cov}(\Delta x_i,\Delta x_j)=2D\delta\left(\mathbf1_{i=j}-\frac1N\right).$$

네 구간 예에서 각 분산은3/8, 서로 다른 증분의 공분산은−1/8이다. 한 행의 합은0으로, 전체 변위가 고정됐다는 조건과 맞는다. 전역 제약이 음의 국소 확산 상수 없이도 음의 상관을 만드는 또 하나의 예다.

13. 매끄러운 평균과 확률 경로를 구분한다

μ를 이은 선은 직선이다. 그러나 짧은 증분의 요동 크기는 보통√δ 정도인 반면 미분 가능한 경로의 증분은δ 정도다. 유한 격자에서는 증분 제곱 합의 기댓값을 비교할 수 있다.

$$\mathbb E\sum_{i=1}^{N}(\Delta x_i)^2 =\frac{(b-a)^2}{N}+2D\tau\left(1-\frac1N\right),\qquad \mathbb E A_N=\frac{(b-a)^2}{4D\tau}+\frac{N-1}{2}.$$

증분 제곱 합은2Dτ로 접근하지만 기대 이산 작용은 N과 함께 발산한다. 유한 정규화 법칙의 존재와 모순되지 않는다. 연속 Brownian 경로를 유한한 고전적 운동 적분을 갖는 보통의 미분 가능 궤적으로 취급하면 안 된다는 경고다. 격자 표본을 이은 조각별 선형 그림은 표시 방법이며 매끄러움의 증명이 아니다.

14. 보조 원천의 단위와 의미를 구분한다

j의 단위가 위치의 역수이면 jᵀx는 무차원이다. 이 지수는 이미 조건화한 유한 법칙의 모멘트를 생성한다.

$$W_N(j)=\log\mathbb E[e^{j^Tx}]=j^T\mu+\frac12j^TCj, \qquad \nabla W_N=\mu+Cj,\qquad \nabla^2 W_N=C.$$

실험은0부터N까지 선택한 격자 첨자 하나에 점 원천을 둔다. 세기는 유리수|j|≤16이며 분자·분모는 각각12자리 이내다. 고정된 양끝에 놓은 원천은 W에 상수ja 또는jb만 더하며 공분산 응답은0이다.

여기서 j는 보조 기울이기이며 앞의 가우스 장 단원의 물리 에너지 원천J가 아니다. 양의 지수 기울이기는 평균을 바꾸되 가우스 공분산은 그대로 둔다. 네 구간 예의 가운데에 크기2인 원천을 주면 W=2이고 내부 평균은 (3/4,3/2,5/4)가 된다. 양끝은 여전히0,1이다. 따라서 기울어진 평균이 마지막 값보다 커져도 끝점 조건을 위반하지 않는다.

15. 극한의 세 의미를 나눈다

예전 시각의 주변분포가 일치한다는 것은 유한 항등식이다. 이런 유한 분포를 갖는 연속 확률 함수를 구성하려면 추가적인 확률 공간 구성과 연속성 논증이 필요하다. 적분 관측량의 수렴이나 potential로 가중한 법칙의 근사가 수렴하는지는 또 다른 문제다.

공분산 식은 연속 bridge의 커널2D[min(s,t)−st/τ]를 제안한다. 이 식은 유한 법칙과 일관된 목표이지만, 식을 적는 것만으로 표본 경로에 관한 모든 명제나 임의 potential의 적분 정리가 증명되지는 않는다. 이 장의 실행 검사는 명시한 유한 항등식을 확인한다. 이후 단원은 더 강한 정리를 사용할 때마다 필요한 가정을 따로 선언해야 한다.

16. Euclidean 양자역학과의 연결을 한정한다

자유입자에서 D=ℏ/(2m)을 선택하면 양의 Euclidean 시간 운동 지수S_E/ℏ와 일치한다. 여기서τ는 Euclidean 시간이지 온도가 아니다. 고정끝 커널과 양끝을 동일하게 놓고 적분해 얻는 trace도 서로 다르다.

이 수학적 연결이 양의 확산 밀도를 실시간 양자 전이 확률로 바꾸지는 않는다. 실시간 진화는 진동하는 위상을 사용하며 Born 확률은 진폭과 상태를 필요로 한다. Potential 가중·연산자 곱 극한·실시간 연속은 따로 다룬다. 이 자유 유한 모형은 모든 Hamiltonian에서 그 절차가 타당하다는 증명이 아니다.

17. 작은 정확 계산을 Python으로 재현한다

이 예에는 표준 라이브러리만 필요하다. 난수 표본 없이 행렬 항등식과 서로 다른 두 면적 분산을 확인한다.

from fractions import Fraction as F
N = 4
C = [[2 * F(1, N) * (min(i, j) - F(i*j, N))
      for j in range(1, N)] for i in range(1, N)]
Q = [[F(4 if i == j else -2 if abs(i-j) == 1 else 0)
      for j in range(N-1)] for i in range(N-1)]
assert all(sum(Q[i][k] * C[k][j] for k in range(N-1)) == (i == j)
           for i in range(N-1) for j in range(N-1))
area_variance = sum(map(sum, C)) / N**2
assert area_variance == F(5, 32)
fine_area_variance = (1 - F(1, 8**2)) / 6
assert fine_area_variance - area_variance == F(1, 128)
print(C[1][1], area_variance, fine_area_variance)

18. 예측하고 비교하는 여섯 실험

계산하기 전에 어떤 값이 바뀔지 예측하자.

바꾸는 조건	확인할 예측	이유
D를 두 배	평균 유지, 공분산·면적 분산 두 배	양끝이 평균을, 확산이 요동 크기를 정한다
양끝을 모두 c만큼 이동	평균 이동, 공분산 유지	증분 에너지는 차이에 의존한다
N,D를 고정하고 τ를 두 배	첨자별 평균 유지, 위치 공분산 두 배, 면적 분산8배	δ와 면적의 시간 인자를 함께 추적한다
τ,D,a,b를 고정하고4→8정련	옛 시각 법칙 유지, 면적 분산 변화	주변분포 일관성과 구적 정확도는 다르다
a를 고정하고 b를 변경	평균 기울기 변화, 공분산 유지	가우스 조건화에서 평균과 요동이 분리된다
가운데 값을 원천으로 기울이기	내부 평균 이동, 공분산 유지	선형 보조 원천이 완전제곱의 중심을 바꾼다

표본 표시를 구현할 때는 고정한 난수 seed, 표본 추정값, 정확한 모집단 값을 구분해야 한다. 같은 유한 표본의 재생은 추가적인 독립 증거가 아니다.

19. 해설 문제

1. N=4이면 적분 변수는 몇 개인가? 세 개다. 양끝은 고정이고 네 개라는 수는 구간을 센다. 양끝도 적분하면 다른 문제를 정의한다.

2. L의 첫 대각이 왜2인가? 첫 내부 값은 a에서 오는 간선과 다음 이웃으로 가는 간선에 모두 나타난다. 양끝 간선도 선형 힘뿐 아니라 이차 항에 기여한다.

3. N=4,τ=D=1의 가운데 분산1/2은 정련 후에도 같은가? 그렇다. N=8에서는 가운데 첨자가4로 바뀌며 같은 식에서1/2을 얻는다. 배열 첨자는 바뀌지만 물리 시각은 같다.

4. Q의 행과 열을 삭제해 성긴 격자를 얻어도 되는가? 그것은 누락된 변수를 조건으로 고정한다. 주변화하려면 Schur 보완을 사용한다. 자유 bridge에서는 보완이 원래 성긴 정밀도와 정확히 같다.

5. 옛 시각의 주변분포가 같아도 왜 면적 분산이 바뀌는가? 미세 사다리꼴 면적은 새 좌표를 포함하는 다른 관측량이다. 예에서는5/32에서21/128로 커진다.

6. 음의 증분 공분산은 음의 확산을 뜻하는가? 아니다. 모든 증분의 합이 고정된 끝점 변위여야 한다. N=4에서는 분산3/8, 서로 다른 증분 공분산−1/8이어서 각 행의 합이0이다.

7. 기대 작용이 커지면 유한 확률 법칙이 무효가 되는가? 아니다. 모든 유한 가우스 밀도는 정규화 가능하다. 이 발산은 전형적인 연속 경로에 보통의 유한한 미분 가능 운동 작용을 부여하면 안 된다는 신호다.

8. 이 양의 커널이 이미 실시간 양자 확률인가? 아니다. 양의 확산/Euclidean 구성이다. 실시간 진폭·위상과 Born 규칙은 따로 정의하고 확인해야 한다.

20. 연구 연결과 더 읽을 자료

Bridge 법칙은 조건부 궤적 모형·Gaussian process 회귀·평활·확산 기반 제안 분포와 연결된다. AI 연구에서는 끝점 조건이 데이터의 실제 조건인지 임의로 부여한 모델링 선택인지 먼저 판단하자. 관측 연산자와 잡음 모형도 함께 검토해야 한다. 유한 주변분포의 일관성이 임의로 학습한 drift나 편향된 경로 관측량의 이산화를 정당화하지는 않는다.

연산자 곱과 양자 경로적분 배경은 Grosche §II.1, 이차 장 요동과의 연결은 Tong의 Statistical Field Theory §2를 읽자. 위 유한 bridge 식과 예제는 이 장의 명시적 법칙에서 유도했다. Euclidean potential 커널·안장 근사·실시간 위상은 후속 처리다.