이 단원 목차
센서 값 하나보다 움직이는 상태 추정
위치 센서는 속도를 직접 측정하지 않는다. 동역학은 시간에 걸친 관측을 연결하고 공분산은 아직 모르는 것을 표현한다. Kalman filter는 Gaussian 상태분포를 예측한 뒤 관측에 조건을 준다. 정확도 해석은 모형·사전분포·잡음 가정에 의존한다. 그림에 보이는 simulator 실제 상태는 필터에 제공하지 않는다.
초기 평균은 0, 공분산은 p0 I이며 실제 초기 상태도 그 사전분포에서 생성한다. 시간 0에는 측정을 갱신하지 않는다. 1부터 N까지 예측하고 위치 관측을 생성한 뒤, 사용 가능한 관측만 갱신한다.
이산 구간 가속 잡음
위치·속도 상태와 시간 간격 dt에서
측정은 y_t=(1,0)x_t+v_t이며 v_t~N(0,R)는 독립이다. 따라서 Q=qGGᵀ다. 구간마다 가속을 한 번 뽑는 이산 모형이지, 적분 공분산의 계수가 다른 연속 Brownian 가속 모형은 아니다. Simulator와 필터의 q,R은 일치한다. 모형이 틀린 경우는 별도 문제다.
예측과 Gaussian 조건부 갱신
이전 평균 m과 공분산 P에서
C=(1,0)이고 공분산은 Joseph 형태로 계산한다.
이 gain을 쓰면 정확한 산술에서 Gaussian 조건부 공분산과 같다. 상쇄만으로 계산하기보다 공분산 항의 합으로 표현한다. 예측된 위치·속도 오차가 연관되어 있으면 위치 관측으로 속도도 수정할 수 있다.
측정 누락과 불확실성
누락 단계는 m+=m-, P+=P-다. 과정과 잠재 센서 잡음은 같은 순서로 생성하므로 누락 간격을 바꿔도 실제 궤적과 가능한 측정값은 유지된다. 필터가 보는 정보만 달라진다.
사용 가능한 측정은 그 단계의 예측 공분산에 비해 불확실성을 줄인다. 그러나 다음 시점까지 동역학과 과정 잡음이 작용하므로 시간 전체에서 posterior가 항상 줄지는 않는다. 한 실현의 제곱 오차도 공분산 자체가 아니어서 증가할 수 있다.
확인 문제와 풀이
q=0,R=1,dt=1,p0=1에서 한 단계의 공분산을 관측 숫자 없이 계산하라.
풀이. P-=[[2,1],[1,1]], S=3, K=(2/3,1/3)ᵀ다. Posterior는 [[2/3,1/3],[1/3,2/3]]이고 위치 분산은 2/3이다. 특정 y에 무관한 값이며 평균은 y에 따라 변한다. 반면 네 단계 동안 측정이 없으면 P=A⁴I(A⁴)ᵀ=[[17,4],[4,1]]이다. 센서가 없는 동안 예측 불확실성이 커질 수 있다.
결합 포함 확률 읽기
위 도식은 추정 오차 좌표다. 주황 등고선은
Whitened 제곱 반경의 분포는 P(radius²≤h)=1-exp(-h/2)다. 따라서 2차원 Gaussian에서 한 시점의 95% 결합 등고선이며 whitened 반경은 약 2.448이다. 반경 2라면 1-exp(-2), 약 86.5%다. 1차원 2-sigma 구간과 혼동하지 말자. 파란 실제 오차가 밖에 있을 수도 있고 모든 시점에서 동시에 안에 있음을 보장하지도 않는다.
AI·로봇과 연결
상태 추정은 센서 스트림과 관측하지 못한 동적 상태의 불확실성을 분리한다. 학습한 필터에도 전이·센서 분포의 가정이 필요하며 평균 예측 오차와 calibration은 별도 검사다. 지금은 일치하는 선형 Gaussian 필터다. 비선형성, 이상치, 미지 잡음, 데이터 연관 문제에는 추가 방법이 필요하다. 공분산 재귀는 모형 조건부 계산이지 보편적 오차 한계가 아니다.
원전
MIT, Dynamic Systems and Control, 6.241J 공개 교재. 가속 잡음 예제와 공분산·결합 확률 계산은 Gaussian 조건부 분포에서 직접 구성했다.
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