양자 상대 엔트로피와 정보처리

1. 상태에 대한 두 가설을 비교하자

실제 상태는 $\rho$인데 모형은 $\sigma$라고 가정한다고 하자. Umegaki 상대 엔트로피는 순서가 있는 두 상태를 비교한다. 로그 밑을 2로 두면

다. 단, $\operatorname{supp}(\rho)\subseteq\operatorname{supp}(\sigma)$여야 한다. 그렇지 않으면 값은 $+\infty$다. 정규화된 상태에서는 음수가 아니고 두 상태가 같을 때에만 0이다. 일반적으로 비대칭이므로 거리 함수는 아니다.

양자 지지집합은 양의 고유값을 갖는 고유벡터들이 생성하는 부분공간이다. 행렬에서 0이 아닌 원소의 위치 목록이 아니다. 밀도행렬과 스펙트럼을 복습하고 행렬 로그를 계산하자.

2. 행렬 로그는 스펙트럼으로 계산한다

full rank인 $\sigma=\sum_js_j|s_j\rangle\langle s_j|$이면

다. 행렬 원소마다 로그를 취하면 안 된다. 올바른 밀도행렬이어도 개별 원소는 음수나 복소수일 수 있다. 특이 행렬에서는 지지 부분공간에서 로그를 해석하고, 지지집합 포함 관계로 유한성을 결정한다.

다음 형태도 유용하다.

마지막 합의 가중치는 $\rho$를 $\sigma$의 고유기저로 측정할 확률이다. 일반적으로 $\rho$ 자신의 고유값이 아니다. 서로 다른 두 기저가 식에 들어간다는 점이 비가환 문제의 핵심이다.

3. 가환 상태에서는 고전 KL 발산으로 돌아간다

$\rho=\operatorname{diag}(4/5,1/5)$, $\sigma=I_2/2$를 선택하면 두 행렬이 가환하고 공통 고유기저를 쓴다. 따라서

다. 가환 상태에서는 공통 기저의 고유값 분포에 대한 고전 KL 발산이 된다. 임의의 비가환 상태에서 대각 원소만 읽는 방법은 이 성질을 갖지 않는다.

반대 방향은 $D(I_2/2\|\rho)=-1-\tfrac12\log_2[(4/5)(1/5)]\approx0.321928$다. 비교 순서를 바꾸면 답이 달라진다.

4. 겹침이 있어도 상대 엔트로피는 무한대일 수 있다

$\rho=|0\rangle\langle0|$, $\sigma=|+\rangle\langle+|$를 보자. 겹침의 제곱은 $1/2$지만 두 1차원 지지 부분공간은 다르다. 한쪽이 다른 쪽에 포함되지 않으므로 $D(\rho\|\sigma)=+\infty$다.

한 복사본으로 완벽히 구분할 수 있다는 뜻은 아니다. trace distance는 $1/\sqrt2$로 1보다 작다. 상대 엔트로피와 최소 오류 판별은 서로 다른 과제를 정량화한다. 참조 상태의 영 고유값 때문에 무한대가 될 수 있지만 두 상태가 직교할 필요는 없다.

참조 $\sigma$가 순수한 큐비트 상태이면 정규화된 $\rho$가 그 지지집합 안에 있으려면 같은 상태여야 한다. 반면 순수 상태에 아주 가까워도 full rank인 참조는 유한한 값을 준다. 임의의 수치 허용오차로 이 구분을 바꾸면 안 된다.

5. 유한한 비가환 예제를 계산하자

다음 상태를 사용한다.

첫 번째 상태는 $Z$ 기저에서 고유값이 $4/5,1/5$다. 두 번째 상태는 $X$ 기저에서 고유값이 $9/10,1/10$이다. $\rho$의 $X$ 기대값이 0이므로 $\sigma$의 각 고유벡터에 대한 가중치는 $1/2$다. 따라서

다. $\sigma$의 계산 기저 대각 성분은 균등하다. 그것만 대입하면 $1-h_2(1/5)$라는 틀린 답이 나온다. 비가환 행렬 로그 구현을 점검하기 좋은 반례다.

6. 두 가설에 같은 채널을 적용한다

완전 양이고 trace를 보존하는 모든 채널 $\Phi$에 대해

가 성립한다. 이것이 정보처리 부등식이다. 두 상태에 같은 채널을 적용해야 한다. 참조만 다른 상태로 바꾸면 비교 문제 자체가 달라진다. 부분추적, 측정, 탈위상에 적용되지만 각 상태의 엔트로피가 항상 감소한다는 주장은 아니다.

완전 $Z$ 탈위상은

로 정의한다. 지정된 기저의 coherence를 지우며, Bloch 좌표에서는 $(x,y,z)$를 $(0,0,z)$로 보낸다.

7. 내려가는 막대 대신 손실량을 계산하자

5절의 $\rho$는 그대로이고 $\sigma$는 $I_2/2$가 된다. 따라서

다.

특이 상태 쌍에서는 $|0\rangle\langle0|$가 보존되고 $|+\rangle\langle+|$가 $I_2/2$로 바뀌어 상대 엔트로피가 1 bit가 된다. 입력이 무한대이면 보통의 유한 차이처럼 빼서 표시하지 말고 수학적 무한값 상태를 명시해야 한다.

시각화에는 두 행렬과 지지집합, 두 Bloch 벡터, 처리 전후 값을 함께 보여준다. 무한대를 잘린 막대로 그리기보다 지지집합 설명을 붙이는 편이 정확하다.

8. 등호는 상태 쌍에 관한 것이지 전역 역함수가 아니다

두 상태가 모두 $Z$ 대각이면 탈위상이 이들을 보존해 등호가 된다. 그러나 같은 채널은 $|+\rangle$의 coherence를 지우므로 모든 큐비트 상태에서 역변환할 수 없다. 한 쌍의 등호가 전역 역함수를 보증하지 않는다.

회복 정리는 명시된 지지집합 조건 아래 등호를 더 정밀하게 설명한다. 회복 사상은 참조 상태와 채널에 의존한다. 이번 장에서는 Petz 사상이나 근사 회복 상계를 계산하지 않는다. 반올림된 두 값이 같다는 사실이 그런 정리를 검증한 증거가 되지도 않는다.

수치 구간이 겹치면 실제 차이가 현재 정밀도에서 미해결일 수 있다. 구간 겹침만으로 등호를 증명하면 안 된다. 대각 상태 예제에는 부동소수점과 무관한 정확한 구조적 설명이 있다.

9. 해설과 함께 푸는 문제

1. 방향 확인. 3절의 두 상대 엔트로피를 비교하자. 해설: 약 $0.278072$, $0.321928$로 다르다. 거리 함수에 필요한 대칭성이 없다.
2. 지지집합과 겹침. $|0\rangle$와 $|+\rangle$의 값이 무한대인 이유는? 해설: 벡터가 겹쳐도 서로 다른 1차원 부분공간 사이에는 포함 관계가 없다.
3. 원소별 계산 오류. 5절에서 $\sigma$를 대각 성분으로 바꾸면? 해설: $0.278072$가 나오는데, 원래 쌍의 $1.015037$이 아니라 처리 후 쌍의 값이다.
4. 동일 채널 조건. $\rho$에만 탈위상을 적용해도 위 정리를 바로 쓸 수 있을까? 해설: 두 가설에 같은 채널을 적용해야 하므로 그 형태로는 쓸 수 없다.
5. 역변환 없는 등호. 탈위상에서 등호가 되는 상태 쌍은? 해설: 두 $Z$ 대각 상태다. 그래도 임의의 coherence를 복원할 수는 없다.
6. 경계 근처. $\rho=|1\rangle\langle1|$, $\sigma=(I+(1-10^{-30})Z)/2$이면? 해설: 참조는 full rank이고 $D=\log_2(2\cdot10^{30})$라는 큰 유한값이다. 작은 고유값을 0으로 반올림하면 문제를 잘못 분류한다.

10. 정보 손실에서 연구 문제로

고전 표현 학습은 KL 기반 손실을 자주 사용한다. 양자 상대 엔트로피는 서로 맞지 않는 고유기저를 가진 연산자까지 비교한다. 기저에 의존하는 대각 근사가 모형이 포착해야 할 차이를 지울 수 있다는 점을 생각하는 데 유용하다.

상대 엔트로피는 명시된 오류 규약 아래 점근적 가설 검정과 운영적으로 연결된다. 하지만 그 값 자체가 한 복사본의 오류 확률은 아니다. 부호화, 오류 지수, 회복 보증, 채널 용량에는 추가 정리가 필요하다. 이번 큐비트 계산은 구체적 예제를 제공하며 완전한 프로토콜을 대신하지 않는다.

수치 기반은 정확한 지지집합 분류와 방향 있는 로그 구간을 유지한다. 조작 화면과 reader 등록은 남아 있다. 정의와 정보처리 정리의 일차 자료는 Watrous 5장이다.