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곡률, 공변 미분과 평행이동

평면·구면·쌍곡 평면의 접속 계수와 한 바퀴 뒤 회전을 비교합니다.

614 / COVARIANT GEOMETRY
먼저 알아두면 좋아요 · 계량, 접벡터와 곡선 좌표를 복습하세요.
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움직이는 기저와 곡률

기저가 회전하는 효과와 한 바퀴를 돌고도 남는 회전을 구분합니다.

Γʳθθ = −ff′,　K = −f″/f

접속 계수는 f와 f′를 포함하고 곡률은 −f″/f입니다.

세 곡면에서 벡터 옮기기
이 단원 목차

1. 움직이는 기저 위의 벡터 미분하기

곡면에서는 접평면이 위치에 따라 바뀝니다. 평면에서도 극좌표 기저는 각도를 따라 회전합니다. 공변 미분은 접속을 사용해 벡터를 비교합니다. 벡터 VV의 성분은 다음과 같습니다.

(∇iV)k=∂iVk+ΓijkVj.(\nabla_i V)^k=\partial_i V^k+\Gamma^k_{ij}V^j.

접속항이 기저의 변화를 보정합니다. 레비치비타 접속은 계량을 보존하고 비틀림이 0인 조건으로 정해집니다. Tong, Introducing Riemannian Geometry §3.2

2. 회전 대칭인 세 곡면 비교하기

중심을 제외한 곳에서 f(r)>0f(r)>0인 계량 ds2=dr2+f(r)2dθ2ds^2=dr^2+f(r)^2d\theta^2를 씁니다. 평면, 반지름 RR인 구면, 곡률 반지름 RR인 쌍곡 평면에서는 각각 f=rf=r, Rsin⁡(r/R)R\sin(r/R), Rsinh⁡(r/R)R\sinh(r/R)입니다. 레비치비타 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.

Γθθr=−ff′,Γrθθ=Γθrθ=f′/f.\Gamma^r_{\theta\theta}=-ff',\qquad \Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}=f'/f.

평면에서도 이 좌표의 접속 계수는 0이 아닙니다.

3. 접속에서 곡률 계산하기

구면의 가우스 곡률이 양수가 되는 부호 관례를 씁니다. 이 계량의 곡률은

K=−f′′/f.K=-f''/f.

예를 들어 반지름과 각도에 대한 성분 RrθrθR^r{}_{\theta r\theta}는 −ff′′-ff''입니다. (f′)2(f')^2에 비례하는 항들은 상쇄됩니다. 평면에서는 접속 계수가 0이 아니어도 K=0K=0입니다. 구면은 K=1/R2K=1/R^2, 쌍곡 평면은 K=−1/R2K=-1/R^2입니다. 2차원 스칼라 곡률은 2K2K입니다.

4. 원을 따라 벡터 평행이동하기

정규직교 기저 er=∂re_r=\partial_r, eθ=f−1∂θe_\theta=f^{-1}\partial_\theta를 씁니다. 반지름을 고정하면 ∇θer=f′eθ\nabla_\theta e_r=f'e_\theta, ∇θeθ=−f′er\nabla_\theta e_\theta=-f'e_r입니다. 이 기저에서 각도가 α\alpha인 평행 벡터는 dα/dθ=−f′d\alpha/d\theta=-f'를 만족합니다. 양의 방향으로 한 바퀴 돌면 각도 변화는 −2πf′-2\pi f'이고, 2π2\pi를 법으로 보면 2π(1−f′)2\pi(1-f')와 같습니다.

평면에서 기저는 한 바퀴 돌고 평행이동한 벡터는 처음 방향으로 돌아옵니다. 구면의 남는 회전은 2π(1−cos⁡(r/R))2\pi(1-\cos(r/R))이며 곡률에 원이 둘러싼 구면 마개 면적을 곱한 값입니다. 쌍곡 평면에서는 대응하는 값이 음수입니다. 이 부호 있는 식은 작은 고리에서 0부터 연속적으로 변하는 값을 고른 것입니다. 실제 마지막 방향의 각도는 2π2\pi를 법으로 정해집니다. Tong, Introducing Riemannian Geometry §3.3

5. 작은 고리의 극한 검산하기

from math import cos, cosh, isclose, pi

R = 2
r = 0.7
sphere_area = 2*pi*R**2*(1-cos(r/R))
hyperbolic_area = 2*pi*R**2*(cosh(r/R)-1)
sphere_turn = 2*pi*(1-cos(r/R))
hyperbolic_turn = 2*pi*(1-cosh(r/R))
assert isclose(sphere_turn, sphere_area/R**2)
assert isclose(hyperbolic_turn, -hyperbolic_area/R**2)
assert sphere_turn > 0 > hyperbolic_turn
small = 0.001
assert isclose(2*(1-cos(small/R))/small**2, 1/R**2, rel_tol=1e-6)
print(sphere_turn, hyperbolic_turn)

6. 좌표 기호와 기하량 구분하기

  • 세 곡면에서 접속 계수와 가우스 곡률을 비교하세요.
  • 평면의 회전하는 극좌표 기저에서 벡터를 따라가고 마지막 방향과 처음 방향을 비교하세요.
  • 구면에서 고리의 반지름을 늘리고 회전과 면적이 어떻게 변하는지 확인하세요.
  • 일반상대론에서는 로런츠 계량에도 같은 접속과 곡률 개념을 적용합니다. 이 실험은 경로와 회전을 보기 쉬운 공간 곡면을 사용합니다.
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1. 극좌표 평면에서 접속 계수가 0이 아니면 곡률은 얼마인가요?
2. 작은 양의 방향 고리에서 음의 가우스 곡률은 어떤 잔여 회전을 주나요?

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