복소 신호·위상과 간섭

실수 진동을 복소 진폭으로 담기

같은 각주파수의 진동 A cos(ωt+φ)는 Re[Ae^{iφ}e^{iωt}]로 표현할 수 있습니다. Ae^{iφ}가 phasor이고 시간에 따른 공통 회전을 분리해 크기·위상을 계산합니다. 복소 표기를 썼다고 실제 측정 신호가 복소수라는 뜻은 아닙니다.

실습은 ω=1인 무차원 위상 시간입니다. 서로 다른 주파수의 모든 신호를 하나의 상수 phasor로 합칠 수 있다는 뜻은 아닙니다.

먼저 복소 진폭을 더하기

합 phasor S=e^{iφ₁}+A₂e^{iφ₂}를 Cartesian 성분으로 더한 뒤 |S|와 arg S를 계산합니다. 일반적으로 진폭을 단순히 더하면 틀립니다.

동위상 단위 진폭 두 개는 합 진폭 2입니다. 반대 위상의 같은 진폭은 정확히 상쇄되고 90도 차이이면 크기 √2,합 위상 45도입니다. 이 식의 교차항이 간섭의 핵심입니다.

영 진폭에는 위상이 없다

S=0이면 출력 신호는 모든 t에서 0이고 방향각은 정의되지 않습니다. 수치 sinπ의 작은 잔차를 근거로 위상 90도를 부여하면 잘못된 물리적 해석을 만들 수 있습니다. 실습은 같은 진폭과 정확히 180도 차이라는 입력 조건으로 완전 상쇄를 처리합니다.

반면 거의 180도인 경우의 작은 비영 진폭을 임의 tolerance로 0으로 지우지 않습니다. 매우 작은 진폭에서는 잡음이나 반올림이 추정 위상에 큰 영향을 줄 수 있으므로 위상만 보지 말고 진폭도 함께 확인하세요.

시간 신호의 그림

파랑은 첫 번째 단위 진동, 주황은 두 진동의 합입니다. 두 번째 성분 자체를 따로 그린 곡선은 아닙니다. 합 신호는 S의 실수부·허수부로 Re S cos t−Im S sin t를 계산합니다. 완전 상쇄에서 미세한 가짜 진동을 그리지 않습니다.

위상각은 도에서 라디안으로 바꾸어 삼각함수에 넣습니다. phasor의 복소평면 그림과 이 시간·진폭 그림은 서로 다른 좌표축을 가집니다.

전력·표본화와 AI 연결

표시한 |S|²은 진폭 제곱입니다. 실제 평균 전력에는 임피던스, peak/RMS 규약, 센서 단위 등 물리 모형이 필요합니다. 단위 없는 값을 곧바로 watt라고 부르지 않습니다. 코사인의 제곱 시간평균은 1/2이므로 peak 진폭 제곱과 평균 제곱도 다릅니다.

Fourier 특징, 오디오·레이더·위상 기반 표현에서 같은 복소 덧셈 구조가 쓰입니다. 위상은 샘플링, aliasing, 주파수 일치와 관련되며 그림의 유한 점들이 임의의 주파수 신호를 완전히 복원한다는 보장은 없습니다. 이 조건은 신호 처리 영역에서 확장합니다.

확인 문제와 답

1. 위상 0과 90도의 단위 신호 합은? 진폭 √2,위상 45도입니다.
2. 합의 진폭이 0이면 위상은? 정의되지 않습니다.
3. |S|²=4이면 평균 제곱도 4인가요? peak 코사인 규약에서는 2입니다.

추가 읽기: MIT Complex Variables with Applications. 공식 강좌 범위를 확인해 보충 자료로 연결합니다. 본문의 작은 계산과 예제는 직접 구성했습니다.