아인슈타인 방정식의 구조와 물질 원천

1. 곡률과 응력·에너지 연결하기

이 단원에서는 시공간 부호 $(-,+,+,+)$를 씁니다. 여기서 채택한 곡률 부호의 장방정식은 다음과 같습니다.

이 식은 각 시공간 점에서 텐서 사이의 관계를 줍니다. 응력 텐서에는 에너지 밀도, 흐름과 공간 응력이 들어 있습니다. 서로 다른 좌표계의 성분을 그대로 비교하려면 먼저 같은 기저로 변환해야 합니다. Tong, The Einstein Equations §4.1

2. 4차원에서 대각합 취하기

$g^{\mu\nu}$와 수축하고 $g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=4$를 사용합니다. 아인슈타인 텐서의 대각합은 $-R$이므로 다음을 얻습니다.

둘째 식은 대각합을 뒤집어 정리한 형태입니다. 물질 텐서가 간단할 때 편리합니다. 차원을 바꾸면 대각합의 계수도 바뀝니다.

3. 완전 유체의 정지계에서 계산하기

한 사건의 정규직교 기저에서 에너지 밀도 $\rho$와 등방 압력 $p$를 같은 단위로 표시합니다. 아래 첨자를 쓴 응력 텐서의 대각 성분은 $(\rho,p,p,p)$이고 $T=-\rho+3p$입니다. 따라서 다음과 같습니다.

공간 방향 $i$마다 성립하며 $i$에 대해 합하지 않습니다. 에너지 밀도와 압력이 함께 곡률에 기여합니다.

4. 먼지·복사·진공 비교하기

$p=0$, $\Lambda=0$인 먼지 모형의 스칼라 곡률은 $\kappa\rho$입니다. $p=\rho/3$인 복사는 대각합이 0이므로 $\Lambda=0$에서 $R=0$입니다. 이때 리치 텐서의 시간 성분은 $\kappa\rho$입니다. $\Lambda=0$인 진공에서는 리치 텐서 전체가 0입니다. 구대칭 질량의 외부와 같이 리만 곡률은 남을 수 있습니다. 수축에서 사라진 정보는 대각합으로 복원할 수 없습니다.

5. 일관성 조건과 예제 검산하기

수축한 비앙키 항등식으로 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}=0$입니다. $\Lambda$가 상수이고 계량이 공변 미분에서 보존되면 $\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0$도 얻습니다. 이는 물질의 시간 변화를 제약합니다. 시공간 자체를 예측하려면 물질 모형과 적절한 초기 또는 경계 조건도 필요합니다.

from math import isclose

def curvature(rho,p,lam):
    return 4*lam+rho-3*p, (rho+3*p)/2-lam, (rho-p)/2+lam

assert curvature(3,0,0)[0] == 3
assert curvature(3,1,0) == (0,3,1)
for rho,p,lam in [(3,1,0),(2,0,1),(0,0,0.5)]:
    scalar, time, space = curvature(rho,p,lam)
    assert isclose(scalar,-time+3*space)
print(curvature(3,1,0))

6. 계산으로 결정한 범위 점검하기

• 텐서의 대각합을 구할 때 계량 부호를 적용하세요.
• 밀도를 고정하고 압력을 바꾸어 $R$과 $R_{\hat0\hat0}$를 비교하세요.
• 우주 상수를 더했을 때 두 성분과 스칼라가 얼마나 이동하는지 확인하세요.
• 계산이 스칼라를 정하는지, 한 사건의 리치 텐서를 정하는지, 시공간 해를 구하는지 명시하세요.