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표집분포를 모르는 상황
통계량의 표집분포는 모집단 법칙에 의존하지만 실제로 그 법칙을 모르는 경우가 많습니다. 비모수 Bootstrap은 관측 경험분포를 대신 넣어 재표본을 만듭니다. 현재 데이터 (0,1,2)는 각 관측 행에 질량 1/3을 배정합니다. 재표본의 크기도 3이고 복원추출하므로 같은 관측을 여러 번 사용할 수 있습니다.
작은 경우의 완전 열거
각 위치에서 세 행 중 하나를 고르므로 순서 재표본은 27개입니다. 실습은 무작위 일부만 뽑지 않고 전부 열거합니다. 중복 값이 있어도 행 선택은 구별되며 같은 통계량 결과를 합산합니다. 평균 모드에서 가능한 값은 0부터 2까지 1/3 간격이고 빈도는 (1,3,6,7,6,3,1)입니다. 이는 관측 데이터에 조건부인 정확한 분포이지 모집단에서의 정확한 표집분포가 아닙니다.
편향·표준오차와 비선형 통계량
평균은 Bootstrap 조건부 기대가 원래 평균과 같아 여기서 편향 추정이 0입니다. 원래 (0,1,2)의 평균 표준오차는 √(2/9)입니다. (0,0,3)의 중앙값으로 바꾸면 원래 중앙값은 0이지만 재표본 중앙값이 3일 확률은 7/27입니다. 따라서 조건부 평균은 7/9이고 편향 추정도 약 0.778입니다. 모수의 참 편향을 정확히 알아낸 것이 아니라 경험분포에서 계산한 값입니다.
백분위 구간의 한계
구간 끝점은 재표본 통계량의 경험 CDF 역함수로 정합니다. 정렬한 27개 값에서 누적비율이 q 이상이 되는 첫 값을 택하며 보간하지 않습니다. 80%나 95%는 선택한 백분위 수준이지 이 작은 데이터의 참 포함률 보장이 아닙니다. 상수 데이터에서는 재표집 표준오차가 0이지만 원래 모집단이 상수라는 증거는 아닙니다. 시계열·군집 자료라면 iid 행 재표집 대신 의존성을 반영하는 단위를 검토해야 합니다.
확인 문제와 해설
- 27개 중 같은 숫자 표본도 따로 세나요? 행을 고른 순서가 다르면 따로 세고 결과 통계량에서 합칩니다.
- 모든 데이터를 한 번씩만 섞는 것은 같은가요? 아니요. 여기서는 복원추출입니다.
- 작은 n의 percentile 구간이 항상 명목 포함률인가요? 아니요. 추가 이론과 진단이 필요합니다.
설명할 수 있나요?
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