두 상의 유한 반올림·복소 영점

매끄러운 유한 곡선에서 어떻게 모서리가 생길까?

양의 무게를 유한하게 더한 합은 조절 변수가 변할 때 매끄럽게 바뀔 수 있다. 그런데 자리 수를 늘려 얻는 함수들의 열은 모서리가 있는 함수로 접근할 수 있다. 이때 단순히 곡선 모양만 보는 대신, 그 극한을 취하는 동안 확률과 요동이 어떻게 변하는지 물어야 한다.

완전히 비어 있거나 완전히 점유한 두 배치만 가능한 공간장을 떠올려보자. 점유를 조금 선호하도록 조절하면 어느 대안이 우세한지가 달라진다. 큰 공간장에서는 그 작은 선호가 점유한 자리마다 곱해져 증폭된다. 유한 크기에서는 두 대안이 모두 양의 확률을 갖지만, 크기 극한에서는 고정된 선호가 한쪽을 선택할 수 있다.

이 장에서는 두 배치의 명시적 확률 법칙으로 유한 반올림, 공존점으로 접근하는 크기 경로와 복소 분배함수 영점을 유도한다. 선수 지식은 유한 확률 합, 미분, 로그와 복소수의 극형식이다. 아주 작은 양의 보정과 표시상0을 구별할 수 있도록 계산의 표현도 함께 살핀다.

분배함수를 쓰기 전에 두 배치를 지정한다

N개의 이진 자리가 있지만 허용 배치는 두 개뿐이다. 배치 E에서는 모두0, 배치 O에서는 모두1이다. 조절장을 적용하기 전 두 배치의 기준 무게는 각각1이다. 섞인 점유 배치는 이 모형에서 금지한다.

          E: ALL EMPTY                    O: ALL OCCUPIED
       [0] [0] [0] [0]                   [1] [1] [1] [1]
       [0] [0] [0] [0]                   [1] [1] [1] [1]

          count K=0                         count K=N
          weight 1                          weight z^N

            No intermediate configurations are allowed.

그림의 왼쪽은 모두 비점유, 오른쪽은 모두 점유다. 영어 범례는 양 언어에서 같은 모식도를 대조하기 위한 짧은 표기다. 읽기 편하게2차원으로 배열했지만 법칙에 들어가는 공간 정보는 자리 수뿐이다. 거리, 최근접 에너지나 경계 상호작용은 정의하지 않았다. 여기서 두 상이라는 말은 두 전역 대안에 붙인 이름이며 특정 물질의 미시 모형을 유도했다는 뜻이 아니다.

Tong의 인공 분배함수 예시는1+z^N 인자를 살펴보는 배경이다. 원래 예시에는 독립 배경 인자도 있다. 여기서는 그 인자를 빼고 두 허용 상태를 별도로 지정하므로 원래 예시 전체의 압력과 밀도를 계산하는 것이 아니다. 다른 모형에 대한 일반 Lee–Yang 정리를 가정하지 않는다.

양의 활동도 무게를 정규화한다

양의 활동도를 z, 무차원 로그장을 g=ln z라고 하자. 총점유 수가 K인 배치의 무게에 exp(gK)를 곱한다. 정규화 합은 다음과 같다.

$$Z_N(z)=1+z^N=1+e^{Ng},\qquad p_N=\mathbb P(O)=\frac{z^N}{1+z^N},\qquad \mathbb P(E)=1-p_N.$$

z=A/B가 양의 정수 무게로 표현한 유리수이면 z^N=A^N/B^N을 계산하고 A^N+B^N으로 정규화하면 된다. 이름 붙은 허용 배치를 각각 한 번만 세므로 이항 중복도는 없다.

독립 자리 분배함수는(1+z)^N이고 중간 점유 배치까지 포함한다. N=4,z=2에서 현재 합은17이지만 독립 합은81이다. 두 합을 혼동하는 것은 수치 근사를 시작하기 전에 상태 공간부터 바꾸는 오류다.

계산기는 N=1..512와 활동도 정수 무게1부터 백만까지를 받는다. 크기 경로를 선택하면 고정 활동도 대신1로 접근하는 처방을 적용할 수 있다. 이 유한 입력 범위가 수학적 크기 가족을512자리에서 끝내는 것은 아니다.

밀도 요동과 총점유 수 요동을 구별한다

밀도를 ρ=K/N으로 쓰자. 두 허용 상태에서 그 값은0 또는1이다. 따라서 밀도 분산에 자동으로1/N이 붙지는 않는다.

$$\mathbb E[\rho]=p_N,\qquad \operatorname{Var}(\rho)=p_N(1-p_N),\qquad \mathbb E[K]=Np_N,\qquad \operatorname{Var}(K)=N^2p_N(1-p_N).$$

z=1에서는 N과 무관하게 두 배치의 확률이 같다. 밀도 분산은1/4다. 모두 점유한 배치의 크기를 늘려도 그 내부에 독립 조각들이 생기는 것은 아니다. 전체 공간장은 여전히 하나의 이진 선택을 한다.

N=4에서 활동도, 그 역수와 공존점을 비교한 정확 장부는 다음과 같다. 응답 열은 다음 절에서 유도한다. 마지막 열은 압력 보정에 N을 곱한 뒤 지수화한 값이며 압력 보정 자체가 아니다.

z	ZN	pN	Var(ρ)	dpN/dg	exp(NΔN)
1/2	17/16	1/17	16/289	64/289	17/16
1	2	1/2	1/4	1	2
2	17	16/17	16/289	64/289	17/16

활동도를 역수로 바꾸면 점유와 비점유 확률이 교환된다. 두 확률의 곱인 밀도 분산은 같다. 반면 우세한 가지가 바뀌므로 압력 자체는 달라진다.

고정 크기에서 응답을 유도한다

자리당 무차원 압력을 φN=ln(ZN)/N으로 정의하고 N을 고정한 채 g로 미분하면

$$\phi_N'(g)=p_N,\qquad \phi_N''(g)=\frac{dp_N}{dg}=Np_N(1-p_N),\qquad \frac{d\mathbb E[K]}{dg}=N^2p_N(1-p_N)=\operatorname{Var}(K).$$

마지막 항등식은 고정 기준 무게에 exp(gK)를 곱하는 지수 기울이기를 실제로 정의했기 때문에 성립한다. 모든 분산이 임의의 입력 조절에 대한 미분과 같다는 규칙은 아니다. 앞 공간 혼합 장의 p 조작은 다른 방식으로 준비 법칙을 바꿨다.

또 고정 N에서 g를 미분하는 것과 크기 경로 gN을 따라 움직이는 것을 구별해야 한다. 경로에서는 크기와 장이 동시에 바뀐다. 각 점에서 표시하는 응답은 그 크기에서의 장 미분이며 경로 전체의 전미분이 아니다.

빼기 없이 작은 압력 보정을 분리한다

실수 g에서1과 exp(Ng) 중 큰 쪽을 먼저 묶어내자. t=exp(−N|g|)라 두면0<t≤1이며

$$\phi_N(g)=\max(0,g)+\Delta_N(g),\qquad \Delta_N(g)=\frac{\ln(1+t)}N,\qquad t=e^{-N|g|}.$$

이 표현으로 압력 오차의 균일 상한을 얻는다.

$$0<\Delta_N(g)\le\frac{\ln2}{N},\qquad \phi_N(g)\longrightarrow\max(0,g).$$

상한의 등호는 g=0에서 성립한다. 유한한 양의 z와 유한 N에서는 보정이 엄밀히 양수다. 모든 유한 곡선은 실수 장 축에서 매끄럽지만 극한 압력은 g=0에 모서리를 갖는다.

z=2,N=4의 보정은 ln(17/16)/4다. 거의 같은 두 부동소수점 압력을 빼서 구할 필요 없이 작은 로그를 직접 계산하면 된다. z가 유리수일 때 exp(NΔN)=1+t는 정확한 유리수이지만 ΔN은 일반적으로 유리수가 아니다.

실제로 사용하는 좌표에서 반올림 폭을 잰다

밀도는 크기와 함께 좁아지는 장 구간에서0 근처부터1 근처로 넘어간다. 오즈 pN/(1−pN)=exp(Ng)를 이용해 pN=0.1과0.9의 장을 풀자.

$$g_{0.1}=-\frac{\ln9}{N},\qquad g_{0.9}=\frac{\ln9}{N},\qquad w_g=g_{0.9}-g_{0.1}=\frac{2\ln9}{N}.$$

N을 두 배로 하면 g에서 잰10–90% 폭은 절반이 된다. 활동도 끝점은9^(−1/N),9^(1/N)이므로 그 차이는 다른 좌표의 폭이다. 어느 쪽도 완화 시간이 아니다.

유용한 그림은 가로축 g, 세로축 pN에 여러 크기의 곡선을 겹쳐 놓는 것이다. 곡선들은(0,1/2)을 지나며 그곳에서 더 가팔라지지만 유한 크기에서는 매끄럽다. 별도 압력 그림에서는 φN이 모서리 있는 극한 가지에 가까워지는 모습을 볼 수 있다. 한 관측량의 그림이 다른 관측량에 대한 확인을 대신하지는 않는다.

공존점에는 거시적 불확실성이 남는다

정확히 g=0에서 크기를 늘리면

$$p_N=\frac12,\qquad \operatorname{Var}(\rho)=\frac14,\qquad \phi_N''(0)=\frac N4,\qquad \Delta_N(0)=\frac{\ln2}{N}.$$

압력 보정은 사라지고 밀도 분산은 그대로 남으며 응답은 발산한다. 따라서 압력의 균일하게 작은 오차만으로 미분의 균일 수렴을 주장할 수 없다. 밀도의 자기평균화도 따라오지 않는다.

고정 g<0에서는 pN→0이고 고정 g>0에서는 pN→1이다. 그때 밀도 법칙은 확정적인 한 끝점으로 접근하고 분산이 사라진다. 공존점에서는 두 끝점의 반반 혼합이 남는다. 평균1/2은 절반의 자리만 점유한 허용 배치가 있다는 뜻이 아니다. 현재 상태 공간에서는 그런 배치가 금지되어 있다.

지정한 크기 경로로 공존점에 접근한다

고정 활동도 극한과 움직이는 활동도 극한은 서로 다른 질문이다.0≤c≤1과 방향 s=+1 또는−1을 지정하고 두 접근 가족을 정의하자.

$$z_N=(1+c/N)^s\quad\text{or}\quad z_N=(1+c/N^2)^s,\qquad g_N=\ln z_N.$$

둘 다 z=1로 접근하지만 배율 장 NgN은 다르다. ln(1+x)/x→1에서

$$Ng_N\longrightarrow sc\quad\text{on the inverse-size path},\qquad Ng_N\longrightarrow0\quad\text{on the inverse-square path}.$$

수식의 영어 경로 표기는 각각 역크기와 역제곱 경로를 뜻한다. L(x)=1/(1+exp(−x))로 쓰면 다음 극한을 얻는다.

경로	NgN의 극한	pN의 극한	Var(ρ)의 극한
고정 z<1	−∞	0	0
고정 z=1	0	1/2	1/4
고정 z>1	+∞	1	0
(1+c/N)^s	sc	L(sc)	L(sc)[1−L(sc)]
(1+c/N²)^s	0	1/2	1/4

두 움직이는 경로의 압력 극한은0이다. 하지만 역크기 경로의 밀도 극한에는 c와 방향의 정보가 남는다. c=0이면 두 경로 모두 처음부터 모든 크기에서 공존점이다. 계산기에서 움직이는 경로는 c=C/D의 오프셋 무게와 방향을 사용하며 고정 활동도 무게는 보관만 한다. 고정 경로에서는 오프셋과 방향을 사용하지 않는다.

작은 장은 반올림 창 안에 남을 수 있다

c=1/2,N=4를 보자. 양의 역크기 경로는 z=9/8,z^4=6561/4096이며 점유 확률은6561/10657이다. 양의 역제곱 경로는 z=33/32이고 점유 확률은1185921/2234497이다. 두 유한 장이 모두 양수지만 어느 법칙도 확정적인 점유 끝점에 가까운 것은 아니다.

차이를 결정하는 변수는 Ng다. 양의 gN이0으로 간다면 크기 극한에서 반드시 점유를 선택하는 것은 아니다. 장이1/N 차수라면 같은 차수로 줄어드는 반올림 창 안에 남는다. 더 빨리 줄어들면 극한 법칙은 대칭 혼합으로 접근한다.

극한 순서의 구체적인 차이는 다음과 같다.

$$\lim_{g\to0^+}\lim_{N\to\infty}p_N(g)=1,\qquad \lim_{N\to\infty}p_N(0)=\frac12,\qquad \lim_{N\to\infty}p_N(g_N)=L(c)\quad(z_N=1+c/N).$$

모순이 아니다. 각 식이 다른 실험을 지정한다. 열역학 극한에 대한 주장에는 어떤 조절 변수를 고정하고 어떤 변수를 크기와 함께 바꾸는지 들어 있어야 한다.

다항식을 복소 평면으로 확장한다

양의 실수 활동도에서는 무게가 양수이고 분배함수는0이 아니다. 복소 활동도는 다항식의 수학적 확장이다. 복소 항은 더 이상 확률 무게가 아니다. 영점은 z^N=−1을 만족하므로 모든 근은

$$z_j=\exp\left[2\pi i\frac{2j+1}{2N}\right],\qquad j=0,\ldots,N-1.$$

회전수에 N을 곱하면 항상 정수+1/2이므로 zj^N=−1이 정확히 성립한다. 근들은 서로 다르고 개수가 N이어서 차수 N 다항식의 모든 근을 찾았다. 켤레 근의 지수는 N−1−j다. 음의 실수 근−1은 N이 홀수일 때만 있고 양의 실수 근은 없다.

N	정확한 근의 회전수	음의 실수 근
1	1/2	예
2	1/4, 3/4	아니오
3	1/6, 1/2, 5/6	예
4	1/8, 3/8, 5/8, 7/8	아니오

N=4의 복소 평면 모식도는 다음과 같다. 가로축은 실수부, 세로축은 허수부이며 네 원 표식이 근이다.

                       Im z
                         ^
                  o      |      o
                         |
           -1 -----------+----------- 1 ----> Re z
                         |
                  o      |      o

           The four roots lie on the unit circle.
           No finite-size root sits at the point z=1.

그림은 위치 관계를 위한 도식이며 수치 좌표의 인증서가 아니다. 근들이 단위원 위에 있고 확률을 정의한 양의 실수 축과 어떻게 놓이는지 보는 데 사용한다.

가장 가까운 영점이1로 접근하는 과정을 추적한다

양의 축에 가장 가까운 근의 각은±π/N이다. z=1까지의 거리와 로그장에서 가장 작은 허수부 거리는

$$\theta_{\min}=\frac\pi N,\qquad |z_{\rm near}-1|=2\sin\frac{\pi}{2N},\qquad |\operatorname{Im}g_{\rm near}|=\frac\pi N.$$

복소 로그의 가지들은2πi만큼 다르다. 마지막 식은 가장 가까운 대표값을 선택한다. N=1에서 음의 실수 근의 편각±π는 같은 점을 표현하므로 두 근으로 세지 않는다.

영점들은 유한 N에서 공존점에 놓이지 않으면서 크기 증가에 따라 그 점으로 다가간다. 이 명시적인 다항식에서 실수 축의 반올림 폭 축소와 복소 영점 접근의 관계를 볼 수 있다. 이것으로 일반 원 정리를 증명하거나 임의 Hamiltonian의 상전이를 분류한 것은 아니다.

계산기는 정확한 회전수와 다항식 위상 항등식을 보존한다. 사인·코사인 좌표와 거리는 그림용 근사다. 부동소수점 좌표를 대입해 작은 잔차를 얻는 것은 수치 확인이며 근이라는 사실의 증명은 아니다.

아주 작은 양의 로그를 보존한다

z=10^6,N=512이면 t=10^−3072다. 부동소수점으로1+t를 표현하면1로 반올림되지만 그 로그는 양수다. 반올림된 합을 만드는 대신

$$q=\frac{t}{2+t},\qquad \ln(1+t)=2q\sum_{j=0}^{\infty}\frac{q^{2j}}{2j+1},\qquad0<q\le\frac13.$$

q를 정확한 유리수로 유지하자. 나머지 급수는1 근처에서 유계이므로 q의 크기를 지우지 않고 방향성 고정소수점 구간으로 감쌀 수 있다. j=0부터72까지 계산한 뒤 남는 꼬리는

$$0<R_{72}\le\frac{9}{8(147)9^{73}}.$$

누락된 분모를 모두147로 낮추고 비가 최대1/9인 기하급수를 더하면 얻는 상한이다. 급수 구간에 정확한2q/N을 곱하면 보정값이 소수 표시 범위를 벗어나도 엄밀히 양수인 압력 보정 하한이 남는다.

유한 확률은 유리수 점 구간이고 로그는 폭이 있는 인증 구간이다. 표시용 소수나 고정밀 참조 소수가 그 경계를 대신하지 않는다. 특히 exp(NΔN)이1로 표시되면서 ΔN은 양수로 인증될 수 있다. 이는 계산의 모순이 아니라 표시 해상도의 한계다.

모델 분석과의 연결 조건을 확인한다

두 배치는 여러 전역 대안 중 하나를 고르는 모형의 간단한 비유가 될 수 있다. 자리마다 곱해지는 작은 점수 선호가 우세한 대안을 급격히 바꿀 수 있다. 관측 곡선이 가파를 때 크기 배율, 요동과 조절 경로를 함께 확인하자는 질문을 준다.

그러나 이 예제가 AI 학습 전이를 예측하거나 임의의 손실 곡선을 열역학 법칙으로 맞추는 근거는 아니다. 여기서는 상태 공간과 장의 결합을 명시적으로 선택했다. 연구에 적용하려면 해당 문제의 상태·무게·관측량·의존성 가정과 극한의 근거를 새로 지정해야 한다.

이 주제의 세 가족은 서로 다른 함정을 보여준다. 에너지 배율만으로 가법성을 판단할 수 없고, 한 자리 주변분포만으로 자기평균화를 판단할 수 없으며, 작은 압력 오차만으로 미분·요동의 극한을 판단할 수 없다. 각 결론에는 시각적 유사성보다 정확한 비교의 정의가 필요하다.

두 배치와 복소 영점을 실제 실험에서 연결하자

기본 N=4,z=2에서는 두 허용 배치의 무게가1과16이므로 점유 확률은16/17입니다. 중간 점유 배치를 추가하면 다른 모형이 됩니다. 먼저 두 배치 표를 읽은 뒤 압력·응답·영점을 비교하세요. 같은 N을 사용하는 값이라도 각각 확률, 고정 크기의 미분, 복소 다항식의 정보를 담습니다.

조작	확인할 관측	설명할 질문
활동도2·역수 활동도·공존점 예제를 비교한다	점유 확률은16/17,1/17,1/2이고 앞의 두 분산은16/289로 같다	우세한 배치가 교환되어도 같은 요동이 남을 수 있는가?
양의 역크기와 역제곱 경로를 비교하며 공간 크기를 늘린다	Ng와 밀도의 경로 극한, 고정 N의 장 응답	각 유한 장이 양수라는 사실만으로 점유 확률의 극한을1로 정할 수 있는가?
‘홀수 차수·음의 실수 근’에서 j=1을 선택한다	N=3에서 정확 회전수1/2, N배 회전수 mod1은1/2이다	근사 좌표가 아니라 정확 위상으로−1이 근임을 어떻게 확인하는가?

근 슬라이더는 요청한 현재 N의 근을 선택하며 N을 바꾸지 않습니다. ‘압력 보정 로그 표시’는 아주 작은 양의 ΔN을 확인하는 표시입니다. 선형축에서 exp(NΔN)이1로 보이더라도 인증 구간을 열어 ΔN의 양의 하한을 확인하세요. 경로에서 비활성화한 활동도·오프셋 입력은 보관되며 그 경로의 계산에 사용하지 않습니다. 크기 진행은 시간이 아니고 복소 근의 항은 확률이 아닙니다.

해설이 있는 여섯 문제

1. 네 자리 확률 장부를 복원하자

N=4,z=2에서 ZN,pN,밀도 분산,총점유 수 분산과 g에 대한 밀도 응답을 계산하자. 독립 자리의 정규화 합과도 비교하자.

해설. 두 무게는1과16이므로 ZN=17,pN=16/17이다. 밀도 분산은16/289이고16을 곱하면 총점유 수 분산256/289다. 밀도 응답은 밀도 분산의4배인64/289다. 독립 자리 합은3^4=81이며 상태 공간부터 다르다.

2. 줄어드는 압력 오차와 남는 요동을 비교하자

z=1에서 N을 두 배로 할 때 ΔN,Var(ρ),φN″는 각각 어떻게 바뀌는가? 작은 ΔN만으로 밀도가 집중된다고 할 수 있는가?

해설. ΔN=ln2/N은 절반이 된다. Var(ρ)=1/4는 그대로이고 φN″=N/4는 두 배가 된다. 법칙은 여전히 두 전역 배치에 확률을 절반씩 둔다. 작은 압력 보정만으로 집중이나 미분의 수렴을 추론할 수 없다.

3. 작은 양의 장에 숨은 경로를 찾자

c=1/2,N=4에서 양의 역크기와 역제곱 활동도 및 점유 확률을 계산하자. 각 경로의 pN 극한은 무엇인가?

해설. 활동도는9/8과33/32다. 네 제곱 후 정규화하면6561/10657과1185921/2234497이다. 극한은 각각 L(1/2)와1/2다. 고정 양의 g였다면 극한은1이다. 각 유한 장이 양수라는 정보만으로 극한 법칙을 정할 수 없다.

4. 반올림 폭을 유도하고 좌표를 표시하자

pN=0.1과0.9를 주는 장을 구하자. 그 차이는 활동도 단위인가, 시간 구간인가?

해설. 오즈가1/9와9이므로 Ng는−ln9와+ln9다. 장의 폭은2ln9/N이다. 활동도 좌표의 폭은9^(1/N)−9^(−1/N)로 다르다. 시간 진화를 정의하지 않았으므로 어느 쪽도 동역학적 완화 시간이 아니다.

5. 그림을 믿지 않고 근을 검산하자

N=3과 N=4의 회전수를 나열하자. 어느 크기에−1 근이 있는가? 나열한 모든 근을 어떻게 정확히 확인하는가?

해설. N=3은1/6,1/2,5/6이고 N=4는1/8,3/8,5/8,7/8이다. 반 회전−1은 N=3에만 있다. 각 회전수에 해당 N을 곱하면 정수+1/2이므로 z^N=−1이 성립한다. 이 위상 검산에는 반올림한 사인·코사인 좌표가 필요하지 않다.

6. 표시상1과 양의 로그 보정이 함께 있는 이유를 설명하자

N=512,z=10^6에서 exp(NΔN)이1로 표시되어도 ΔN=0이라고 할 수 없는 이유는 무엇인가? 구간 계산 전에 어느 양으로 작은 크기를 보존해야 하는가?

해설. t=10^−3072이고 exp(NΔN)=1+t는 보통 부동소수점에서1로 반올림된다. q=t/(2+t)를 정확하게 유지하고2q에 곱하는 유계 급수를 구간으로 계산한다.1/N을 곱하면 ΔN의 양의 구간을 얻는다. 정확 유리수, 그 로그 구간과 표시용 소수는 서로 다른 계약을 가진 표현이다.

현재 교재에서 세 가족의 안내 실험·개념 화면·문제를 연결해 비교할 수 있다. 정확한 확률과 인증 구간, 근사 그림을 구별하며 읽고 도서 → Interactive Book에서 학습을 이어간다.