건조 마찰의 정지·붙음·재출발

멈추는 순간에는 다시 풀어야 할 문제가 있다

왼쪽으로 미끄러지는 물체에 오른쪽 힘을 주면 멈춘 뒤 붙어 있을 수도, 오른쪽으로 다시 출발할 수도 있습니다. 두 경우 모두 한 순간 속도는 0입니다. 그다음을 알려면 이전 미끄럼 마찰 방향을 그대로 쓰는 대신 구동력과 정지 마찰의 한계를 비교해야 합니다.

일정한 양의 질량이 고정된 수평면 위에서 움직입니다. 초기 위치는 0, 초기 속도와 일정 수평 구동 F는 부호를 가집니다. 수직 평형에서 N=mg이며 교육용 값 g=10m/s²를 선언합니다. 이 관계는 현재 수평 모형의 조건이지 경사면이나 수직 가속이 있는 모든 상황의 법칙은 아닙니다.

정지와 미끄럼 마찰을 따로 적는다

미끄럼 계수 μk≥0과 여유 δ≥0으로 μs=μk+δ를 정합니다. 따라서 어떤 입력 조합에서도 μs≥μk입니다. 속도가 0이 아닌 미끄럼에서는 다음을 사용합니다.

$$f_k=-\mu_kN\operatorname{sign}(v).$$

정지에서는 필요한 만큼의 마찰이 한계 안에서 조절됩니다.

$$|F|\le\mu_sN,\qquad f_s=-F.$$

정지 마찰이 항상 최댓값인 것은 아닙니다. 한계의 등호에서는 붙어 있음을 선택하는 규약을 사용합니다. 구동이 한계를 넘으면 F 방향으로 출발하고 이후 미끄럼 분기의 가속도를 사용합니다.

이것은 선언한 Coulomb 모형이며 모든 표면의 미시적 과정이나 온도·속도 의존성을 표현하지 않습니다.

미끄럼 구간을 적분한 다음 사건을 찾는다

속도 부호가 σ로 유지되는 동안 가속도는 일정합니다.

$$a=\frac{F-\mu_kN\sigma}{m},\qquad v(t)=v_0+at,\qquad x(t)=v_0t+\frac12at^2.$$

가속도가 초기 속도와 반대이면 첫 정지 시각은 다음과 같습니다.

$$t_s=-\frac{v_0}{a}>0.$$

가속도가 0이거나 속도 방향과 같으면 해당 구간에 미래 정지가 없습니다. 가속도 0은 비영 속도의 등속 미끄럼을 허용합니다. 움직이는 물체의 구동이 정지 한계보다 작다는 이유만으로 정지 법칙을 적용하면 안 됩니다.

처음부터 정지한 상태에서는 즉시 정지·출발 규칙을 사용하며 가짜 이전 미끄럼 구간을 만들지 않습니다.

정확한 정지 사건에서 모형을 다시 시작한다

첫 구간으로 정지 위치 xs를 구하고 그곳의 속도를 0으로 둡니다. |F|와 μsN을 다시 비교하여 붙을 수 있으면 x=xs를 유지하고 마찰이 −F가 됩니다. 그렇지 않으면 F 방향으로 다시 출발합니다.

$$a_+=\frac{F-\mu_kN\operatorname{sign}(F)}{m},\qquad x=x_s+\frac12a_+(t-t_s)^2.$$

사건 시각의 힘은 이후 분기 값으로 정의합니다. 위치와 속도는 연속이고 마찰력과 가속도에는 유한한 점프가 있을 수 있습니다. 유한한 힘의 변화가 순간적인 유한 운동량 변화를 넣는 것은 아닙니다.

힘 그림에는 일반 표본 사이에 있는 사건 시각도 직접 넣습니다. 수직 선은 좌우 극한 표시이며 중간 힘들을 시간에 따라 거친다는 뜻이 아닙니다. 10초 이후의 사건은 정확한 표에 유지하지만 그림 범위 밖에 넣지는 않습니다.

속도 0과 붙음은 다르다

과도한 구동이 처음의 반대 운동을 뒤집을 때 정지 순간 속도는 0이지만 이후 가속도는 0이 아닙니다. 실습은 이를 미끄럼 출발 순간으로 표시합니다. 붙은 상태는 정지 마찰이 구동을 상쇄하여 속도와 가속도가 모두 0인 경우입니다.

힘이 균형인 미끄럼도 구분해야 합니다. 구동이 미끄럼 마찰과 같고 초기 속도가 양수이면 등속 운동합니다. 같은 구동에서 처음 정지해 있으면 정지 마찰이 움직임을 막을 수 있습니다. 초기 상태와 힘의 이력이 모두 중요합니다.

열은 거리, 일은 변위를 사용한다

방향 전환 전후를 모두 센 총 이동 거리를 D(t)라 하면 다음과 같습니다.

$$Q(t)=\mu_kN D(t)\ge0,\qquad W_{\mathrm{drive}}=F x(t).$$

각 미끄럼 구간에서 마찰은 운동 반대라 마찰의 일은 −Q입니다. 붙어 있을 때 정지 마찰은 이동이 없어서 일을 하지 않습니다. 에너지 수지는 다음과 같습니다.

$$K(t)-K(0)+Q(t)=W_{\mathrm{drive}}(t).$$

거리를 부호 있는 순변위로 바꾸면 되돌아간 운동이 열 계산에서 사라집니다. 방향을 바꾼다고 이미 발생한 열이 거꾸로 줄지 않습니다. Q는 누적된 역학적 소산이며 온도나 완전한 열 상태를 계산하는 변수는 아닙니다.

독립 기준 계산은 구간별로 마찰력과 속도의 곱을 적분합니다. 열을 에너지 잔차의 나머지로 정의하지 않고 거리 기반 계산을 검사합니다.

운동량 수지도 힘의 전환을 검사한다

구동과 구간별 마찰을 적분합니다.

$$m[v(t)-v_0]=Ft+\int_0^t f(s)\,ds.$$

한 순간의 힘 값은 충격량이나 일의 적분을 바꾸지 않습니다. 하지만 그 뒤의 마찰 방향은 바뀌어야 합니다. 정지 전 마찰을 반대 운동에도 계속 쓰면 잘못된 가속과 소산을 만듭니다.

표는 운동량 잔차, 마찰의 일과 열의 관계, 전체 일·열 수지를 따로 확인합니다. 서로 맞는다는 것은 선언한 모형의 수학적 검사이며 계수가 실제 표면에 맞는다는 증거는 아닙니다.

네 시간 그림 읽기

위치는 m, 속도는 m/s, 힘은 N, 에너지는 J입니다. 힘 그림은 파랑 마찰과 주황 구동을 비교합니다. 에너지 그림은 파랑 K, 주황 Q, 초록 K0+Wdrive이며 K+Q가 초록 예산과 같아야 합니다.

조회 시각은 현재 정확한 상태를 바꾸고 곡선 범위는 10초를 유지합니다. 질량 외 코드는 10으로 나눕니다. 정지 시각과 위치는 조회 격자 사이의 유리수일 수 있습니다. 사건을 다음 시뮬레이션 단계로 반올림하지 않고 그림 표본에 명시적으로 넣습니다.

풀이가 있는 여섯 연습

1. 연습: 멈춘 뒤 붙음. m=1,μk=0.2,μs=0.4,F=3,v0=−1이면? 풀이: N=10, 초기 마찰 +2N, 가속도 5m/s²입니다. 1/5초에 x=−1/10m에서 멈추고 3≤4이므로 마찰 −3N으로 붙어 있습니다.
2. 연습: 정지까지 에너지. 앞 예제의 수지는? 풀이: 초기 K=1/2J, 이후 K=0이고 거리 1/10m에서 Q=1/5J입니다. 구동 일은 −3/10J이며 −1/2+1/5=−3/10입니다.
3. 연습: 멈춘 뒤 반대 출발. F만 5N으로 바꾸고 1초를 보세요. 풀이: 정지 시각은 1/7초, 이후 가속도는 3m/s²입니다. x=101/98m,v=18/7m/s,거리=115/98m,Q=115/49J,W=505/98J입니다.
4. 연습: 같은 구동과 다른 초기값. 원래 계수에서 F=2N이면? 풀이: v0=1이면 마찰 −2N과 균형이라 x(1)=1m,Q=W=2J입니다. v0=0이면 정지 마찰 −2N으로 붙어서 누적 일과 열은 모두 0입니다.
5. 연습: 한계의 등호. 정지에서 F=4N이면? 풀이: 선언한 규약으로 붙고 마찰은 −4N입니다. F=4.1N으로 올리면 가속도 (4.1−2)/1=2.1m/s²로 출발합니다. 정지 여유는 추가 일정 저항이 아니라 문턱입니다.
6. 연습: 늦은 사건. m=4,μk=μs=0.1,F=3.9,v0=2이면? 풀이: 마찰 −4N, 가속도 −1/40m/s², 정지 시각 80초입니다. 10초 속도는 7/4m/s이므로 미래의 정지를 알아도 현재는 미끄럼입니다.

학습 시뮬레이터에서 사건 처리가 중요한 이유

고정 시간 간격으로 부호를 바꾸면 속도 0을 지나쳐 마찰 방향이 반복해서 뒤집힐 수 있습니다. 정확한 사건 모형은 이런 방법을 평가하는 기준이 됩니다. 에너지만 맞추면 순변위와 이동 거리의 차이도 놓칠 수 있습니다. 사건 시각·분기 선택·운동량·일과 열을 함께 검사하고 정지 한계에서 어떤 규약을 썼는지 기록하세요.

배경과 한계

정지·미끄럼 구분은 MIT OCW 뉴턴 제2법칙의 응용 8.3절을 참고하세요. 일정 구동의 구간 해와 예제는 여기서 유도했습니다. 탄성 접촉·온도·변하는 수직 하중·접촉 이탈에는 추가 모형이 필요합니다.