유효 이론과 무거운 모드 정합

1. 보존할 응답 정하기

유효 이론은 관측하려는 척도에 필요한 자유도와 관측량을 남깁니다. 가벼운 좌표가 단단한 좌표와 결합한 상태에서 천천히 구동한다고 생각해 보세요. 단단한 좌표도 가벼운 좌표의 응답에 영향을 줍니다. 이 좌표를 적분하면 그 영향이 가벼운 자유도만 쓰는 이론의 매개변수와 미분항에 들어갑니다. Burgess, Introduction to Effective Field Theory

2. 가우시안 무거운 모드 적분하기

유클리드 주파수 $\omega$마다 다음 실수 이차형식을 둡니다.

안정성 조건에 따라 주파수가 0일 때도 행렬이 양의 정부호입니다. 무거운 변수에 대해 완전제곱을 만들고 가우시안 적분을 하면 가벼운 모드의 진폭과 무관한 정규화 인자와 다음 커널을 얻습니다.

해당 모드의 분산 또는 외부장 응답은 $1/Q_{\rm light}$입니다. 행렬식에서 온 정규화 인자는 절대 분배함수에 기여합니다.

3. 국소 미분 전개의 계수 맞추기

$x=\omega^2/M^2$라 두면 무거운 모드의 전파함수에서 $(1+x)^{-1}$이 나옵니다. $\omega=0$ 주변에서 전개하면 상수항과 $\omega^2$ 항에 이어 4차 이상의 미분항이 나옵니다. 가벼운 커널의 첫 두 계수는 다음과 같습니다.

정합은 원하는 차수까지 전체 이론을 재현하도록 유효 이론의 저주파 계수를 정하는 일입니다. 정합한 이론으로 다른 저주파 응답을 예측하고 가능한 경우 정확한 결과와 비교합니다.

4. 적용 전에 오차 추정하기

무거운 모드의 항에서 $x^j$를 $j=p$까지 남깁니다. 유한 등비급수 항등식으로 정확한 커널 오차를 구할 수 있습니다.

$0<x<1$이면 차수를 하나 올릴 때마다 오차가 $x$배로 줄어듭니다. $x>1$이면 차수를 올릴수록 오차가 증가합니다. 양의 유클리드 주파수에서는 특이점이 없고, 전개 반경은 $x=-1$의 극점이 정합니다.

두 커널이 양수일 때 응답의 차이는 $|Q_{\rm light}^{-1}-Q_p^{-1}|=|Q_{\rm light}-Q_p|/(Q_{\rm light}Q_p)$입니다. 모드가 부드러워져 분모가 작으면 작은 커널 오차도 큰 응답 차이를 만들 수 있습니다. 절단한 커널이 양수가 아니면 가우시안 확률분포를 정의할 수 없습니다.

5. 척도 차이와 정합 조건 확인하기

$m=1$, $M=4$, $g=2$인 안정한 모형을 사용합니다. $Q_{\rm light}(0)=0.75$입니다. $\omega=M/2$에서 차수를 하나 올리면 커널 오차가 $1/4$배가 되고, $\omega=2M$에서는 4배가 됩니다. 혼합을 바꿀 때 $g/(mM)$을 쓰면 안정성을 쉽게 유지할 수 있습니다. $g$를 고정하고 $M$을 키우면 정적 보정이 줄어듭니다. $g/(mM)$을 고정하고 $M$을 키우면 정적 보정이 남습니다.

from math import isclose

m, M, g = 1.0, 4.0, 2.0
def kernels(omega, order):
    x = (omega / M)**2
    strength = (g / M)**2
    exact = omega**2 + m**2 - strength/(1+x)
    matched = omega**2 + m**2 - strength*sum((-x)**j for j in range(order+1))
    return exact, matched, strength*x**(order+1)/(1+x)

assert kernels(0, 0)[0] == 0.75
for ratio in [0.25, 0.5, 1, 2]:
    for order in range(5):
        exact, approx, error = kernels(ratio*M, order)
        assert isclose(abs(exact-approx), error, rel_tol=1e-8, abs_tol=1e-14)
        if approx > 0:
            assert isclose(abs(1/exact-1/approx), error/(exact*approx), rel_tol=1e-8, abs_tol=1e-14)
    print(ratio, kernels(ratio*M, 2))

6. 새 유효 모형에서 반복할 검사

• 저주파에서 보존할 관측량과 필요한 정규화를 지정하세요.
• 남길 계수를 정합하고 의도한 범위에서 다음 차수의 오차를 확인하세요.
• 안정성 경계에 더 가까운 혼합비로 반복하고 커널과 응답의 오차를 비교하세요.
• 축소한 통계 모형을 적합할 때 정합 자료에 사용한 매개변수와 다른 척도에서 검증할 예측을 구분하세요.