비결맞은 점영상과PSF·OTF

같은 렌즈라도 다른 선형 모델이 필요하다

서로 결맞은 두 점의 기여는 복소장을 더한 뒤 제곱하므로 간섭합니다. 서로 비결맞은 점원은 명시한 집단·노출 평균에서 교차항이 사라져 강도를 더합니다. 렌즈와 동공이 같더라도 준비가 달라지면 어떤 양을 선형으로 전파하는지가 달라집니다.

이 단원에서는 비음수 점원 가중치로 연속 일차원 강도 영상을 만듭니다. 점확산함수PSF를 유도하고 원래 응답과 조건부 정규화를 구별한 뒤 동공 자기상관에서 광학 전달함수OTF를 얻습니다. 별도의 정현 강도 준비로 대비와 위상 전달도 확인합니다.

점원의 적분 가중치와 격자의 강도 밀도는 서로 다른 준비로 유지합니다. 단위가 맞지 않는 계수들을 무심코 합산하지 않습니다. 픽셀·유한 노출 잡음·에일리어싱은 다음 센서 주제이며 현재 계산에 숨겨 넣은 DFT의 효과가 아닙니다.

좌표·결맞음·단위 선언하기

앞 단원의 이상적 스칼라 근축4F 기하를 사용합니다. 환산 좌표는 입력과 같은 물체 공간 척도이고 실제 영상 좌표는 $x'=mx$, $m=-f_2/f_1$입니다. 공간주파수 $\nu$는 cycles/m이며 Fourier 커널은 $\exp(-i2\pi\nu x)$입니다.

점원 가중치는 적분된 상대 선강도량입니다. m$^{-1}$ 단위 커널에 곱하면 강도 밀도가 되고, 영상 전체 적분은 점원 가중치와 같은 상대 단위를 갖습니다. 일차원 광학 정규화이며 교정된 W나 이차원 복사조도로 자동 해석하지 않습니다.

점원들은 선택한 파장에 대해 준단색이며 서로 공간적으로 비결맞습니다. 부분 결맞음에는 일반적으로 상호강도 정보가 필요합니다. 임의로 고른 결맞은 영상과 비결맞은 영상을 숫자로 섞는 것만으로 모든 부분 결맞음 준비를 나타낼 수는 없습니다.

결맞은 충격응답에서 시작하기

복소 진폭 동공 $H_c(\nu)$의 충격응답은

$$h_c(x)=\int H_c(\nu)e^{i2\pi\nu x}\,d\nu$$

입니다. 고정 기준 반폭은 $a_{\rm ref}$, 개구 비율은 $\alpha$, 중앙 차폐는 $\epsilon$, 진폭 투과율은 $\sigma$이며 이차·선형 위상을 더할 수 있습니다. 기준 차단은 $f_{\rm ref}=a_{\rm ref}/(\lambda f_1)$, 실제 차단은 $f_c=\alpha f_{\rm ref}$입니다.

결맞은 커널은 복소수이거나 음의 실수일 수 있습니다. 장이 간섭할 때 부호·위상이 중요합니다. 비결맞은 원래 커널은 $|h_c|^2\geq0$이지만 동공의 위상을 먼저 버리고 전파하면 같은 커널이 되지 않습니다. 위상 동공도 공간 PSF와 강도 대비를 바꿉니다.

수치 모델은 연속 동공을 적분합니다. 이차 위상이0이면 부호 있는 sinc를 포함한 정확한 구간 적분식을 쓰고, 그렇지 않으면 복합 Gaussian 수치 적분을 사용합니다. 성긴·세분화한 적분의 차이는 진단으로 보고하며 인증된 전역 오차라고 부르지 않습니다.

동공 적분량·투과율·조건부 정규화 나누기

Parseval 관계로

$$S=\int|h_c(x)|^2\,dx =\int|H_c(\nu)|^2\,d\nu =2f_c(1-\epsilon)\sigma^2$$

입니다. 이 전달 관례에서 $S$는 역길이 단위입니다. 무차원 투과율이라고 부르면 안 됩니다. 고정한 열린 기준 동공의 $S_{\rm ref}=2f_{\rm ref}$를 사용해

$$T=\frac S{S_{\rm ref}}=\alpha(1-\epsilon)\sigma^2$$

로 둡니다. $S>0$일 때 조건부 단위 적분PSF는 $g=|h_c|^2/S$입니다. 반면 기준 정규화 강도 응답은 $K=|h_c|^2/S_{\rm ref}=Tg$라 원래 투과량을 보존합니다. 모든PSF를 단위 면적으로 만든 뒤 $T$를 잊으면 개구·흡수 손실이 숨겨집니다.

이 투과율은 지정한 기준 개구가 받은 점원의 상대 선광량에 대한 것입니다. 모든 결맞은 입력의 스펙트럼 가중 투과율과 같지 않습니다. 기준 동공 자체를 바꾸면 교정도 바뀌므로 비교 도중 이를 숨기면 안 됩니다.

장이 아니라 양의 점원 강도 더하기

환산 위치 $x_j$, 비음수 가중치 $w_j$인 점원의 영상은

$$I_{\rm red}(x)=\sum_j w_jK(x-x_j) =T\sum_jw_jg(x-x_j)$$

입니다. 모든 항이 비음수입니다. 같은 위치의 단위 점원 두 개는 한 점원의 두 배 강도를 만들며 네 배가 아닙니다. 동일한 두 장의 합을 제곱하면 다른 결맞은 준비를 구현한 것입니다.

전체 직선 위의 영상 적분은 $T\sum_jw_j$입니다. 화면 창이 넓게 퍼진 PSF의 일부만 보여줘도 이 원래 적분 관계는 바뀌지 않습니다. 점원마다 위치·가중치·강도 기여를 보존해야 학생이 합산의 의미를 직접 추적할 수 있습니다.

실제 영상 반전과 밀도 배율

실제 영상은

$$I_{\rm actual}(x')=\frac1{|m|}I_{\rm red}(x'/m)$$

입니다. 동공이 추가로 만드는 이동을 제외하면 물체점 $x_j$는 $mx_j$로 대응됩니다. 음의 배율은 물리 좌표를 반전합니다. 배율 크기가 커지면 같은 적분량이 더 긴 구간에 분포하므로 강도 밀도가 낮아집니다.

$m=-2$이면 같은 점 응답의 중심 높이는 절반, 폭은 두 배입니다. $dx'=|m|dx$로 적분하면 전달된 총량은 보존됩니다. 좌표만 확대하고 밀도는 그대로 두면 광학적 이득이 생긴 것처럼 보입니다.

이 정규화는 한 횡차원의 선길이에 관한 것입니다. 두 횡차원의 카메라에서는 면적 변환을 써야 하므로 계수를 그대로 복사해서는 안 됩니다. 단위와 차원의 선언은 단순한 표기 선택이 아니라 관측량을 결정합니다.

동공 자기상관에서 OTF 유도하기

원래 강도 커널의 Fourier 변환은

$$A(\nu)=\int H_c(u)H_c^*(u-\nu)\,du$$

입니다. $h_ch_c^*$를 두 주파수 변수로 전개하고 $x$에 대해 변환하면 주파수 차이에 대한 제약이 생깁니다. 그 차이가 $\nu$인 두 동공 성분의 겹침을 적분하게 됩니다.

동공이 열려 있고 $S>0$이면 조건부OTF는 $H_I=A/S$이며 $H_I(0)=1$입니다. 기준 전달은 $A/S_{\rm ref}=T H_I$라 DC 이득이 $T$입니다. 둘 다 필요하지만 다른 질문에 답합니다. MTF는 $|H_I|$이므로 OTF의 부호와 위상을 버립니다.

구현은 실제 동공 지지 구간의 이동 겹침에서 복소 위상 차이를 적분합니다. 결맞은 진폭 마스크를 강도 스펙트럼에 바로 적용하지 않습니다. 구성한 수동 동공은 비음수PSF와 $|H_I|\leq1$을 줍니다. 사용자가 임의로 그린 전달 곡선이라면 별도의 물리성 검토가 필요합니다.

열린 일차원 직사각 동공의 해

$|\nu|<f_c$에서 $H_c=1$이면

$$h_c(x)=2f_c\operatorname{sinc}(2f_cx),\qquad g(x)=2f_c\operatorname{sinc}^2(2f_cx)$$

이며 $\operatorname{sinc}(t)=\sin(\pi t)/(\pi t)$입니다. 두 주파수 구간의 정규화 겹침 길이에서

$$H_I(\nu)=\max\left(0,1-\frac{|\nu|}{2f_c}\right)$$

를 얻습니다. 진폭 통과 대역은 $f_c$에서 끝나지만 이 강도 전달은 $2f_c$까지 이어집니다. 서로 다른 선형 관측과 조명 준비를 비교한 것이며 한 조명이 모든 물체를 항상 더 잘 분해한다는 증거가 아닙니다.

이 식은 일차원 직사각 동공의 결과입니다. 이차원 원판의 Airy 함수나 원판 겹침 OTF가 아닙니다. 이차원 직사각 개구의 단면을 sinc 제곱으로 그렸더라도 전체 광량을 논하려면 별도의 차원 정규화가 필요합니다.

수치 예제: 정규화와 개구 손실

500 nm·첫 초점100 mm·기준 반폭1 mm이면 $f_{\rm ref}=20{,}000$ cycles/m입니다. 열린 단위 진폭 동공에서 $S=40{,}000$ m$^{-1}$, $T=1$, $g(0)=40{,}000$ m$^{-1}$이며 첫 영점은 중심에서25 µm입니다.

차폐 없이 개구 비율을0.5, 진폭 투과율을0.5로 바꾸면 실제 차단10,000 cycles/m, $S=5{,}000$ m$^{-1}$, $T=0.125$입니다. 조건부 중심은20,000 m$^{-1}$지만 기준 정규화 중심은2,500 m$^{-1}$에 불과합니다. 첫 영점도50 µm로 옮겨집니다.

점원 가중치1과0.4를 넣으면 전체 기준 입력량1.4에서 영상 적분0.175를 얻습니다. 넓어진PSF를 단위 적분으로만 그리면 여덟 배의 기준 손실을 숨깁니다. 배율−2이면 실제 강도 밀도는 다시 절반이지만 전체 영상 적분0.175는 유지됩니다.

정현 강도 준비의 대비 관측

별도의 비음수 물체 강도를

$$I_{\rm obj}(x)=\mu[1+\eta\cos(2\pi\nu_gx+\phi)], \qquad0\leq\eta\leq1$$

로 두면 기준 영상은

$$I_{\rm red}(x)=T\mu\left[1+ \eta\operatorname{Re}\{H_I(\nu_g)e^{i(2\pi\nu_gx+\phi)}\}\right]$$

입니다. 평균과 투과량이 양수이고 공간주파수가0이 아닐 때 출력 대비는 $\eta|H_I(\nu_g)|$입니다. OTF 위상은 이동·대비 반전을 결정합니다. 절대 밝기는 $T\mu$에, 실제 영상 밀도는 추가로 $1/|m|$에 의존합니다.

정확히 공간주파수0이면 $\eta\cos\phi$를 포함한 상수 준비입니다. 공간적 무늬가 아니므로 Michelson 대비를 만들지 않습니다. 구현은 이 실제 상수 평균을 계산하며, 기본 매개변수 $\mu$를 무조건 공간 평균이라고 보고하지 않습니다.

교정을 유지한 대비 수치 비교

열린 기준 동공에서 $\mu=1$, $\eta=0.8$, $\nu_g=15{,}000$ cycles/m이면 조건부OTF는0.625입니다. 출력 대비는0.5이고 극값은1.5·0.5입니다.

진폭 투과율1을 유지하면서 개구 비율만0.5로 줄이면 $T=0.5$, $H_I(\nu_g)=0.25$입니다. 대비는0.2, 기준 평균 밝기는0.5라 극값은0.6·0.4입니다. 대비만 보여주는 화면과 원래 강도를 보여주는 화면은 서로 보완적인 정보를 담습니다.

30,000 cycles/m에서는 열린 결맞은 진폭 마스크가0이지만 비결맞은 OTF는0.25입니다. 두 수치를 비교하기 전에 준비한 장·강도와 측정 관측량을 밝혀야 합니다. 결맞은 강도에는 통과한 모드의 차주파수도 생기므로 차단 주파수의 구호만으로 해상도를 논하기는 부족합니다.

수동 위상 동공도 대비를 뒤집는다

열린 동공에 이차 위상 $q(\nu/f_c)^2$, 선형 위상 $b\nu/f_c$를 넣습니다. 차폐 없는 일차원 동공에서 $t=\nu/f_c$, $L=\max(0,2-|t|)$이면

$$H_I(\nu)=\frac L2\, \frac{\sin(qtL)}{qtL}e^{ibt}$$

입니다. 분모가0인 곳은 연속 sinc 극한을 사용합니다. PSF는 비음수여도 OTF는 음의 실수나 복소수가 될 수 있습니다. 비음수 공간 함수의 Fourier 변환이 모든 주파수에서 양수인 것은 아닙니다.

$q=6$, $b=0$, $f_c=20{,}000$, $\nu_g=15{,}000$이면 OTF는 약−0.0679647입니다. 입력 변조0.8·단위 평균·단위 투과량에서 원래 코사인 마루의 영상은 약0.945628, 반 주기 뒤는1.054372입니다. 대비가 반전되었습니다. MTF의 크기만 그리면 이 부호를 잃습니다.

선형 동공 위상은 OTF에 $b\nu/f_c$의 위상을 주며 앞 단원의 환산 좌표 이동 부호와 같습니다. 그 뒤에도 실제 영상의 반전을 적용해야 합니다. 이동과 반전을 같은 부호 없는 확대 기능으로 다루면 안 됩니다.

닫힌 동공·영광원·유한 창

닫힌 동공에서는 $S=0$입니다. 원래 커널과 기준 전달은0이지만 $S$로 나눠 조건부PSF·OTF·MTF·위상을 만들 수 없습니다. 구현은 이를 미정값으로 유지합니다. 완전 중앙 차폐와 진폭 투과율0도 서로 다른 원인으로 같은 차단 응답을 만듭니다.

점원 가중치가 전부0인 경우는 다릅니다. 열린 광학계의 기준 충격응답과 OTF는 남지만 관측 점영상은0이고 점원 정규화 투과율은 미정입니다. 장치의 기준 위상을 그 어두운 영상에서 관측한 위상이라고 부르지 않습니다. 주파수0·변조1·위상π인 격자도 기본 평균 매개변수가1이어도 실제로 완전히 어두운 상수 준비입니다.

화면의 유한PSF 창은 전체 실수축이 아닙니다. sinc 제곱의 꼬리에는 창 밖의 광량이 남습니다. 구현은 표본 합으로 다시 나누어 거짓 단위 적분 커널을 만들지 않습니다. 원래 점원 광량은 전체 직선의 적분 관계로 확인하고, 유한 검출 창의 수집량은 별도의 분율로 다뤄야 합니다.

수치 근거와 근사의 한계

독립 기준 계산은 연속 복소 동공과 이동한 동공 곱을 적분한 뒤 점원별 양의 강도 기여를 합칩니다. 표시 표본을 사용해 숨겨진 원형 컨볼루션을 만들지 않습니다. 성긴·세분화한 적분 차이와 독립 적분기 대비 오차도 서로 구별합니다.

격자 강도는 어두운 극값 근처에서 양의 코사인 제곱 형태로 계산합니다. 수동 변조 한계의 반올림 수준 보정이 필요하면 그 크기를 드러내고 원래 복소OTF는 유지합니다. 임의의 비물리 전달 데이터를 유효한 동공으로 투영하는 절차가 아닙니다.

모든 결과는 한 횡차원·스칼라 근축 광학·선택한 동공·이동 불변성·서로 비결맞은 원천을 가정합니다. 동공과 시야의 기울기를 각각 살펴야 합니다. 실제 렌즈 교정·벡터 높은NA 응답·검출 면적·부분 결맞음·잡음은 실험을 바꿀 수 있습니다. 이상적PSF의 검증만으로 완전한 카메라 시뮬레이터가 검증되었다고 할 수는 없습니다.

동공 겹침의 경계에는 OTF의 모서리가 생길 수 있고, 전달 영점에서는 크기·위상에도 미분 불가능하거나 정의되지 않은 점이 생깁니다. +π와−π 사이의 위상 점프는 표현의 분기이며 실제 동공의 갑작스러운 변화가 아닙니다. 역문제에서는 복소 전달값을 비교하거나 적절한 위상 관례를 정해야 합니다. 접힌 각도를 전역적으로 매끄러운 실수 좌표처럼 학습시키지 마세요.

점영상과 격자 표시는 서로 다른 좌표 창을 사용합니다. 격자 곡선은129개 표본 안에 최대 네 주기를 담아, 최고 입력 주파수에서 표시 보간이 가짜 저주파 무늬를 만들지 않게 합니다. 이는 연속 모델의 그림 선택이며 다음 단원에서 도입할 물리적 픽셀 샘플링 연산자가 아닙니다.

해설 문제와 연구 연결

1. 같은 위치의 두 점원 더하기

열린 기준 동공에서 단위 점원의 중심은40,000 m$^{-1}$입니다. 같은 위치의 비결맞은 두 단위 점원은 중심80,000 m$^{-1}$, 전체 적분2를 만듭니다. 중심160,000은 같은 두 장을 결맞게 합쳐 제곱했을 때의 답이며 다른 준비를 다룹니다.

2. PSF를 정규화하면서 손실 유지하기

개구 비율0.5·진폭 투과율0.5에서 $T=0.125$입니다. 조건부 중심20,000에 이를 곱하면 기준 중심2,500입니다. 단위 적분 커널과 원래 기준 영상이 각각 어떤 질문에 필요한지, 앞의 것만 표시하면 어떤 손실이 숨는지 설명해 보세요.

3. MTF와 위상 전달 구별하기

음의OTF 예제의 MTF는0.0679647이지만 OTF 위상은 $2\pi$를 법으로 π입니다. 부호를 유지해 반대 코사인 극값0.945628·1.054372를 구하세요. OTF를 그 크기로 바꾸면 두 위치의 밝기 배정이 뒤집혀 대비 반전을 놓칩니다.

4. 대비를 만들지 않고 상수 해석하기

$\nu_g=0$, $\eta=1$, $\phi=\pi$이면 물체가 항상0입니다. $\mu=1$이어도 영상 평균은0이며 공간적 최대·최소 주기를 이용한 대비는 없습니다. 위상0·변조0.5이면 상수 평균은 $1.5\mu$입니다. 매개변수 이름과 실제 공간 평균을 구별해야 합니다.

5. 유한 창과 전체PSF 비교하기

열린 조건부 커널은 전체 실수축에서 적분1입니다. 중심 무늬 주변의 유한 구간은 꼬리를 생략하므로 적분이1보다 작습니다. 독립 계산은 유한 창 적분을 sine integral 식과 대조하며 표본을 몰래 재정규화하지 않습니다. 실제 카메라의 유한 관심 영역은 어떤 양을 수집하는지 설명하세요.

6. 물리적으로 점검 가능한 역영상 과제

알려진 원천 가중치·좌표·기준 교정에서 양의 점영상과 격자 대비를 예측하세요. 독립 동공 적분·반전·대비 부호·투과 손실·차단을 검증에 포함합니다. 강도만으로 동공 위상을 유일하게 식별하지 못할 수 있으므로 반사·이동 등 모호성을 분석해야 합니다. 작은 훈련 오차 외에도 비음수 관측·정규화 관례·영상 근사를 보존하는지 확인한 뒤 매개변수를 물리적으로 해석하세요.

자료와 다음 범위

MIT2.71 강의22는 비결맞은PSF·동공 자기상관·대비 전달을 전개합니다. TU Delft의 Scalar Diffraction Optics는 파동 전파와 렌즈 Fourier 평면·필터링을 연결합니다. 여기의 정규화와 일차원 수치 예제는 선언한 기준 슬릿으로 독립 유도했습니다.

다음 원래 주제는 관측·샘플링·센서입니다. 연속 광학 강도와 적분된 픽셀 읽음값, 노출·잡음·에일리어싱을 구별하는 측정 연산자를 추가해야 합니다. 그것은 현재의 연속PSF 모델에서 이미 검증된 결과가 아닙니다.