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SuanLab

시간 역전·Score·성립 조건

실제 주변 밀도와 역방향 시계로 drift를 검산합니다.

281 / STOCHASTIC PROCESS LAB
먼저 알아두면 좋아요 · 연결된 선수 단원의 확률·조건부 기대·미적분·선형대수 기초
Fokker–Planck·Gaussian 확률 Flux →Markov 전이·연속시간 Generator →
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먼저 그림으로 이해하기

한 번에 한 단계씩 살펴보세요.

실제 주변 밀도와 역방향 시계로 drift를 검산합니다.

Reverse clock s increases while physical forward time is t=T-s. For positive constant diffusion sigma and positive smooth Gaussian marginals, reverse drift is theta*x+sigma²*score_t(x), not merely theta*x. Reverse process must start from the actual forward terminal law. Blue is the score-corrected drift, orange naive forward-drift negation. These formulas do not authorize reversing an arbitrary degenerate or zero-support diffusion.

-3.243.246.192-3.354
가로 위치 · 파랑 score 보정 역 drift · 주황 단순 부호 반전 · 실제 forward 시간은 T-s
xmarginal scorecorrect reverse driftnaive negation
-26.3884.388-2
-13.9372.937-1
01.4861.4860
1-0.9640.0361
2-3.415-1.4152

physical forward time T-s = 0.5

고정 기준 예제의 그림과 수치입니다. 각 단계에서 같은 그림의 의미를 차례로 살펴보세요. 고정된 기준 예제이며 아래 실험의 설정과 독립적입니다.
1 / 4

시계

Reverse s가 늘면 forward t=T-s는 줄어듭니다.

t=T-s

실험에서 확인하기 →
이 단원 목차

시계와 법칙을 함께 뒤집는다

Forward 끝 시간 T를 고정하고 reverse 경과 s를 두면 물리 시간은 t=T-s입니다. 역 과정의 시작은 실제 p_T여야 합니다. 편리하다는 이유로 무관한 표준 Gaussian을 쓰면 다른 문제를 풉니다.

Markov 단원에서 Bayes 역전 행은 끝점 주변 법칙에 의존하고 support 밖에서는 정해지지 않았습니다. Diffusion도 정칙성과 밀도 조건이 필요합니다. 이 실험은 상수 양의 diffusion과 매끄러운 양의 Gaussian에 한정합니다.

Score 보정 OU Drift 유도

Forward drift가 -theta x, diffusion 진폭이 sigma일 때 증가하는 reverse 시계의 식은 다음입니다.

b~(x,s)=θx+σ2∂xlog⁡pT−s(x),∂xlog⁡pt(x)=−x−mtvt.\widetilde b(x,s)=\theta x+\sigma^2\partial_x\log p_{T-s}(x), \qquad \partial_x\log p_t(x)=-\frac{x-m_t}{v_t}.

파랑은 이 식, 주황은 단순 부호 반전 theta x입니다. Score는 forward 법칙에서 현재 상태의 상대 가능성을 반영합니다. 임의로 생략할 항이 아닙니다. 상태 의존 diffusion에는 추가 고려가 있어 이 상수 식을 그대로 복사하면 안 됩니다.

역방향 Moments를 독립 검산한다

역 주변 법칙의 평균·분산은 m(T-s),v(T-s)입니다. 시계 미분은 theta m,2theta v-sigma²이고 보정 drift의 moment도 같습니다.

dmds=θm,dvds=2(θ−σ2/v)v+σ2=2θv−σ2.\frac{dm}{ds}=\theta m,\qquad \frac{dv}{ds}=2(\theta-\sigma^2/v)v+\sigma^2 =2\theta v-\sigma^2.

두 경로를 비교해 역전의 성립을 검산합니다. 분산 감소가 음의 diffusion을 필요로 하지는 않습니다. Score drift가 양의 확률적 퍼짐을 이깁니다.

정상 Reversibility도 단순 부호 반전이 아니다

Theta=1,sigma=sqrt(2),정상 분산 1의 score는 -x입니다. 역 drift는 x-2x=-x로 원래와 같습니다. 단순 반전 +x는 정상 법칙에서 멀어집니다. 랜덤 동역학과 결정론적 속도의 역전이 다른 이유입니다.

Theta=0의 표준 Gaussian 출발에서도 forward drift는 0이지만 분포는 퍼집니다. 역전에는 score drift가 남으며 sigma=1,물리 시간 0에서는 -x입니다.

직접 풀기: 필요한 시작 법칙

초기 평균 1·분산 1/4의 T=1 법칙을 구해 역 시작 Gaussian으로 쓰세요. Reverse 비율 1/2의 실제 forward 시각도 구하세요. 표준 Gaussian으로 임의 대체하거나 score를 T-s 대신 s에서 평가하면 어떤 moment 식이 깨지는지 설명하세요.

더 읽기: Song 등의 Score-based SDE 논문.

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설명할 수 있나요?

실험 설정과 무관한 기준 예제를 묻습니다. 답을 고르고 설명을 확인해보세요.

1. 시간 역전은 drift의 부호만 바꾸면 되나요?
2. 임의의 표준 Gaussian으로 역 시작 법칙을 대체해도 되나요?

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