유한 가우스 장의 원천과 연결 상관

1. 장은 함께 요동하는 값들의 모음이다

여러 센서가 같은 순간에 유연한 표면의 높이를 읽는다고 생각해 보세요. 가까운 센서의 값이 함께 커질 수도 있지만, 단순히 평균 표면 자체가 높아서 두 값의 곱이 클 수도 있습니다. 상관함수는 평균 모양에 관한 질문과 그 주변의 요동에 관한 질문을 구분하게 해 줍니다.

여기서 장은 유한 벡터 φ=(φ₀,…,φₙ₋₁)입니다. 첨자는 연속한 시간이 아니라 사슬이나 고리의 위치를 표시합니다. 하나의 시간 궤적을 따라가는 대신 전체 배치의 평형 확률분포에서 평균냅니다. 위치 사이의 통계적 상관만으로 인과관계를 주장하지 않습니다.

이 단원에서는 원천, 적분 측도, 경계조건, 제약을 먼저 선언합니다. 그 결과 평균·연결 상관·응답·사차 모멘트를 정확하게 계산하고, 영모드 때문에 역행렬이 없을 때 무엇이 빠졌는지 설명할 수 있습니다. 계산기의 작은 정규화 항으로 문제를 숨기지 않습니다.

2. 에너지와 경계 규약을 정한다

n개 위치에서 무차원 에너지를

$$U_J(\phi)=\frac12\phi^TK\phi-J^T\phi, \qquad K=m^2I+\kappa L,\qquad T>0$$

로 정의합니다. 입력 m²은 음이 아닌 계수 자체이며 계산기가 다시 제곱하는 질량이 아닙니다. κ≥0은 이웃 값의 차이를 벌주는 강성이고, T는 Boltzmann 상수를1로 놓은 온도입니다. J는 장에 선형으로 결합하는 물리적 원천입니다. 확률 가중치는 exp(−U_J/T)입니다.

열린 경계에서는 n−1개 이웃 변에 대해 κ(φᵢ₊₁−φᵢ)²/2를 더합니다. 주기 경계는 마지막 위치 n−1과0을 잇는 변을 추가합니다. 바깥 값을0으로 고정하는 경계는 열린 사슬 에너지에 κ(φ₀²+φₙ₋₁²)/2를 더합니다. 바깥의 φ₋₁=φₙ=0은 적분 변수가 아닙니다.

따라서 열린 사슬 Laplacian의 끝 대각 성분은1, 고리의 대각 성분은 모두2이며, 바깥 고정 경계에서도 모두2입니다. 연결된 이웃의 비대각 성분은−1입니다. 두 위치 고리를 중복 변 그래프와 혼동하지 않도록 n≥3만 사용합니다. 격자 간격은1이며 연속체 극한을 수행하지 않습니다.

3. 확률분포가 존재하는지 먼저 묻는다

전체 공간에서 가우스 가중치를 정규화하려면 K가 양의 정부호여야 합니다. m²>0이면 모든 방향을 질량 항이 가둡니다. m²=0, κ>0이라도 바깥 고정 경계는 장을 가둡니다. 반면 열린 사슬과 주기 고리에서는 상수 배치의 기울기 에너지가0입니다.

$$L\mathbf1=0\quad\text{(open or periodic)},\qquad \phi=c\mathbf1\ \Longrightarrow\ \phi^TK\phi=0\quad(m^2=0).$$

이 방향을 제약 없이 적분하면 부피가 무한합니다. 선형 원천도 해결책이 아닙니다. 평평한 방향을 그대로 두거나 한 방향으로 가중치를 무한히 키웁니다. 여기서 역행렬 실패는 정상적인 확률분포의 부재를 알리는 것이지, 큰 부동소수점 숫자를 물리적 분산으로 읽으라는 뜻이 아닙니다.

계산기는 제약 없는 질량0 열린/주기 경계를 거부합니다. m²=κ=0은 평균0 제약을 주어도 n−1개 평평한 방향이 남으므로 거부합니다. 아래에서 정의할 평균0 앙상블은 별도로 선언한 올바른 모형입니다.

4. 정밀도 행렬은 국소적이어도 공분산은 멀리 이어진다

에너지의 행렬은 K이고, 전체 가우스 밀도의 정밀도 행렬은 K/T입니다. K의 이웃 결합은 국소적이지만 역행렬은 바로 이웃하지 않은 위치 사이에서도 일반적으로0이 아닙니다.

양의 성질을 확인하며 역행렬을 구하는 방법으로 LDLᵀ 분해를 사용할 수 있습니다. 대칭 양의 행렬을 단위 하삼각 L₀와 양의 대각 D의 곱 L₀DL₀ᵀ로 쓰고 삼각 연립방정식을 풉니다. 거의 평평한 모드를 반올림한 고유벡터로 보증하는 대신, 양의 피벗을 정확하게 검사합니다.

구현은 K 또는 선언한 축약 행렬에 대해 유리수 분해를 수행합니다. 모든 대각 피벗이 양수여야 합니다. 최대8개 위치의 유한 계산입니다. 분수 계산이 정확하다고 큰 분자·분모의 비용이 사라지거나 무한 위치의 장에 관한 정리가 저절로 생기는 것은 아닙니다.

5. 완전제곱으로 평균과 요동을 구한다

전체 양의 정부호 모형에서 G=K⁻¹, μ=GJ로 놓습니다. 완전제곱을 만들면

$$U_J(\phi)=\frac12(\phi-\mu)^TK(\phi-\mu) -\frac12J^TGJ,\qquad \langle\phi\rangle_J=\mu,\qquad C=T G$$

입니다. 원천은 중심을 옮기지만 이 이차 모형에서는 공분산을 바꾸지 않습니다. K와 J를 고정하면 온도는 폭을 바꾸고 평균은 그대로 둡니다. 이는 선언한 가우스 모형의 성질이며 상호작용계 일반에 적용되는 명제가 아닙니다.

정규화는 Z(0)=(2πT)ⁿᐟ²/√det K입니다. 계산기는 정확한 행렬식과 해석적 공식을 반환합니다. π, 제곱근이나 지수함수까지 유리수라고 표시하지 않습니다. 반면 원천에 따른 로그 비는 유리수 입력에서 정확한 유리수입니다.

$$\log\frac{Z(J)}{Z(0)}=\frac{J^TGJ}{2T}.$$

6. 원래 이점함수와 연결 이점함수를 나눈다

요동을 η=φ−μ로 정의합니다. 연결 이점함수는 이 요동의 공분산입니다.

$$C_{ij}=\langle\eta_i\eta_j\rangle =\langle\phi_i\phi_j\rangle-\mu_i\mu_j, \qquad \langle\phi_i\phi_j\rangle=C_{ij}+\mu_i\mu_j.$$

원래 이점함수가 큰 이유가 두 평균의 곱일 수 있습니다. 독립 위치 K=I에서는 비대각 연결 성분이0이지만 원천을 가하면 원래 비대각 모멘트는0이 아닐 수 있습니다. 요동의 연결 구조를 읽기 전에 평균의 곱을 빼야 합니다.

공분산은 Pearson 상관계수와 다릅니다. 상관계수는 다시 √(CᵢᵢCⱼⱼ)로 나눕니다. 공분산이 있다고 미지의 계에서 인과 영향이 증명되는 것도 아닙니다. 여기서 응답을 말할 수 있는 이유는 원천을 바꿨을 때의 확률분포 가족을 명시했기 때문입니다.

7. 원천과 생성함수의 온도 인자를 구분한다

에너지 원천 J로 미분하면 φ가 아니라 φ/T가 삽입됩니다. 따라서

$$\partial_{J_i}\log Z(J)=\frac{\mu_i}{T},\qquad \partial_{J_i}\partial_{J_j}\log Z(J)=\frac{C_{ij}}{T^2}$$

입니다. 한편 정규화한 평균 안에 exp(hᵀφ)를 넣는 무차원 보조 원천 h를 사용할 수도 있습니다. W(h)=log⟨exp(hᵀφ)⟩로 정의하면

$$W(h)=h^T\mu+\frac12h^TCh$$

입니다. 이 W를 미분하면 온도 인자 없이 직접 누적량을 얻습니다. Z는 원래 모멘트를, 로그는 연결 누적량을 생성합니다. 보조 h와 에너지 원천 J를 섞으면 T 인자가 빠져 응답 법칙도 틀립니다. 식을 외우기 전에 어떤 지수항에 원천을 넣었는지 확인하세요.

8. 응답과 Green 항등식을 연결한다

전체 가우스 가족에서 μ=GJ를 미분하면 정적 감수율을 얻습니다.

$$\chi_{ij}=\frac{\partial\mu_i}{\partial J_j} =G_{ij}=\frac{C_{ij}}{T},\qquad KG=GK=I.$$

G의 j번째 열은 위치 j에 단위 원천을 가했을 때의 평균 모양입니다. 국소 연산자의 역행렬이 공간 응답 커널로 나타나는 이유입니다. 그 모양에 K를 곱하면 원래의 국소 원천으로 돌아갑니다.

가우스 부분적분으로도 ⟨ηᵢ(Kη)ⱼ⟩=Tδᵢⱼ를 얻습니다. 경계조건을 바꾸면 K와 Green 함수도 바뀝니다. 이는 정적 평형 항등식입니다. 시간의 지연 응답이나 상대론적 전파 속도에 관한 결론으로 바꾸지 않습니다.

9. 네 위치 고리를 손으로 계산한다

네 위치 주기 고리에서 m²=κ=T=1로 놓습니다. 정밀도 행렬의 대각 성분은3이고 고리 이웃 사이 성분은−1입니다. 역행렬과 공분산은

$$G=C=\frac1{15} \begin{pmatrix}7&3&2&3\\3&7&3&2\\2&3&7&3\\3&2&3&7\end{pmatrix}$$

입니다. K1=1이므로 각 행의 합은1입니다. 원천 J=(1,0,0,0)은 평균 μ=(7/15,1/5,2/15,1/5)를 만듭니다. 원천을 가한 위치에서 응답이 가장 크지만 반대편 위치도 반응합니다.

위치0과1의 연결 모멘트는1/5입니다. 원래 모멘트는1/5+(7/15)(1/5)=22/75입니다. 원천을0으로 바꾸면 원래 모멘트는1/5로 돌아오지만 연결 성분은 처음부터 그대로였습니다. T만 두 배로 하면 평균은 그대로, C는 두 배, χ=C/T는 그대로입니다.

10. 중심화한 장의 Wick 분해를 유도한다

W(h)가 이차식이므로3차 이상 연결 누적량은 모두0입니다. 그렇다고 exp(W)를 미분해 얻는 높은 원래 모멘트나 중심 모멘트가0인 것은 아닙니다. 사차에서는

$$\langle\eta_i\eta_j\eta_k\eta_l\rangle =C_{ij}C_{kl}+C_{ik}C_{jl}+C_{il}C_{jk}$$

입니다. 네 삽입 위치를 두 쌍으로 묶는 세 가지 방법을 모두 더합니다. 같은 첨자가 반복돼도 중복도를 유지해야 하므로 ⟨ηᵢ⁴⟩=3Cᵢᵢ²입니다. 홀수 중심 가우스 모멘트는0입니다. 더 높은 짝수 차수도 생성함수에서 모든 쌍짓기를 유도할 수 있습니다.

네 위치 고리에서 서로 다른 네 위치의 쌍 곱은1/25,4/225,1/25입니다. 따라서 중심 사차 모멘트는22/225입니다. 연결 사차 누적량0은 사차 모멘트나 모든 상관의 부재를 뜻하지 않습니다.

11. 평균이 있으면 사차 연결량의 흔한 오류가 드러난다

μ≠0인 원래 사차 모멘트에는 네 평균의 곱, 공분산 하나와 평균 둘의 곱 여섯 개, 공분산 쌍짓기 세 개가 들어갑니다. 올바른 사차 누적량은 중심화한 변수에서 사차 모멘트를 구하고 세 공분산 쌍 곱을 빼서 계산할 수 있습니다.

원래 사차 모멘트에서 원래 이점함수의 곱들만 빼면 일반적으로 틀립니다. 이 가우스 가족에서는 그 잘못된 연산이

$$\langle\phi_i\phi_j\phi_k\phi_l\rangle -\!\sum_{\mathrm{three\ pairings}}\langle\phi_a\phi_b\rangle \langle\phi_c\phi_d\rangle=-2\mu_i\mu_j\mu_k\mu_l$$

을 반환합니다. 기본 국소 원천 예제의 원래 사차 모멘트는2732/16875, 올바른 사차 누적량은0이지만 잘못 뺀 값은−28/5625입니다. 비가우스 상호작용을 발견한 것이 아니라 연결량의 정의에서 평균 항을 빠뜨린 것입니다.

또한 같은 공분산을 가진 모든 분포에 Wick 분해를 적용할 수는 없습니다. ±1을 같은 확률로 갖는 평균0 변수는 분산1이지만 사차 누적량은1−3=−2입니다. 일반적인 높은 차수 요동은 평균과 공분산만으로 결정되지 않습니다.

12. 영모드를 숨기지 말고 평균0 앙상블을 선언한다

이제 1ᵀφ=0을 부과합니다. a=0,…,n−2에 대해 열이 eₐ−eₙ₋₁인 행렬 B를 만들고 허용 배치를 φ=Bz로 씁니다. 축약 정밀도는 A=BᵀKB이며, 이 (n−1)차원 공간에서 양의 정부호인지가 중요합니다.

$$G=B A^{-1}B^T,\qquad \mu=GJ,\qquad C=TG, \qquad P=I-\frac{\mathbf1\mathbf1^T}{n}.$$

이 G는 상수 방향에 영공간을 가지므로 전체 공간에서 K의 역행렬이 아닙니다. 평균과 공분산은 1ᵀμ=0, C1=0을 만족합니다. 원래 에너지에 이웃 항이 없어도 전체 합 제약 때문에 장의 값들은 함께 묶입니다.

이 선택은 영 고유값을 아주 작은 양수로 대체하는 것과 다릅니다. 모든 표본의 합이0인 다른 앙상블을 정의합니다. 계산기는 이 선택을 입력과 결과에 명시적으로 유지합니다.

13. 적분 측도와 투영한 Green 식을 추적한다

z좌표는 정규직교가 아닙니다. BᵀB=I+11ᵀ이며 det(BᵀB)=n입니다. 허용 초평면에서 유도된 Euclidean 측도를 쓰므로 dσ=√n dz입니다. 따라서 제한된 정밀도 행렬식은 det(A)/n이고

$$Z(0)=\frac{(2\pi T)^{(n-1)/2}}{\sqrt{\det(A)/n}}$$

입니다. δ(1ᵀφ)를 넣은 델타함수 적분은 다른 상수 측도 인자를 갖습니다. 정규화한 기대값은 일치하지만 절대 분배함수에는 규약이 필요합니다. 원천에 따른 로그 비는 여전히 JᵀGJ/(2T)입니다.

초평면에서 검사할 잔차 식은

$$P(K\mu-J)=0,\qquad PKG=P,\qquad GKP=P$$

입니다. 전체 공간 잔차 Kμ−J는0이 아닌 상수 벡터일 수 있습니다. Lagrange 승수 α가 Kμ−J+α1=0을 강제합니다. 반환한 승수로 이 제약력을 확인할 수 있으며, 투영한 식이 틀렸다는 뜻은 아닙니다.

계수가 n−1인 공분산에 KG=I를 요구하는 것은 불가능합니다. 투영된 부분적분 항등식은 CKP=TP입니다. 정확한 잔차 행렬은 선언한 식을 검사하며, 유한 표본으로 추정한 통계 오차가 아닙니다.

14. 조건화와 각 표본의 평균 빼기는 항상 같지 않다

전체 양의 가우스 공분산 C₀에서 합이0이라는 조건을 주면

$$C_{\mathrm{cond}}=C_0- \frac{C_0\mathbf1\mathbf1^TC_0}{\mathbf1^TC_0\mathbf1}$$

입니다. 반면 각 표본에서 산술평균을 빼는 연산은 공분산 PC₀P를 만듭니다. 상수 벡터가 C₀의 고유벡터이면 둘이 같습니다. 균일한 질량 항이 있는 열린 사슬이나 고리가 그런 예입니다. 바깥 고정 경계에서는 일반적으로 다릅니다.

세 위치 바깥 고정 모형에서 m²=0, κ=T=1이면 C₀의 첫 행은(3/4,1/2,1/4), 행 합은(3/2,2,3/2)입니다. 조건화한 C_cond,00은3/10인 반면 표본 평균을 뺀 (PC₀P)₀₀은11/36입니다. 어느 분포를 만들었는지에 따른 차이이므로 한 연산을 다른 연산으로 몰래 바꾸지 않습니다.

독립 위치에서도 제약 효과를 볼 수 있습니다. K=I,T=1에 평균0 제약을 주면 공분산은 P여서 대각은1−1/n, 비대각은−1/n입니다. 음의 연결 성분은 고정된 총합을 나타내며 음의 이웃 강성을 뜻하지 않습니다.

15. 올바른 질량0과 거의 질량0인 극한을 비교한다

네 위치 질량0 고리에서 κ=T=1이고 평균0을 부과하면 G의 첫 행은(5/16,−1/16,−3/16,−1/16)입니다. 상수 방향을 제외한 정밀도 고유값의 곱은16입니다. 상수 방향을 명시적으로 제거했으므로3차원의 정상적인 가우스 분포입니다.

반면 제약 없는 양의 질량 고리는 G1=(1/m²)1이므로 균일 원천에 대한 응답이 m²→0에서 발산합니다. 공분산의 상수 모드 기여는 모든 위치 쌍에 T/(nm²)입니다. 극한 전에 이 모드를 버리면 다른 질문을 한 것입니다.

바깥 값을 고정하는 것은 또 다른 방법입니다. 세 위치에서 m²=0, κ=1이면 det K=4이고 전체 역행렬이 존재합니다. 바깥을 고정하는 경계와 공간 평균을0으로 고정하는 제약은 같지 않습니다. 공간 감쇠나 임계 극한을 말하기 전에 유한 부피·영모드·경계 효과를 분리해야 합니다.

16. 정확한 변환을 실험으로 사용한다

K와 J를 고정하고 T를 두 배로 하면 연결 이점함수는 두 배, 중심 사차 모멘트는 네 배입니다. 평균과 정적 감수율은 그대로입니다. K,T를 고정하고 J를 바꾸면 평균과 원래 모멘트는 움직이지만 연결 공분산은 그대로입니다.

평균0 초평면에서는 J와 J+c1이 같은 분포를 정의합니다. 허용 배치마다 에너지 차이가0이기 때문입니다. G1=0이므로 평균과 원천 로그 비가 이 이동에 불변입니다. 바깥 고정 경계에서도 평균0 제약을 추가로 명시하면 같은 불변성이 성립합니다.

K,J,T를 같은 양수로 함께 곱하면 정규화된 전체 분포가 변하지 않습니다. 다만 원천 좌표도 재척도했으므로 그 에너지 원천에 대한 감수율은 곱한 수에 반비례합니다. 분수의 표기가 달라도 같은 수를 나타낼 수 있습니다. 이러한 검사는 규약과 정확한 산술을 확인하는 데 유용하지만, 행렬 항등식 검사를 대신하지는 않습니다.

17. AI와 연결하기: 정밀도 그래프·커널·점수

전체 가우스 Markov 확률장은 K/T의 국소 항으로 조건부분포를 표현합니다. 다른 좌표를 고정하면 φᵢ의 조건부 평균은 (Jᵢ−∑ⱼ≠ᵢKᵢⱼφⱼ)/Kᵢᵢ, 분산은 T/Kᵢᵢ입니다. 비특이 전체 가우스 모형에서 정밀도 비대각0은 조건부 독립을 나타내지만 주변 공분산은0이 아닐 수 있습니다.

평균0 앙상블의 전체 공간 공분산은 특이하고 결정론적 의존성이 있습니다. 제약을 반영하지 않은 역공분산 그래프 해석을 그대로 적용하지 않습니다. 공분산 커널은 Gaussian process의 요동을 정의할 수 있지만, 에너지 원천에 대한 응답은 이 규약에서 C/T입니다. 커널이라는 이름만으로 온도 인자가 정해지지는 않습니다.

전체 밀도의 점수는 −(Kφ−J)/T입니다. 제약 초평면의 내재적 점수는 접공간으로 투영한 −P(Kφ−J)/T입니다. 학습한 점수나 신경망 장 해석기는 선언한 적분 공간에서 검사해야 합니다. 초평면의 법선 성분을 실제로 요동하는 좌표처럼 검사하지 않습니다.

18. 출력과 수치 주장을 정확하게 읽는다

준비 입력은3–8개 위치, 음이 아닌 유리수 m²,κ≤16, 양의 유리수 T≤16, 절댓값16 이하의 원천입니다. 각 분자·분모는12자리 이내입니다. 네 관측 첨자는 반복할 수 있습니다. 특이한 비제약 모형과 완전히 평평한 에너지는 거부합니다.

계산은 정밀도·축약 분해·평균·응답·연결/원래 이점함수·선택한 사차 모멘트와 원천 로그 비를 정확한 분수로 반환합니다. 양의 분해 피벗과 투영 잔차는 정확한 대수 검사입니다. 절대 정규화는 π와 제곱근을 포함하는 해석식으로 남습니다.

독립 참조는 발생 행렬 외적으로 정밀도를 만들고, 제약이 있으면 경계 확장 행렬의 역행렬을 사용합니다. 생산 모형의 기저 풀이와 다른 경로입니다. 별도 행렬식 알고리즘과 재귀 가우스 모멘트도 대조합니다. 열지도와 공간 그림은 유리수 결과의 부동소수점 투영이며 추가 증명은 아닙니다. 유한 고리 행렬만으로 무한계 상관 길이를 추정했다고 주장하지 않습니다.

19. 손계산 문제와 해설

1. 원래 값과 연결 값. 국소 원천을 가한 네 위치 고리에서 C₀₁=1/5, ⟨φ₀φ₁⟩=22/75입니다. 추가7/75는 평균의 곱이며 요동 상관이 추가된 것이 아닙니다.
2. 온도 인자. K,J를 고정하고 T를 두 배로 하면 공분산은 두 배, log Z(J)/Z(0)은 절반입니다. μ와 χ는 같습니다. 물리 원천 미분에는1/T가 삽입됩니다.
3. 같은 첨자를 네 번. Cᵢᵢ=7/15인 중심 장에서는 ⟨ηᵢ⁴⟩=3(7/15)²=49/75입니다. 사차 누적량은 여전히0입니다.
4. 가짜 상호작용 신호. 기본 예제에서 원래 사차 모멘트에서 원래 쌍 곱을 빼면 왜−28/5625인가요? 평균 항이 빠져−2μ₀μ₁μ₂μ₃가 남았습니다. 올바른 누적량은 중심화해 계산합니다.
5. 분포의 부재. 질량0인 제약 없는 고리를 왜 거부하나요? 상수 방향이 갇히지 않습니다. 수치 의사역행렬만으로 생략한 측도나 앙상블이 정의되지는 않습니다.
6. 반발 없이 생긴 반상관. K=I인 네 위치를 합0으로 제약하면 C₀₁=−1/4입니다. κ=0이어도 한 위치의 양의 요동을 다른 위치가 보상해야 합니다.
7. 측도 인자. n=4이면 기저 Gram 행렬식은4이고 dσ=2 dz입니다. 이 인자를 빠뜨리면 Z(0)은 바뀌지만 정규화 평균에서는 소거됩니다. 제한된 정밀도 행렬식은 det A/4입니다.
8. 조건화와 평균 빼기. 세 위치 바깥 고정 예제의 두 분산은3/10과11/36입니다. 표본을 투영한다고 조건부 앙상블이 항상 만들어지는 것은 아닙니다. 어떤 연산을 했는지부터 명시합니다.

20. 읽을 자료와 남은 범위

원천이 있는 가우스 구성, 연결 이점함수와 Green 함수 해석의 배경은 David Tong의 Statistical Field Theory §2.2에서 볼 수 있습니다. 이 단원의 유한 행렬·제약 기저·유도 측도·유리수 검산은 선언한 격자 모형에 대해 직접 유도했습니다.

이 단원은 상관함수의 가우스 출발점을 제공합니다. 높은 연결량·유한 크기 효과·물리 간격의 극한은 이어지는 상호작용·비가우스 연결 상관과 공간 스펙트럼·감쇠·상관 길이에서 비교하세요. 연속체 경로적분 측도를 정의하거나 임계 스케일링을 증명하지 않으며, 양자 시간순서 상관함수를 고전 공분산으로 대체하지 않습니다.